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2019-2020年高考數(shù)學(xué)問題2.7形形色色的切線問題提分練習(xí) 一、考情分析 用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一,也是高考考查的熱點(diǎn),考查的形式不一,可以是客觀題也可以是解答題,內(nèi)容涉及到曲線切線的傾斜角與斜率,曲線切線方程的確定,兩曲線的公切線問題及滿足條件的切線條數(shù)問題.. 二、經(jīng)驗(yàn)分享 (1) 函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率k,即k＝f′(x0)． (2)已知切點(diǎn)A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：k＝f′(x0)． (2)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)＝k. (3)若求過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程,可設(shè)切點(diǎn)為(x1,y1),由求解即可． (4)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況,由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢． (5)求切線方程的方法：一點(diǎn)一方向可確定一條直線,在求切線時(shí)可考慮先求出切線的斜率（切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）與切點(diǎn),在利用點(diǎn)斜式寫出直線方.. (6)在處理切線問題時(shí)要注意審清所給已知點(diǎn)是否為切點(diǎn).“在某點(diǎn)處的切線”意味著該點(diǎn)即為切點(diǎn),而“過某點(diǎn)的切線”則意味著該點(diǎn)有可能是切點(diǎn),有可能不是切點(diǎn).如果該點(diǎn)恰好在曲線上那就需要進(jìn)行分類討論了. (7)在解析幾何中也學(xué)習(xí)了求切線的方法,即先設(shè)出切線方程,再與二次方程聯(lián)立利用求出參數(shù)值進(jìn)而解出切線方程.解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標(biāo)系下,所以兩個(gè)方法可以互通.若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線,二次曲線的一部分,則在求切線時(shí)可用解析的方法求解,例如：（圖像為圓的一部分）在處的切線方程,則可考慮利用圓的切線的求法進(jìn)行解決.若圓錐曲線可用函數(shù)解析式表示,像焦點(diǎn)在軸的拋物線,可看作關(guān)于的函數(shù),則在求切線時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行快速求解（此方法也為解析幾何中處理焦點(diǎn)在軸的拋物線切線問題的重要方法） 三、知識拓展 1.求曲線切線時(shí),要分清在點(diǎn)P處的切線與過P點(diǎn)的切線的區(qū)別,前者只有一條,而后者包括了前者． 2.曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè),這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別． 3.當(dāng)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線垂直于x軸時(shí),函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程是x＝x0； 四、題型分析 (一) 曲線切線的傾斜角與斜率 【例1】．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍； (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線,求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍． 【分析】(1)求出f′(x)的范圍就是切線斜率的范圍；(2)由－1≤k＜0或k≥1,得－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1,解不等式求范圍 【點(diǎn)評】求切線的傾斜角與斜率是導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的較簡單問題,一般是先求導(dǎo),把導(dǎo)函數(shù)看作切線斜率. 【小試牛刀】【xx屆福建省福州高三上學(xué)期期中】已知函數(shù),其中是實(shí)數(shù).設(shè), 為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且. （1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直,且,求的最小值； （2）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合,求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】 (1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,點(diǎn)處的切線斜率為,點(diǎn)處的切線斜率為,故當(dāng)處的切線與處的切線垂直時(shí), ,當(dāng)時(shí),有,所以, ,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即, 時(shí),等號成立,所以的最小值為. （2）當(dāng)或時(shí), ,所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為,即,兩處切線重合的充要條件是,由及,得, ,記,則,所以在單調(diào)遞減, , 趨近于時(shí), 趨近于,所以,所以的取值范圍是. (二) 求曲線的切線方程 【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2,－2)的曲線f(x)的切線方程． 【分析】(1)切點(diǎn)已知時(shí)求切線方程,求出,用點(diǎn)斜式寫出方程；(2) 題目并沒有說明是否為切點(diǎn),所以要分是否為切點(diǎn)進(jìn)行分類討論.當(dāng)是切點(diǎn)時(shí),易于求出切線方程,當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí),切點(diǎn)未知,從而先設(shè)再求,設(shè)切點(diǎn),切線斜率為,三個(gè)未知量需用三個(gè)條件求解：① ,②,③ 【點(diǎn)評】注意在點(diǎn)A處的切線與過點(diǎn)A的切線的區(qū)別,前者A是切點(diǎn),切線只有1條,或者A可能是切點(diǎn),也可能不是,所求切線可能多于1條. 