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2019-2020年高考數(shù)學(xué)滾動(dòng)檢測(cè)03向量數(shù)列的綜合同步單元雙基雙測(cè)B卷理 一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分） 1. 在中，若點(diǎn)滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由，得，因此，因此，故答案為D． 考點(diǎn)：平面向量的應(yīng)用． 2. 在等差數(shù)列中，若，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的性質(zhì)；2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 3. 公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是的等比中項(xiàng), ,則等于（ ） A.18 B.24 C.60 D.90 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意可知，整理得，因?yàn)?，所以，所以，故選C. 考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式. 4. 【xx江西宜春調(diào)研】公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則的值為（ ） A. 15 B. 21 C. 23 D. 25 【答案】D 【解析】依題意， ，其中； ， 故選D. 5. 【xx安徽蒙城兩校聯(lián)考】已知非零向量滿足，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 已知非零向量與滿足，且，則的形狀為（ ） A.等邊三角形 B.三邊均不相等的三角形 C.等腰非等邊三角形 D.直角三角形 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：向量加法的平行四邊形法則、向量垂直和向量數(shù)量積的應(yīng)用. 【思路點(diǎn)晴】本題考查的是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角形形狀的判斷，關(guān)鍵是判斷表示以與同向的單位向量和與同向的單位向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線，結(jié)合判斷出的平分線與垂直，從而推斷三角形為等腰三角形，現(xiàn)根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得角為，所以為等腰非等邊三角形. 7. 數(shù)列滿足，對(duì)任意的都有，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：,且對(duì)于任意的,,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)也成 立,,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為 ， ,故選B. 考點(diǎn)：1.累加法；2.裂項(xiàng)相消求和. 【思路點(diǎn)晴】本題是一道關(guān)于數(shù)列的題目,解題關(guān)鍵是充分利用已知條件得到新的公式,考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,屬中檔題目.由已知可得,進(jìn)而累加法求得的通項(xiàng)公式以及,接下來(lái)從的通項(xiàng)公式入手裂項(xiàng),從而得到前項(xiàng)和. 8. 【xx全國(guó)名校聯(lián)考】設(shè)向量滿足， ， ，則的最大值等于（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 故選A. 點(diǎn)睛:平面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決． 9. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)公式 10. 【xx遼寧沈陽(yáng)四校聯(lián)考】在矩形中， 動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如圖：以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系， 則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2）， ∵動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上， 設(shè)圓的半徑為r， ∵BC=2，CD=1， ∴BD== ∴BC?CD=BD?r， ∴r=， ∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=， 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosθ+1， sinθ+2）， ∵， ∴（cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ， ∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值為3， 故選：A 11. 【xx河南豫南豫北聯(lián)考】數(shù)列滿足，若對(duì)，都有成立，則最小的整數(shù)是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得， 所以， 即，且。 ∴ ， ∴。 又對(duì)，都有成立， ∴。故最小的整數(shù)是5.選C。 點(diǎn)睛： 對(duì)于數(shù)列中的恒成立問(wèn)題，仍要轉(zhuǎn)化為求最值的問(wèn)題求解，解答本題的關(guān)鍵是如何對(duì)求和，根據(jù)題目的條件經(jīng)過(guò)變形得到，可利用列項(xiàng)相消求和，在求得數(shù)列和的基礎(chǔ)上可得到k的取值范圍，解題時(shí)要注意等號(hào)是否可以取得。 12. 正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)M滿足，，則的值為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 試題分析：令，由已知可得．根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得四邊形為平行四邊形．由已知可得中． 由正弦定理可得．即． 有得，所以， 因?yàn)闉檎切?，所以．所以．故D正確． 考點(diǎn)：1向量加法的平行四邊形法則；2向量共線；3正弦定理． 二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分） 13. 已知向量，，若，則 ． 【答案】 【解析】 考點(diǎn)：1、向量平行的充要條件；2、平面向量的模． 14. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ；數(shù)列的前10項(xiàng)和 ． 【答案】，． 