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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題13 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)（含解析） 程序框圖 【背一背重點知識】 1.算法的定義 算法是指按照 一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟． 2.程序框圖 (1)程序框圖又稱 流程圖 ，是一種用規(guī)定的程序、流程線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形． (2)程序框圖通常由程序框和流程線組成． (3)基本的程序框有終端框(起止框) 、輸入、輸出框、處框(執(zhí)行框) 、判斷框 ． 3. 三種基本邏輯結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu)：由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，這是任何一個算法都離不開的基本結(jié)構(gòu) 條件結(jié)構(gòu)：算法的流程根據(jù)條件是否成立 有不同的流向，條件結(jié)構(gòu)就是處這種過程的結(jié)構(gòu) 循環(huán)結(jié)構(gòu)：從某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體 【講一講提高技能】 1. 必備技能： (1)控制循環(huán)結(jié)構(gòu)的是計數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律以及循環(huán)結(jié)束的條件．在解答這類題目時首先要弄清楚這兩個變量的變化規(guī)律，其次要看清楚循環(huán)結(jié)束的條件，這個條件由輸出要求所決定，看清楚是滿足條件時結(jié)束還是不滿足條件時結(jié)束． (2)條件結(jié)構(gòu)的程序框圖中對判斷條件的分類是逐級進(jìn)行的，其中沒有遺漏也沒有重復(fù)，在解題時對判斷條件要仔細(xì)辨別，看清楚條件和函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，對條件中的數(shù)值不要漏掉也不要重復(fù)了端點值． 2. 典型例題： 例1程序框圖如圖所示：如果輸入x＝5，則輸出結(jié)果為（ ） A．325 B．109 C．973 D．295 【答案】A 【解析】 例2執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的屬于（ ） A. B. C. D. 分析：本題中條件分支結(jié)構(gòu)實際上是求函數(shù)的值域.時，求二次函數(shù)的值域，時，求一次函數(shù)的值域. 【解析】當(dāng)時,運行程序如下,, 當(dāng)時,,則,故選D. 【練一練提升能力】 1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（ ） A.1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】 合情推與演繹推 【背一背重點知識】 1.合情推是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論(包括定義、公、定等)，實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推過程，歸納和類比是合情推常見的方法，在解決問題的過程中，合情推具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)． 2. 演繹推是指如果推是從一般性的原出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推稱為演繹推． 演繹推的一般模式是“三段論”，包括：①大前提；②小前提；③結(jié)論． 3. 證明方法 (1)直接證明 ①綜合法 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定、公等，經(jīng)過一系列的推論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫綜合法．綜合法又叫順推法或由因?qū)Чǎ? ②分析法 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定、公等)，這種證明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或執(zhí)果索因法． (2)間接證明——反證法 一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法． (3)數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： ①(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0 (n0∈N*)時命題成立； ②(歸納遞推)假設(shè)n＝k (k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 【講一講提高技能】 1.必備技能： A．歸納推的一般步驟是：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題(猜想)． B．類比推是由特殊到特殊的推，其一般步驟是： (1)找出兩類事物之間的相似性或一致性； (2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)． 類比是根據(jù)兩個不同的對象，在某些方面(如特征、屬性、關(guān)系等)的類同之處，猜測這兩個對象在其他方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推方法．類比是科學(xué)研究最普遍的方法之一．在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定和公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造新分支的重要手段．類比在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛．?dāng)?shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限之間有不少結(jié)論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的． 類比推的關(guān)鍵是找到合適的類比對象，如上例中的橢圓類比到雙曲線，常見的平面幾何中的一些定、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論．一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比如表所示： 平面 空間 點 線 線 面 圓 球 三角形 三棱錐 角 二面角 面積 體積 周長 表面積 …… …… C.演繹推是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推模式，是一種必然性推．演繹推的前提與結(jié)論之間有蘊含關(guān)系，因而，只要前提是真實的，推的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實的，但是錯誤的前提可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論． 演繹推的主要形式，就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論式推．用集合論的觀點來講，就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P. D．合情推推出的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明，演繹推在大前提、小前提和推形式都正確的前提下得到的結(jié)論一定正確． 2.典型例題： 例1觀察下列等式: … 照此規(guī)律, 第n個等式可為 . 分析：本題考查觀察和歸納推能力，觀察四個等式，找到其規(guī)律，各個式子左邊依次為項數(shù)增加1，各項符號正負(fù)相間，，那么第個式子，左邊應(yīng)該為，右邊符號也是正負(fù)相間，絕對值正好第個等式，就是前面?zhèn)€正整數(shù)之和，故應(yīng)為．注意結(jié)論表述的完整性． 【解析】觀察上式等號左邊的規(guī)律發(fā)現(xiàn)：左邊的項數(shù)依次加1，故第n個等式左邊有n項，每項所含的底數(shù)的絕對值也增加1，依次為指數(shù)都是，符號成正負(fù)交替出現(xiàn)可以用表示；等式的右邊數(shù)的絕對值是左邊項的底數(shù)的和，故等式的右邊可以表示為，所以第n個式子可為：． 例2觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)（） 頂點數(shù)（) 棱數(shù)（) 三棱錐 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中，所滿足的等式是_________. 