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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題8 選修專題 專題綜合檢測八 理 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．直線y＝2x＋1的參數(shù)方程是(C) A. B. C. D. 2．在極坐標系中，圓ρ＝2sin θ的圓心的極坐標是(A) A. B. C．(1，0) D．(1，π) 解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以x2＋y2－2y＝0，其圓心坐標為(0，1)，其極坐標為. 3．已知圓的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標中，該圓的方程為(B) A．ρ＝2cos θ B．ρ＝2sin θ C．ρ＝－2cos θ D．ρ＝－2sin θ 解析：x2＋y2－2y＝0?x2＋(y－1)2＝1，該方程表示圓心為(0，1)，半徑為1的圓，如圖，在圓上任取一點M(ρ，θ)，則|OM|＝2sin θ，所以ρ＝2sin θ，故選B. 4．參數(shù)方程(t為參數(shù))與極坐標方程ρ＝sin θ所表示的圖形分別是(B) A．直線、直線 B．直線、圓 C．圓、圓 D．圓、直線 解析：將參數(shù)方程消去參數(shù)t得2x－y－5＝0，所以對應圖形為直線．由ρ＝sin θ得ρ2＝ρsin θ，即x2＋y2＝y(tǒng)，即x2＋＝，對應圖形為圓． 5．若圓的方程為(θ為參數(shù))，直線的方程為(t是參數(shù))，則直線與圓的位置關系是(B) A．相交過圓心 B．相交且不過圓心 C．相切 D．相離 6．利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間，年生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關系可近似地表示為y＝－30x＋4000，則每噸的成本最低時的年產(chǎn)量(噸)為(B) A．240 B．200 C．180 D．160 解析：依題意，得每噸的成本為＝＋－30，則≥2－30＝10，當且僅當＝，即x＝200時取等號，故選B. 7．(xx安徽卷)以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是ρ＝4cos θ，則直線l被圓C截得的弦長為(D) A. B．2 C. D．2 解析：由題意可得直線和圓的方程分別為x－y－4＝0，x2＋y2＝4x，所以圓心C(2，0)，半徑r＝2，圓心(2，0)到直線l的距離d＝，由半徑，圓心距，半弦長構成直角三角形，解得弦長為2. 8．已知動直線l平分圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，則直線l與圓O：(θ為參數(shù))的位置關系是(A) A．相交 B．相切 C．相離 D．過圓心 解析：動直線l平分圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，即圓心(2，1)在直線l上，又圓O：的普通方程為x2＋y2＝9且22＋12<9，故點(2，1)在圓O內(nèi)，則直線l與圓O的位置關系是相交． 9．△ABC的三邊長分別為，，2，△A′B′C′的兩邊長分別為1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長為(A) A. B. C. D. 解析：∵△ABC∽△A′B′C′，則＝，則△A′B′C′的第三邊長為＝. 10．如圖所示，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上靠近點A的一個三等分點，則△ADE與四邊形DECB的面積之比為(D) A．1∶3 B．1∶9 C．1∶4 D．1∶8 解析：由題知△ADE與△ABC的相似比為1∶3，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶9.則△ADE與四邊形DECB的面積之比為1∶8. 11．點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點，AE與CD相交于點G，則圖中的相似三角形共有(C) A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 12．如圖所示，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，M，N分別是邊AB，AD的中點，連接OM，ON，MN.則下列敘述正確的是(C) A．△AOM和△AON都是等邊三角形 B．四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形 C．四邊形AMON和四邊形ABCD是相似形 D．四邊形MBCO和四邊形OCDN都是等腰梯形 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上) 13．(xx北京卷)在極坐標系中，點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距離為1． 解析：先把點極坐標化為直角坐標(1，)，再把直線的極坐標方程ρ(cos θ＋sin θ)＝6化為直角坐標方程x＋y－6＝0，利用點到直線距離公式d＝＝1. 14．(xx廣東卷)已知直線l的極坐標方程為2ρsin＝，點A的極坐標為A，則點A到直線l的距離為． 解析：依題意已知直線l：2ρsin＝和點A可化為l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以點A與直線l的距離為d＝＝. 15．(xx廣東卷)如圖，已知AB是圓O的直徑，AB＝4，EC是圓O的切線，切點為C，BC＝1，過圓心O做BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則OD＝8． 解析：如圖所示，連接OC，因為OD∥BC，又BC⊥AC，所以OP⊥AC，又O為AB線段的中點，所以為OP＝BC＝，在Rt△OCD中，OC＝AB＝2，由直角三角形的射影定理可得OC2＝OPOD即OD＝＝＝8. 16．(xx廣東卷)如圖，AB為圓O的直徑，E為AB的延長線上一點，過E作圓O的切線，切點為C，過A作直線EC的垂線，垂足為D.若AB＝4，CE＝2，則AD＝3． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(10分)(xx新課標Ⅱ卷)如圖O是等腰三角形ABC內(nèi)一點，圓O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高交于點G，且與AB，AC分別相切于E、F兩點． (1)證明EF∥BC； (2)若AG等于圓O半徑，且AE＝MN＝2，求四邊形EBCF的面積． 