【小試牛刀】【xx屆遼寧省丹東市五校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考】已知函數(shù)． （Ⅰ）若在處取極值,求在點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）當(dāng)時(shí),若有唯一的零點(diǎn),求證： 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 , 令,則 由,可得 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. 又,故當(dāng)時(shí), ； 又,故在上有唯一零點(diǎn),設(shè)為, 從而可知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 因?yàn)橛形ㄒ涣泓c(diǎn), 故且 (三)兩曲線的公切線 【例3】若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線和都相切,則等于(　　) A.或 B. 或 C. 或 D. 或 【分析】本題兩條曲線上的切點(diǎn)均不知道,且曲線含有參數(shù),所以考慮先從常系數(shù)的曲線入手求出切線方程,再考慮在利用切線與曲線求出的值. 【答案】A 【點(diǎn)評】（1）涉及到多個(gè)函數(shù)公切線的問題時(shí),這條切線是鏈接多個(gè)函數(shù)的橋梁.所以可以考慮先從常系數(shù)的函數(shù)入手,將切線求出來,再考慮切線與其他函數(shù)的關(guān)系 （2）在利用切線與求的過程中,由于曲線為拋物線,所以并沒有利用導(dǎo)數(shù)的手段處理,而是使用解析幾何的方法,切線即聯(lián)立方程后的來求解,減少了運(yùn)算量.通過例7,例8可以體會(huì)到導(dǎo)數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系：一方面,求有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問題時(shí)可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切線問題時(shí),若曲線可寫成函數(shù)的形式,那么也可以用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行處理,（尤其是拋物線） 【小試牛刀】【xx屆四川成都市高三期中】已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線也相切,則的值是__________. 【答案】 【解析】依題意得： , =, ,點(diǎn)處的切線的方程為： ,即,設(shè)切線與曲線的切點(diǎn)為 則,解得： ,∴,故答案為：4 (四) 曲線條數(shù)的確定 【例4】已知函數(shù),若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切,求的取值范圍 【分析】由于并不知道3條切線中是否存在以為切點(diǎn)的切線,所以考慮先設(shè)切點(diǎn),切線斜率為,則滿足 ,所以切線方程為,即 ,代入化簡可得：,所以若存在3條切線,則等價(jià)于方程有三個(gè)解,即與有三個(gè)不同交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可解決 【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),切線斜率為,則有： 切線方程為： 因?yàn)榍芯€過,所以將代入直線方程可得： 所以問題等價(jià)于方程,令 即直線與有三個(gè)不同交點(diǎn) 令解得 所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增 所以若有三個(gè)交點(diǎn),則 所以當(dāng)時(shí),過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切. 【點(diǎn)評】曲線切線條數(shù)的確定通常轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定,設(shè)出切點(diǎn),由已知條件整理出關(guān)于t的方程,可把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題. 【小試牛刀】【xx屆安徽省亳州高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測】過點(diǎn)與曲線相切的直線有且只有兩條,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 五、遷移運(yùn)用 1．【xx屆湖北省荊州中學(xué)高三第二次月考】已知函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí), ,則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】試題分析：由于函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí), ,進(jìn)而可得當(dāng)時(shí),從而曲線在點(diǎn)處切線的斜率為,故選B. 2．【xx屆河南省天一大聯(lián)考】已知是定義在上的單調(diào)函數(shù),滿足,則在處的切線方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可得為一固定的數(shù),設(shè),則有.由可得,當(dāng)時(shí),有,解得.∴,∴.∴,又.∴曲線在處的切線方程為,即.選A. 3．【xx屆河南省南陽高中三年級期中】已知為曲線（且）上的兩點(diǎn),分別過作曲線的切線交軸于兩點(diǎn),若,則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè)切點(diǎn)作標(biāo)為,若,則,不合題意,若,不合題意,只有,因?yàn)?所以此時(shí), 方程: ,令, , , 方程,令, , ,故選B. 4．【xx屆廣東省陽春高三上學(xué)期第三次月考】設(shè)點(diǎn)為函數(shù)與圖象的公共點(diǎn),以為切點(diǎn)可作直線與兩曲線都相切,則實(shí)數(shù)的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同,,由題意,即,由得或（舍去）,即有 ,令,則,于是當(dāng),即時(shí), ；當(dāng),即時(shí), ,故在為增函數(shù),在為減函數(shù),于是在的最大值為,故的最大值為,故選D. 5．【xx屆湖北省宜昌高三月考】過點(diǎn)A(2,1)作曲線的切線最多有(　　) A. 3條 B. 2條 C. 1條 D. 0條 【來源】數(shù)學(xué)（理）試題 【答案】A 6．