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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)保分大題規(guī)范專練六 1．已知f(x)＝sin 2x－2sin2x＋2. (1)當(dāng)x∈時(shí)，求f(x)的取值范圍； (2)已知銳角三角形ABC滿足f(A)＝，且sin B＝，b＝2，求△ABC的面積． 解：(1)∵f(x)＝sin 2x＋2cos2x ＝sin 2x＋(cos 2x＋1) ＝2sin＋， 又∵x∈，∴2x＋∈， ∴f(x)∈[0,2＋ ]． (2)在銳角三角形ABC中，∵f(A)＝， ∴2sin＋＝， ∴sin＝0， ∵A∈，∴2A＋∈， ∴2A＋＝π，∴A＝， 又∵sin B＝，B∈， ∴cos B＝， ∴sin C＝sin＝＋＝， ∴c＝sin C＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝2＝2＋. 2.如圖，PABD和QBCD為兩個(gè)全等的正棱錐，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，其中AB＝1，∠APB＝90. (1)求證：BD⊥平面APQ； (2)求直線PB與平面PDQ所成角的正弦值． 解：由已知得PABD和QBCD是頂角處三條棱兩兩垂直，底面是正三角形的正棱錐，其中側(cè)棱長(zhǎng)為. (1)證明：易知底面ABCD是菱形，連接AC(圖略)，則AC⊥BD. 易證PQ∥AC，所以PQ⊥BD. 由已知得PABD和QBCD是頂角處三條棱兩兩垂直， 所以AP⊥平面PBD， 所以BD⊥AP，因?yàn)锳P∩PQ＝P， 所以BD⊥平面APQ. (2)法一：由(1)知PQ⊥BD， 取PQ中點(diǎn)M，連接DM，BM，分別過(guò)點(diǎn)P，Q做AC的垂線，垂足分別為H，N. 由正棱錐的性質(zhì)可知H，N分別為△ABD，△BCD的重心，可知四邊形PQNH為矩形． 其中PQ＝AC＝，PH＝. DM＝＝， S△BDM＝BDPH＝1＝， S△PQD＝PQDM＝＝. 令B到平面PQD的距離為h， 則V三棱錐PBDM＝V三棱錐BPQD， 即＝h，解得h＝. 設(shè)BP與平面PQD所成角為θ， 則sin θ＝＝＝. 法二：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，取PQ的中點(diǎn)M，連接OM，易知OM，OB，OC兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 則O(0,0,0)，B，D，P，Q， 所以＝，＝， ＝， 令m＝(a，b，c)為平面PQD的法向量， 則即 令a＝2，則m＝(2,0，－)． 設(shè)直線PB與平面PDQ成角為θ， 所以sin θ＝|cos〈m，〉|＝ ＝＝. 3．已知函數(shù)f(x)＝aex＋x2，g(x)＝sin ＋bx，直線l與曲線y＝f(x)切于點(diǎn)(0，f(0))，且與曲線y＝g(x)切于點(diǎn)(1，g(1))． (1)求實(shí)數(shù)a，b的值和直線l的方程； (2)證明：f(x)>g(x)． 解：(1)f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝cos ＋b， 則f′(0)＝a，g′(1)＝b， 又f(0)＝a，g(1)＝1＋b， 則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝ax＋a； 曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1， 則a＝b＝1，直線l的方程為y＝x＋1. (2)證明：由(1)知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sin ＋x， 只需證f(x)＝ex＋x2≥x＋1≥sin ＋x＝g(x)． 設(shè)F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1， 則F′(x)＝ex＋2x－1， 由F′(x)＝0，可得x＝0，當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)′(x)<0； 當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)′(x)>0， 故F(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以F(x)min＝F(0)＝0. 再設(shè)G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin ， 則G(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)＝＋2kπ(k∈Z)， 即x＝4k＋1(k∈Z)時(shí)等號(hào)成立． 由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立， 故f(x)>g(x)．