分析：(1)要證明EF∥BC，可證明AD⊥BC，AD⊥EF；(2)先求出有關線段的長度，然后把四邊形EBCF的面積轉化為△ABC和△AEF面積之差來求． 解析：(1)由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分線，又因為圓O與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)，所以AE＝AF，故AD⊥EF，所以EF∥BC. (2)由(1)知AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分線，又EF為圓O的弦，所以O在AD上，連接OE，OF，則OE⊥AE，由AG等于圓O的半徑得AO＝2OE，所以∠OAE＝30，因此，△ABC和△AEF都是等邊三角形，因為AE＝2，所以AO＝4，OE＝2，因為OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1，于是AD＝5，AB＝，所以四邊形DBCF的面積為－(2)2＝. 18．(12分)(xx陜西卷)如圖，AB切⊙O于點B，直線AD交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C. (1)證明：∠CBD＝∠DBA； (2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直徑． 分析：(1)先證∠CBD＝∠BED，再證∠DBA＝∠BED，進而可證∠CBD＝∠DBA； (2)先由(1)知BD平分∠CBA，進而可得AD的值，再利用切割線定理可得AE的值，進而可得⊙O的直徑． 解析：(1)因為DE為圓O的直徑，則∠BED＋∠EDB＝90， 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90，從而∠CBD＝∠BED. 又AB切圓O于點B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA. (2)由(1)知BD平分∠CBA，則＝＝3，又BC＝，從而AB＝3，所以AC＝＝4，所以AD＝3. 由切割線定理得AB2＝ADAE，即AE＝＝6， 故DE＝AE－AD＝3，即圓O的直徑為3. 19．(12分)(xx新課標Ⅱ卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α<π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標； (2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值． 解析：(1)曲線C2的直角坐標系方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標系方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立解得或 所以C2與C3交點的直角坐標為(0，0)和. (2)曲線C1的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A得極坐標為(2sin α，α)，B的極坐標為(2cos α，α)， 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當α＝時，|AB|取得最大值，最大值為4. 20．(12分)(xx陜西卷)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ＝2sin θ. (1)寫出⊙C的直角坐標方程； (2)P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標． 分析：(1)先將ρ＝2sin θ兩邊同乘以ρ可得ρ2＝2ρsin θ，再利用ρ2＝x2＋y2，x＝ρsin θ 可得⊙C的直角坐標方程；(2)先設P的坐標，則|PC|＝，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得|PC|的最小值，進而可得P的直角坐標． 解析：(1)由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，從而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3. (2)設P，又C(0，)，則|PC|＝＝，故當t＝0時，|PC|取最小值，此時P點的直角坐標為(3，0)． 21．(12分)(xx新課標Ⅱ卷)設a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明： (1)若ab＞cd；則＋＞＋； (2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件． 解析：(1)因為(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2， 由題設a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)． 因此＋＞＋. (2)(ⅰ)若|a－b|＜|c－d|，則(a－b)2＜(c－d)2，即 (a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd， 因為a＋b＝c＋d，所以ab＞cd. 由(1)得＋＞＋. (ⅱ)若＋＞＋則(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2. 因為a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是 (a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2 因此|a－b|＜|c－d|. 綜上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件． 22．(12分)(xx陜西卷)已知關于x的不等式|x＋a|＜b的解集為{x|2＜x＜4|}． (1)求實數(shù)a，b的值； (2)求＋的最大值． 分析：(1)先由|x＋a|＜b可得－b－a＜x＜b－a，再利用關于x的不等式|x＋a|＜b的解集為{x|2＜x＜4|}可得a，b的值；(2)先將＋變形為＋，再利用柯西不等式可得＋的最大值． 解析：(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a 則解得a＝－3，b＝1. (2)＋＝＋≤ ＝2＝4 當且僅當＝，即t＝1時等號成立， 故(＋)max＝4.