【xx屆四川宜賓市高三（上）測試】設(shè)函數(shù)與有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線方程相同,則實(shí)數(shù)的最大值為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意,可得,由(1)得,解得或 (舍去),代入(2)得, ,構(gòu)造,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即的最小值為,所以的最大值為,故選A. 7．【xx屆內(nèi)蒙古巴彥淖爾市高三月考】已知函數(shù)的圖像為曲線,若曲線存在與直線 垂直的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵曲線 存在與直線 垂直的切線, 成立, 故選A 8．【xx屆齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高三第一次調(diào)研】已知曲線恰好存在兩條公切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)直線為它們的公切線,聯(lián)立可得①,求導(dǎo)可得,令可得,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為,代入可得②.聯(lián)立①②可得,化簡得.令,, 在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減, . 有兩條公切線, 方程有兩解, ,所以答案為D 9.【xx屆廣西南寧市高三上學(xué)期期末考試】已知, 是函數(shù)圖像上的兩個(gè)不同點(diǎn).且在兩點(diǎn)處的切線互相平行,則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意, ,當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,因?yàn)樵趦牲c(diǎn)處的切線互相平行,且,所以 (否則根據(jù)導(dǎo)數(shù)相等得出兩點(diǎn)重合),所以在點(diǎn) 處切線的斜率為 ,在點(diǎn)處切線的斜率為,所以,即表示的曲線為雙曲線在第四象限的部分,如圖： 表示這個(gè)曲線上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,由圖可知取值范圍是,故選D. 10.【xx屆遼寧省沈陽市高三第九次模擬考試】已知函數(shù) ,且的圖象在處的切線與曲相切,符合情況的切線 A. 有條 B. 有條 C. 有條 D. 有條 【答案】A 11.【xx屆安徽省蚌埠市3月教學(xué)質(zhì)量檢查】已知函數(shù),曲線上存在兩個(gè)不同點(diǎn),使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】曲線上存在不同的兩點(diǎn),使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直, 有兩個(gè)不同的解,即得有兩個(gè)不同的解,設(shè),則, 在上遞減,在上遞增時(shí),函數(shù)取得極小值又因?yàn)楫?dāng)時(shí)總有,所以可得數(shù)的取值范圍是,故選D. 12.【xx屆寧夏銀川高三第五次月考】已知為正實(shí)數(shù),直線與曲線相切,則的取值范圍是___ 【答案】 【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn),因?yàn)?所以,即,則 ,又因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù),所以,且在內(nèi)為減函數(shù),所以,即的取值范圍為；故填. 13.【xx屆河南省高三12月聯(lián)考】已知過點(diǎn)與曲線（）相切的直線有且僅有兩條,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】∵,∴.設(shè)切點(diǎn)為,則有,所以過點(diǎn)P的切線方程為, 又點(diǎn)在切線上,所以,整理得, 由題意得方程有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根.設(shè),則,要使的圖象與t軸的正半軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則需.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍是. 答案： 14.已知函數(shù),若曲線在點(diǎn),（ ,其中互不相等）處的切線互相平行,則的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】 函數(shù), 曲線在點(diǎn),其中互不相等）處的切線互相平行,即在點(diǎn)處的值相等,畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象,如圖, 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí), 必須滿足, ,故答案為. 15.【xx屆江蘇省常州市第一學(xué)期月考】設(shè)點(diǎn)為函數(shù)與圖象的公共點(diǎn),以為切點(diǎn)可作直線與兩曲線都相切,則實(shí)數(shù)的最大值為___________． 【答案】 【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則有,因?yàn)橐詾榍悬c(diǎn)可作直線與兩曲線都相切,所以,即 或由,故,此時(shí)；所以點(diǎn)坐標(biāo)為,代入整理得： , ,令,即,得,可判斷 在 上遞增,在 上遞減,所以當(dāng)時(shí)有極大值也是最大值, ,故答案為. 16.已知函數(shù)（）,. （1）若,曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直,求的值； （2）若,試探究函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處是否存在公切線.若存在,研究值的個(gè)數(shù)；,若不存在,請說明理由. 【解析】（1）當(dāng)時(shí), ,∴ , 依題意得,∴ . （2）假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線, ∵,∴ ,∴ , , 由得,即, ∴,故. ∵函數(shù)的定義域?yàn)? 下面研究滿足此等式的的值的個(gè)數(shù)： 設(shè),則,且,方程化為, 分別畫出和的圖象, 當(dāng)時(shí), , , 由函數(shù)圖象的性質(zhì)可得和的圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)（且均符合）, ∴方程有且只有兩個(gè)根. 綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；當(dāng)時(shí),函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線,且符合題意的的值有且僅有兩個(gè).