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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《曲線的參數(shù)方程》說(shuō)課稿 新人教A版必修1 教學(xué)目標(biāo) 1、理解曲線參數(shù)方程的概念，能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程； 2、通過(guò)對(duì)圓和直線的參數(shù)方程的研究，了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義； 3、初步了解如何應(yīng)用參數(shù)方程來(lái)解決某些具體問(wèn)題，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，形成數(shù)學(xué)抽象思維能力，初步體驗(yàn)參數(shù)的基本思想。 教學(xué)重點(diǎn) 曲線參數(shù)方程的概念。 教學(xué)難點(diǎn) 曲線參數(shù)方程的探求。 教學(xué)過(guò)程 （一）曲線的參數(shù)方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中國(guó)第一座身高108米的摩天輪，在上海錦江樂(lè)園正式對(duì)外運(yùn)營(yíng)。并以此高度躋身世界三大摩天輪之列，居亞洲第一。 已知該摩天輪半徑為51.5米，逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一周需時(shí)20分鐘。如圖所示，某游客現(xiàn)在點(diǎn)（其中點(diǎn)和轉(zhuǎn)軸的連線與水平面平行）。問(wèn)：經(jīng)過(guò)秒，該游客的位置在何處? 引導(dǎo)學(xué)生建立平面直角坐標(biāo)系，把實(shí)際問(wèn)題抽象到數(shù)學(xué)問(wèn)題，并加以解決 （1、通過(guò)生活中的實(shí)例，引發(fā)學(xué)生研究的興趣；2、通過(guò)引例明確學(xué)習(xí)參數(shù)方程的現(xiàn)實(shí)意義；3、通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決，使學(xué)生體會(huì)到僅僅運(yùn)用一種方程來(lái)研究往往難以獲得滿意的結(jié)果，從而了解學(xué)習(xí)曲線的參數(shù)方程的必要性；4、通過(guò)具體的問(wèn)題，讓學(xué)生找到解決問(wèn)題的途徑，為研究圓的參數(shù)方程作準(zhǔn)備。） （二）曲線的參數(shù)方程 1、圓的參數(shù)方程的推導(dǎo) （1）一般的，設(shè)⊙的圓心為原點(diǎn)，半徑為，所在直線為軸，如圖，以為始邊繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)以勻角速度作圓周運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與時(shí)刻的關(guān)系該如何建立呢？（其中與為常數(shù)，為變數(shù)） 結(jié)合圖形，由任意角三角函數(shù)的定義可知： 為參數(shù) ① （2）點(diǎn)的角速度為，運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間為，則角位移，那么方程組①可以改寫為何種形式？ 結(jié)合勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理意義可得： 為參數(shù) ② （在引例的基礎(chǔ)上，把原先具體的數(shù)據(jù)一般化，為圓的參數(shù)方程概念的形成作準(zhǔn)備，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力） （3）方程①、②是否是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓方程？為什么？ 由上述推導(dǎo)過(guò)程可知：對(duì)于⊙上的每一個(gè)點(diǎn)都存在變數(shù)（或）的值，使，（或，）都成立。 對(duì)于變數(shù)（或）的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)都在圓上； （1、對(duì)曲線的方程以及方程的曲線的定義進(jìn)行必要的復(fù)習(xí)；2、學(xué)生從曲線的方程以及方程的曲線的定義出發(fā)，可以說(shuō)明以上由變數(shù)（或）建立起來(lái)的方程是圓的方程；） （4）若要表示一個(gè)完整的圓，則與的最小的取值范圍是什么呢？ ， （5）圓的參數(shù)方程及參數(shù)的定義 我們把方程①（或②）叫做⊙的參數(shù)方程，變數(shù)（或）叫做參數(shù)。 （6）圓的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí) （?。﹨?shù)方程與是否表示同一曲線？為什么？ （ⅱ）根據(jù)下列要求，分別寫出圓心在原點(diǎn)、半徑為的圓的部分圓弧的參數(shù)方程： ①在軸左側(cè)的半圓（不包括軸上的點(diǎn)）； ②在第四象限的圓弧。 （通過(guò)具體問(wèn)題的解決，加深對(duì)圓的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí)，體會(huì)到參數(shù)的取值范圍也是圓的參數(shù)方程的重要組成部分；并為曲線的參數(shù)方程的定義及其理解與認(rèn)識(shí)作鋪墊。） （7）曲線的參數(shù)方程的定義 （?。┮话愕?，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)、都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù) ③，并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，由方程組③所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么方程組③就叫做這條曲線的參數(shù)方程。變數(shù)叫做參變量或參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。 （ⅱ）相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)、間關(guān)系的方程叫做曲線的普通方程。 （8）曲線的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識(shí) （?。