分析：本題難度較大，關(guān)鍵是注意觀察的各個數(shù)據(jù)，并嘗試研究它們的運算關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 【解析】 【練一練提升能力】 1. 已知，由不等式我們可以得出推廣結(jié)論：，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由已知不等式可知，故，故選D． 2. 某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為；……；依此規(guī)律得到級分形圖． （1）4級分形圖中共有______條線段； （2）級分形圖中所有線段長度之和為______． 【答案】（1）45；（2） 【解析】 復(fù)數(shù)的概念、四則運算 【背一背重點知識】 1. 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念 形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中分別是它的實部和虛部．若，則為實數(shù)，若，則為虛數(shù)，若，則為純虛數(shù)． (2)復(fù)數(shù)相等：?()． (3)共軛復(fù)數(shù)：與共軛?，（） (4)復(fù)數(shù)的模 向量的模叫做復(fù)數(shù)的模，記作或，即＝＝. 2.復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面． (2)實軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實軸，軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)． (3)復(fù)數(shù)的幾何表示： 復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點平面向量 . 3．復(fù)數(shù)的運算 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則 (2)復(fù)數(shù)加法的運算定律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律． 【講一講提高技能】 1必備技能： （1）復(fù)數(shù)的概念 對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，a叫做實部，b叫做虛部；當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)是實數(shù)a；當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)a＋bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時，復(fù)數(shù)a＋bi叫做純虛數(shù)． （2）復(fù)數(shù)的運算法則與實數(shù)運算法則相同，主要是除法法則的運用，另外復(fù)數(shù)中的幾個常用結(jié)論應(yīng)記熟：(1)(1i)2＝2i；(2) ；；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i； i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0；(4)設(shè)ω＝，則ω0＝1；ω2＝；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0. 2典型例題： 例1已知是虛數(shù)單位，若，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：因為，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部為 例2設(shè)是虛數(shù)單位，表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù). 若則（ ） A. B. C. D. 分析：復(fù)數(shù)的除法運算法則是分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，把分母化為實數(shù). 【解析】由題意，故選C. 【練一練提升能力】 1. 復(fù)數(shù) . 【答案】 【解析】 2. 復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的虛部是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：，的虛部是，故選 B． （一） 選擇題（12*5=60分） 1.某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的為 A． B．-3 C． D．2 【答案】D 【解析】 2.觀察下列各式：則 A．28 B．76 C．123 D．199 【答案】C 【解析】等式右面的數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列1,3,4,7,11，數(shù)列的前兩項相加后面的項，即，所以可推出，選C. 3.如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 4．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑. “開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個近似公式. 人們還用過一些類似的近似公式. 根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個是 A. B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，設(shè)選項中常數(shù)為，則；中代入得，中代入得，中代入得，中代入得，由于中值最接近的真實值，故選擇． 5．已知實數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于55的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 6．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：因為，所以，故選A． 7.設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（ ） A.充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B. 【解析】或，而復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是純虛數(shù)，故選B. 8. 設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)為 （ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】的共軛復(fù)數(shù)為，故選D． 9.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【解析】 10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】框圖運算的結(jié)果為： == ，故選A 11.若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因為是實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，所以也是方程的根，則，，所以解得，，選B. 12. 閱讀如下程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則程序運行后輸出的結(jié)果為（ ） A.7 B.9 C.10 D.11 【答案】B 【解析】 （二） 填空題（4*5=20分） 13.已知，觀察下列各式： 類比得：，則___________． 【答案】 【解析】 試題分析：，，所以． 14.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表． 設(shè)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)第個數(shù)，如．若，則 ． 【答案】 【解析】 15. 如圖所示的三角形數(shù)陣叫“牛頓調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如 ，…， 則（1）第6行第2個數(shù)（從左往右數(shù)）為_________； （2）第n行第3個數(shù)（從左往右數(shù)）為_________． 【答案】 【解析】 16.分形是幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦曼德爾布羅（BenoitMandelbrot）在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照下圖1的分形規(guī)律可得到如圖2所示的一個樹形圖，則當(dāng)時，第行空心圓點個數(shù)與第行及第行空心圓點個數(shù)的關(guān)系式為________；第12行的實心圓點的個數(shù)是_______． 【答案】；89 【解析】