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2019-2020年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試試題 理(II) 一、選擇題(共12個小題,每小題5分,計60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1.已知全集U=R， ， ，則= A．{x|x≥l} B．{x|1≤x2} C．{x|0≤xl} D．{x| Ox≤l} 2.復(fù)數(shù)，，則 A．1 B． C． D． 3.如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是 A. B. C. D. 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 4.某長方體的三視圖如右圖，長度為的體對角線在正視圖中的投影長度為，在側(cè)視圖中的投影長度為，則該長方體的全面積為 A. B. C.6 D.10 5.已知，記數(shù)列的前n項和為， 則使的n 的最小值為 A.13 B.12 C.11 D.10 6.過拋物線焦點的條直線與拋物線相交于A、B兩點，若點A、B橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在 7.函數(shù)，的圖像可能是下列圖形中的 8. 6名同學(xué)安排到3個社區(qū)A、B、C參加服務(wù)，每個社區(qū)安排兩名同學(xué)，其中甲同學(xué)必須到A社區(qū)，乙和丙同學(xué)均不能到C社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為 A．12 B．9 C．6 D．5 9.已知雙曲線的離心率為2，則橢圓的離心率為 A. B. C. D. 10.已知函數(shù)f(x)＝ln(－3x)＋1，則f(lg2)＋f(lg)＝ A．－1 B．0 C．1 D．2 11．設(shè)圓O的半徑為3，直徑AB上一點D使＝3，E、F為另一直徑的兩個端點，則＝ A．－8 B．－6 C．－5 D．－3 12.定義在上的函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則 A． B． C． D． 第二部分（非選擇題 共90分） 二、填空題(共4個小題，每小題5分，計20分) 13.在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組 (為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積是9，那么實數(shù)的值為 . 14.已知向量且A,B,C三點共線，則k= . 15.在△ABC中，BD為∠ABC的平分線，AB＝3，BC＝2，AC＝，則等于 . 16.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面 半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是_______cm. 三、解答題（共6小題，計70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17.（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前項和構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的前項和構(gòu)成數(shù)列．若，求 （Ⅰ）數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）數(shù)列的通項公式． 18．（本小題滿分12分） 如圖,已知四邊形ABCD是矩形,AB =2BC =2,三角形PAB是正三角形,且平面ABCD⊥平面PCD. (Ⅰ)若O是CD的中點,證明：BO⊥PA； (Ⅱ)求平面PAB與平面PAD夾角的余弦值． 19．（本小題滿分12分） 已知函數(shù) ． （Ⅰ）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若對任意恒成立．試比較與的大小． 20．（本小題滿分12分） 食品安全是關(guān)乎到人民群眾生命的大事。某市質(zhì)檢部門為了解該市甲、乙兩個食品廠生產(chǎn)食品的質(zhì)量，從兩廠生產(chǎn)的食品中分別隨機抽取各10件樣品，測量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）.如圖是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖： 規(guī)定：當(dāng)食品中的此種元素含量不小于18毫克時，該食品為優(yōu)等品. （Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計甲、乙兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率； （Ⅱ）從乙廠抽出的上述10件樣品中，隨機抽取3件，求抽到的3件樣品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望； （Ⅲ）從甲廠的10件樣品中有放回的隨機抽取3件，也從乙廠的10件樣品中有放回的隨機抽取3件，求抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率． 21．（本小題滿分12分） 已知橢圓：的焦距為，離心率為，其右焦點為，過點作直線交橢圓于另一點． （Ⅰ）若,求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若過點的直線與橢圓：交于兩點，為坐標(biāo)原點，設(shè)為橢圓上一點，滿足．當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍． 請考生從第22、23、24三題中任選一題作答. 注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑. 22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講 A B C O D E P 如圖，已知切⊙于點E，割線PBA交⊙于A、B兩點，∠APE的平分線和AE、BE分別交于點C、D．求證： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 23.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知直線： ， 圓：. （Ⅰ）當(dāng)=時，求與的交點坐標(biāo)： （Ⅱ）過坐標(biāo)原點O做的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當(dāng)變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線. 24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 設(shè)函數(shù). （Ⅰ）畫出函數(shù)的圖像； （Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范圍. 