﹨?shù)方程的形式； （橫、縱坐標(biāo)、都是變量的函數(shù)，給出一個(gè)能唯一的求出對(duì)應(yīng)的、 的值，因而得出唯一的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；但橫、縱坐標(biāo)、之間的關(guān)系并不一定是函數(shù)關(guān)系。） （ⅱ）參數(shù)的取值范圍； （在表述曲線的參數(shù)方程時(shí)，必須指明參數(shù)的取值范圍；取值范圍的不同，所表示的曲線也可能會(huì)有所不同。） （ⅲ）參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性； （普通方程是相對(duì)參數(shù)方程而言的，普通方程反映了坐標(biāo)變量與之間的直接聯(lián)系，而參數(shù)方程是通過(guò)變數(shù)反映坐標(biāo)變量與之間的間接聯(lián)系；普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達(dá)形式；參數(shù)方程可以與普通方程進(jìn)行互化。） （ⅳ）參數(shù)的作用； （參數(shù)作為間接地建立橫、縱坐標(biāo)、之間的關(guān)系的中間變量，起到了橋梁的作用。） （ⅴ）參數(shù)的意義。 （如果參數(shù)選擇適當(dāng)，參數(shù)在參數(shù)方程中可以有明確的幾何意義，也可以有明確的物理意義，可以給問(wèn)題的解決帶來(lái)方便。即使是同一條曲線，也可以用不同的變數(shù)作為參數(shù)。） （三）鞏固曲線的參數(shù)方程的概念 例題1： （1）質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始位于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)處，沿某一方向作勻速直線運(yùn) 動(dòng)。水平分速度厘米/秒，鉛錘分速度厘米/秒， （?。┣蟠速|(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與時(shí)刻（秒）的關(guān)系； （ⅱ）問(wèn)5秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所處的位置。 （2）寫出經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且傾斜角為的直線的參數(shù)方程。 問(wèn)題：作出例題1中兩小題的直線圖像，判斷它們的位置關(guān)系；從中你能得到什么啟示呢？ （第一小題通過(guò)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置與時(shí)間有關(guān)建立表現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)位置的參數(shù)方程；第二小題通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立直線的參數(shù)方程；從而使學(xué)生了解參數(shù)的選取有多種方法，同一曲線可以由不同的參數(shù)方程來(lái)表示。） 例題2：已知點(diǎn)在圓：上運(yùn)動(dòng)，求的最大值。 （通過(guò)普通方程化為參數(shù)方程求得函數(shù)的最值，使學(xué)生初步體驗(yàn)參數(shù)方程的作用與意義。） （四）課堂小結(jié) 1、知識(shí)內(nèi)容：知道圓的參數(shù)方程以及曲線參數(shù)方程的概念；能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程；通過(guò)對(duì)圓和直線的參數(shù)方程的研究，理解其中參數(shù)的意義。 2、思想與方法：參數(shù)思想。 （引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，小結(jié)與交流學(xué)習(xí)體會(huì)，包括數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得，數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。） （五）作業(yè) 課本，練習(xí)17.1（1），第2、3題。 （六）思考 （1）若圓的一般方程為，你能寫出它的一個(gè)參數(shù)方程嗎？ （2）針對(duì)引例中的實(shí)際情況，游客總是從摩天輪的最低點(diǎn)登上轉(zhuǎn)盤。若某游客登上轉(zhuǎn)盤的時(shí)刻記為，則經(jīng)過(guò)時(shí)間該游客的位置在何處？在引例所建立的坐標(biāo)系下，你能否通過(guò)建立相對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程，并得到游客的具體位置呢？ 教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 一、教材分析 本節(jié)課所用的教材是由上海教育出版社出版的上海市高中三年級(jí)（理科）數(shù)學(xué)課本，內(nèi)容為第十七章第一節(jié)，第一課時(shí)。 “參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程”這一章節(jié)內(nèi)容是在“圓錐曲線”這一章的基礎(chǔ)上進(jìn)一步展開(kāi)研究曲線的方程。學(xué)習(xí)曲線的參數(shù)方程是為了進(jìn)一步探討直線、圓錐曲線的性質(zhì)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)，它在生產(chǎn)實(shí)踐中有很多實(shí)際的應(yīng)用。本章主要學(xué)習(xí)參數(shù)方程的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教學(xué)中要求應(yīng)適當(dāng)，難度要控制，基本應(yīng)以課本例題與習(xí)題為主。 通過(guò)本章節(jié)的教學(xué)應(yīng)使學(xué)生感悟到現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題是多種多樣的，僅用一種坐標(biāo)系，一種方程來(lái)研究各種不同的問(wèn)題是不適合的，有時(shí)難以獲得滿意的效果。參數(shù)方程有其自身的優(yōu)越性，學(xué)習(xí)參數(shù)方程有其必要性。通過(guò)學(xué)習(xí)參數(shù)方程的有關(guān)概念，以及方程之間、坐標(biāo)之間的互化，使學(xué)生感悟到坐標(biāo)系及各種方程的表示方法是可以視實(shí)際需要，主觀能動(dòng)的加以選擇的。 “曲線的參數(shù)方程”為本章節(jié)的第一部分。主要讓學(xué)生了解參數(shù)方程的有關(guān)概念，通過(guò)探索圓錐曲線的參數(shù)方程初步掌握求曲線的參數(shù)方程的方法，并且在此基礎(chǔ)上進(jìn)行參數(shù)方程與普通方程的互化及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 根據(jù)以上分析，本節(jié)課設(shè)置的教學(xué)目標(biāo)為： 1、理解曲線參數(shù)方程的概念，能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)建立參數(shù)方程。 2、通過(guò)對(duì)圓和直線的參數(shù)方程的研究，了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義。 3、初步了解如何應(yīng)用參數(shù)方程來(lái)解決某些具體問(wèn)題，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力，初步體驗(yàn)參數(shù)的基本思想。 三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 我校是上海市示范型高中，我校的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)良好，思維活躍，具備一定的分析問(wèn)題和自主探究能力。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探究，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透與運(yùn)用，希望加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。 本課設(shè)置如下教學(xué)環(huán)節(jié)以體現(xiàn)重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。 1、作為曲線的參數(shù)方程的概念課，一味的灌輸是不可取的。而是要讓學(xué)生體會(huì)到為什么要建立曲線的參數(shù)方程，感受其產(chǎn)生的必要性、合理性以及可行性。因此，由“摩天輪”這一生活中的實(shí)例引入，一方面使學(xué)生了解參數(shù)方程是基于生產(chǎn)、生活發(fā)展的實(shí)際需要而產(chǎn)生的，在引發(fā)學(xué)生研究的興趣時(shí)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決，使學(xué)生體會(huì)到僅僅運(yùn)用一種方程來(lái)研究不同的問(wèn)題不一定方便，往往難以獲得滿意的結(jié)果，從而了解研究曲線的參數(shù)方程的必要性；另一方面通過(guò)具體問(wèn)題的解決，找到解決問(wèn)題的途徑，也為圓的參數(shù)方程的研究作必要的準(zhǔn)備。 2、由特殊到一般，從具體到抽象。以“引導(dǎo)設(shè)問(wèn)”為主線，學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考和解答，體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，自主探索和獲取知識(shí)，從而得到圓的參數(shù)方程。同時(shí)在探索的過(guò)程中也提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力。 3、作為一堂概念課，學(xué)生對(duì)于概念的理解必須精確，深入，為后續(xù)課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，教師必須在這一環(huán)節(jié)進(jìn)行深入的分析。 因此，在圓以及曲線的參數(shù)方程的概念引入之后，針對(duì)參數(shù)方程的形式、參數(shù)的取值范圍、參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性、參數(shù)的作用以及參數(shù)的意義進(jìn)行深入的理解與探討。通過(guò)這一環(huán)節(jié)，學(xué)生活躍的思維逐步從感性上升到理性；同時(shí)，對(duì)于概念的理解得到鞏固與深化。 通過(guò)加強(qiáng)師生交流、關(guān)注學(xué)生思維，把握課堂教學(xué)重點(diǎn)，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的原因，發(fā)展的過(guò)程及其應(yīng)用的價(jià)值。 4、在本節(jié)課中，設(shè)計(jì)了適當(dāng)?shù)木毩?xí)與例題。一方面可以鞏固學(xué)生對(duì)曲線的參數(shù)方程概念的理解認(rèn)識(shí)；另一方面通過(guò)簡(jiǎn)單的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)曲線的參數(shù)方程的作用及意義。 教學(xué)中通過(guò)教師的適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)，同時(shí)大膽地放手由學(xué)生自主探究、及時(shí)激勵(lì)學(xué)生以體驗(yàn)問(wèn)題解決的成功喜悅。 5、 本節(jié)課的小結(jié)并不是由教師代為整理歸納，而是引導(dǎo)學(xué)生自主回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，交流學(xué)習(xí)體會(huì)，包括數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得，數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，對(duì)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)思考的感想等。一方面可以在學(xué)生交流的過(guò)程中及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并加以糾正；另一方面也鍛煉了學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理和概括能力。 6、作為課堂教學(xué)的延續(xù)，兩道思考題可讓學(xué)生在課后進(jìn)行自主探究，同時(shí)也為后續(xù)的參數(shù)方程與普通方程的互化以及參數(shù)方程的應(yīng)用作準(zhǔn)備。