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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》說課稿 新人教A版必修1 【教學(xué)目標(biāo)】 1． 使學(xué)生了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì)． 2． 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題． 3． 培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學(xué)思想． 4． 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率． 5． 通過對例題的探究，體會研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神． 【教學(xué)重點(diǎn)】歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析 【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解 【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法 【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué) 【教學(xué)程序】 第一階段：輸入階段——創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容 1． 創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學(xué)生思維 (1) 不完全歸納法引例： 明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學(xué)寫字．這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的． (2) 完全歸納法對比引例： 有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰先給出答案．大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明． 在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報，用的就是歸納法．這些歸納法卻不能用完全歸納法． 2． 回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識 （從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)一步體會歸納意識，同時讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納．） (1) 不完全歸納法實(shí)例： 給出等差數(shù)列前四項(xiàng), 寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式． (2) 完全歸納法實(shí)例： 證明圓周角定理分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況． 3． 借助數(shù)學(xué)史料, 促使學(xué)生思辨 （在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此．那么，有沒有更好的歸納法呢？） 問題1 已知＝（n∈N）， (1)分別求；；；． (2)由此你能得到一個什么結(jié)論？這個結(jié)論正確嗎？ （培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程．） 問題2 費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的．后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了＝4 294 967 297＝6 700 417641，從而否定了費(fèi)馬的推測．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立． 問題3 , 當(dāng)n∈N時，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗(yàn)證： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合數(shù)． 第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用，搭建新知結(jié)構(gòu) 4． 搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 （在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程．孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者．”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗(yàn)．） 實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像 關(guān)鍵：(1) 第一張牌被推倒； (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下． 于是, 我們可以下結(jié)論： 多米諾骨牌會全部倒下． 搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊(duì)對齊等． 5． 類比數(shù)學(xué)問題, 激起思維浪花 類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式： (1) 當(dāng)n＝1時等式成立； (2) 假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立, 即, 則=, 即n＝k＋1時等式也成立． 于是, 我們可以下結(jié)論： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對任何n∈都成立． （布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．） 6． 引導(dǎo)學(xué)生概括, 形成科學(xué)方法 證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下： (1) 證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確； (2) 假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈，k≥) 時結(jié)論正確, 證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確． 完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確． 這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 第三階段：操作階段——鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實(shí)認(rèn)知過程 7． 蘊(yùn)含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識 （本例要求學(xué)生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識和能力．） 例題 在數(shù)列{}中, ＝1, (n∈), 先計(jì)算，，的值，再推測通項(xiàng)的公式, 最后證明你的結(jié)論． 8． 基礎(chǔ)反饋練習(xí), 鞏固方法應(yīng)用 （課本例題與等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明差不多，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習(xí)，這樣既考慮到學(xué)生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)．練習(xí)第3題恰好是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明，與前者是一個對比與補(bǔ)充．通過這兩個練習(xí)能看到學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況．） (1)（第63頁例1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝． (2)（第64頁練習(xí)3）首項(xiàng)是，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是． 9． 師生共同小結(jié), 完成概括提升 (1) 本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法； (2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法； (3) 數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉； (4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想． 10． 布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊 (1) 課本第64頁練習(xí)第1, 2題； 第67頁習(xí)題2.1第2題． (2) 在數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步中，證明n＝k＋1時命題成立, 必須要用到n＝k時命題成立這個假設(shè)．這里留一個辨析題給學(xué)生課后討論思考： 用數(shù)學(xué)歸納法證明： (n∈)時, 其中第二步采用下面的證法： 設(shè)n＝k時等式成立, 即, 則當(dāng)n＝k＋1時, ． 你認(rèn)為上面的證明正確嗎？為什么？ 【教學(xué)設(shè)計(jì)說明】 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用．我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)． 2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學(xué)生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內(nèi)容置于問題之中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展． 3．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個步驟缺一不可．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n＝k＋1命題成立時必須要用到n＝k時命題成立這個條件．這些內(nèi)容都將放在下一課時完成，這種理解不僅使我們能夠正確認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過程中第二步的設(shè)計(jì)指明了思維方向．