理科數(shù)學(xué)參考答案 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共60分。在每小題列出的四個選項中，只有一項最符合題意） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B B C B C B C D A B 二、填空題(共4個小題，每小題5分，計20分) 13. 1 ； 14. ； 15. ； 16. 4 . 三、解答題（共6小題，計70分．解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明，證明過程或演算步驟） 17. （本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a1＝b1＝(21?1)?31+4＝7； ………………………2分 當(dāng)n≥2時，an=bn-bn-1=[（2n-1）?3n+4]-[（2n-3）?3n-1+4] =4n?3n-1，這里n=1時，4n?3n-1=4≠7． ………………………4分 綜上所述:． ………………………5分 （Ⅱ）設(shè)Sn＝1?31+3?32+5?33+…+(2n?1)?3n， 則3Sn=1?32+3?33+…+（2n-3）?3n+（2n-1）?3n+1，………………………6分 相減得?2Sn＝13+2(32+33+…+3n)-（2n-1）?3n+1 =3-9+93n-1-（2n-1）?3n+1 =-6-（2n-2）?3n+1， ………………………9分 ∴Sn＝3+(n?1)?3n+1． ………………………10分 因此cn＝Sn+4n＝3+(n?1)?3n+1+4n ………………………12分 18．（本小題滿分12分） 解:(Ⅰ)證法一:連接OA、OP ∵四邊形ABCD是矩形,且AB=2BC,O是CD的中點, ∴BO⊥AO .① 又∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD AD 平面ABCD，ADCD ∴AD平面PCD. 而PD平面PCD，∴ADPD，同理BCPC. 在直角ADP和直角BCP中，AD=BC,PA=PB ∴PC=PD ∴POCD又PO平面PCD ∴PO平面ABCD，而BO平面ABCD ∴BOPO ② 由①②及AOPO=O，AO、PO平面PAO得 BO平面PAO，又PA平面PAO ∴BOPA. 證法二：∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD AD 平面ABCD，ADCD ∴AD平面PCD. 而PD平面PCD，∴ADPD，同理BCPC. 在直角ADP和直角BCP中，AD=BC,PA=PB ∴PC=PD 取AB的中點Q，連接OP、OQ，則OP、OC、OQ兩兩互相垂直………………2分 以O(shè)為原點分別以O(shè)C、OP、OQ為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系. ∵AB=2BC=2，∴A（-1,0,1），B（1,0,1） 又PAB是正三角形，PCD是等腰三角形， OP=, ∴P(0,,0) 從而，, , ∴.………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知：, ,設(shè)平面BPA的法向量為 由 取得 所以平面BPA的一個法向量為 ………………8分 又， ，設(shè)平面DPA的一個法向量為 由， 取得 所以平面DPA的一個法向量為 ………………10分 故二平面PAB與平面PAD夾角的余弦值為. ………………12分 19．（本小題滿分12分） 解：（Ⅰ）由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f ′(x)＝．……………2分 ∵a＝1，b＝－1， ∴f ′(x)＝＝（x＞0）． ………………3分 令f ′(x)＝0，得x＝1． 當(dāng)0＜x＜1時，f ′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x＞1時，f ′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增． ………………4分 ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)．…………………5分 （Ⅱ）由題意可知，f(x)在x＝1處取得最小值，即x＝1是f(x)的極值點， ∴f ′(1)＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a． ………………7分 令g(x)＝2－4x＋lnx（x＞0），則g′(x)＝． 令g′(x)＝0，得x＝． ………………9分 當(dāng)0＜x＜時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x＞時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減． ………………10分 ∴g(x)≤g()＝1＋ln＝1－ln4＜0． ∴g(a)＜0，即2－4a＋lna＝2b＋lna＜0， 故lna＜－2b． …………………………………12分 ………………………2分 20．（本小題滿分12分） ………………………4分 ………………………6分 的分布列為 ………………………8分 ……………12分 21．（本小題滿分12分） 解（Ⅰ）由題設(shè)知，，則，從而， 所以，橢圓的方程為． ………………2分 可得． 設(shè)，則，由，得 ，即． 由 得 或 即或． ………………3分 當(dāng)時，,則外接圓的圓心是原點，半徑為，所以圓的方程是． ………………4分 當(dāng)時，,則是的直角三角形，可求得圓的方程是． 綜上所述，所求圓的方程是或．………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，橢圓的方程是，從而直線與軸不垂直． 設(shè)：，代入，得， 由，得． ………9分 設(shè)，則， 因為，，即， ，解得， ． ………………………10分 設(shè)，則由，得 ， 因為，點在橢圓上，所以， 解得，． ………………………11分 因為，所以，即或， 故實數(shù)的取值范圍為 ． ………………………12分 22.證明：（Ⅰ）切⊙于點， 平分 ， ………………5分 （Ⅱ） ∽， 同理∽， ………………10分 23.解：（I）當(dāng)時，C1的普通方程為，C2的普通方程為. 聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點為（1,0），…………5分 （II）C1的普通方程為. A點坐標(biāo)為，故當(dāng)變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）P點軌跡的普通方程為 故P點軌跡是圓心為，半徑為的圓 …………10分 24.解：（Ⅰ）由于=則函數(shù)的圖像如圖所示 …………5分 （Ⅱ）由函數(shù)與函數(shù)的圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時，函數(shù)與函數(shù)的圖像有交點，故不等式的解集非空時，a的取值范圍為 ……10分