【解析】 試題分析：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， ∴，∴． 考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式；2．?dāng)?shù)列求和． 15. 如圖，直角中，，，作的內(nèi)接正方形，再做的內(nèi)接正方形，…，依次下去，所有正方形的面積依次構(gòu)成數(shù)列，其前項(xiàng)和為 . 【答案】 【解析】 試題分析：數(shù)列{an}構(gòu)成以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,故. 考點(diǎn)：歸納推理 16. 【xx全國(guó)名校聯(lián)考】已知的三邊垂直平分線交于點(diǎn)， 分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】 如圖，延長(zhǎng)交的外接圓與點(diǎn)，連接，則 所以, 又, 把代入得, 又，所以, 把代入得的取值范圍是. 點(diǎn)睛:平面向量中有關(guān)范圍最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17. 已知平面向量，，． （1）若，求； （2）若與夾角為銳角，求的取值范圍． 【答案】（1）2或；（2）． 【解析】 試題解析：（1）由，得或， 當(dāng)時(shí)，，， 當(dāng)時(shí)，，． （2）與夾角為銳角，，，， 又因?yàn)闀r(shí)，， 所以的取值范圍是． 考點(diǎn)：向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模與數(shù)量積． 【名師點(diǎn)睛】由向量的數(shù)量積可得向量的夾角公式，當(dāng)為銳角時(shí)，，但當(dāng)時(shí)，可能為銳角，也可能為0（此時(shí)兩向量同向），因此兩向量夾角為銳角的充要條件是且不同向，同樣兩向量夾角為鈍角的充要條件是且不反向． 18. 【xx江蘇常州武進(jìn)區(qū)聯(lián)考】已知向量， ， ⑴ 若，求的值； ⑵ 令，把函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象沿軸向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題分析： 由條件可得向量數(shù)量積，得出、的數(shù)量關(guān)系，即可求出，就可以求出結(jié)果 ⑵， ， 把函數(shù) 的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變）， 得到， 再把所得圖象沿軸向左平移個(gè)單位，得到， 由得， 的單調(diào)增區(qū)間是. 19. 已知向量，，函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）已知、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，其中為銳角，，,且，求，和的面積． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），，． 【解析】 試題解析：（Ⅰ） ．因?yàn)?，所以? （Ⅱ），因?yàn)?，，所以?．則，所以，即，則，從而． 考點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；2、余弦定理；3、三角恒等變換． 20. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是與的等差中項(xiàng). （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：. 【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析. 【解析】 試題解析：（I）時(shí)， 時(shí)，，又，兩式相減得 為是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即 . （II） ， 又， 綜上成立. 考點(diǎn)：遞推公式求通項(xiàng)和裂項(xiàng)法求和. 21. 【xx遼寧鞍山一中二?！恳阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且， . （1），求證數(shù)列是等比數(shù)列； （2）設(shè)，求證數(shù)列是等差數(shù)列； （3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） 【解析】試題分析：（1）由， 相減可得,即，從而， 是等比數(shù)列得證 （2）由（1）可得兩邊同除以 可得，數(shù)列等差得證 （3）由（2）可求，代入可求，進(jìn)而求出 試題解析：解：（1）由題意， ， 相減，得 ,∴ ∵，∴， ， 又由題設(shè)，得，即， ， ∴首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為 （2），所以， ∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， ∴. （3）. 22. 數(shù)列，的每一項(xiàng)都是正數(shù)，，，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求數(shù)列， 的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），；（Ⅲ）． 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 綜上所述：對(duì)一切正整數(shù)，有． 【解析】 試題解析：（Ⅰ）由題意得，可得． 由，可得． （Ⅱ）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，① 因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以， 因?yàn)椋拿恳豁?xiàng)都是正數(shù)，所以，② 于是，當(dāng)時(shí)，，③ 將②③代入①式，可得， 因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， 所以，于是， 由③式，可得當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以對(duì)一切正整數(shù)，都有． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所證明的不等式為 ． 【方法1】首先證明 即證，即證，即證， 所以當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，． 綜上所述：對(duì)一切正整數(shù)，有． 【方法2】． 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 綜上所述：對(duì)一切正整數(shù)，有． 【方法3】 當(dāng)時(shí)， ． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 綜上所述：對(duì)一切正整數(shù)，有． 考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、等比數(shù)列；3、放縮法在數(shù)列不等式中的應(yīng)用．