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2019-2020年高中數學 電子題庫 第1章1.2.1知能演練輕松闖關 蘇教版必修2 如圖所示，用符號語言表示以下各概念： ①點A，B在直線a上________； ②直線a在平面α內________； ③點D在直線b上，點C在平面α內________． 答案：①A∈a，B∈a?、赼?α?、跠∈b，C∈α 若點A，B，C∈平面α，點A，B，C∈平面β，且A，B，C三點不共線，則α與β________． 解析：由公理3可知，經過不在同一條直線上的三點A，B，C有且只有一個平面，所以α與β重合． 答案：重合 若平面α與平面β相交，點A，B既在平面α內又在平面β內，則點A，B必在________． 解析：設α∩β＝l，∵A，B∈α且A，B∈β， ∴A，B∈l. 答案：α與β的交線上 給出以下三個命題：①若空間四點不共面，則其中無三點共線；②若直線l上有一點在平面α外，則l在α外；③兩兩相交的三條直線共面．其中正確的命題是________．(寫出所有正確命題的序號) 解析：③中三條直線兩兩相交于同一點時，可以不共面．①②都正確． 答案：①② 已知平面α與平面β、平面γ都相交，則這三個平面可能的交線有________條． 解析：當β與γ相交時，若α過β與γ的交線，有1條交線；若α不過β與γ的交線，有3條交線；當β與γ平行時，有2條交線． 答案：1或2或3 [A級　基礎達標] 下列說法中正確的個數為________． ①過三點至少有一個平面； ②過四點不一定有一個平面； ③不在同一平面內的四點最多可確定4個平面． 解析：①正確，其中三點不共線時，有且僅有一個平面．三點共線時，有無數個平面；②正確，四點不一定共面；③正確． 答案：3 ①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形； ②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形； ③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； ④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形． 空間中，上述四個結論一定成立的是________(填上所有你認為正確的命題的序號)． 解析：空間中，兩組對邊分別相等的四邊形不一定是平行四邊形，如圖所示． 答案：①②④ 空間有四個點，如果其中任意三點都不共線，那么經過其中三個點的平面有________個． 解析：當四點共面時，經過三點的平面有1個；四點不共面時，經過其中的三點可畫四個平面． 答案：一或四 設平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l. 解析：因為a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β， 又因為α∩β＝l，所以M∈l. 答案：∈ 已知平面α、β，直線l，點A、B、C，它們滿足：α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且C?α，又直線AB∩l＝D，A、B、C三點確定的平面為γ，則平面β與平面γ的交線是________． 解析：∵D∈l，l?β，∴D∈β，又C∈β，γ由A、B、C三點確定，∴AB?γ，C∈γ，又D∈AB，∴D∈γ，∴CD是β與γ的交線． 答案：直線CD 已知A、B、C是平面α外不共線的三點，且AB、BC、CA分別與α交于點E、F、G，求證：E、F、G三點共線． 證明：如圖，過A、B、C作一平面β， 則AB?β，AC?β，BC?β. ∴E∈β，F∈β，G∈β. 設α∩β＝l，∵AB、BC、CA分別與α相交于點E、F、G， ∴E∈α，F∈α，G∈α. ∴E、F、G必在α與β的交線上． ∴E、F、G三點共線． 已知：a∥b∥c，a∩d＝A，b∩d＝B，c∩d＝C，求證a，b，c，d共面． 證明：∵a∥b，∴a，b確定一個平面α. ∵A∈a，∴A∈α.同理B∈α. ∴AB確定的直線d?α. ∵b∥c，∴b，c確定一個平面β. ∵B∈b，∴B∈β.同理C∈β. ∴BC確定的直線d?β. ∵α與β同時過兩相交直線b，d， ∴α與β重合．∴a，b，c，d共面． [B級　能力提升] A、B、C、D為不共面的四點，E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上， (1)如果EH∩FG＝P，那么點P在________上； (2)如果EF∩GH＝Q，那么點Q在________上． 解析：(1)如圖，由AB、AD確定平面α. ∵E、H在AB、DA上， ∴E∈α，H∈α， ∴直線EH?α， 又∵EH∩FG＝P， ∴P∈EH，P∈α. 設BC、CD確定平面β，同理可證，P∈β， ∴P是平面α，β的公共點， ∵α∩β＝BD，∴點P在直線BD上． 同理可證(2)點Q在直線AC上． 答案：(1)BD所在的直線 (2)AC所在的直線 在如圖所示的正方體中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則使這四個點共面的圖是________(填序號)． 解析：圖①中PS∥QR，∴P、Q、R、S四點共面； 圖②中，連結PS并延長交右上方棱的延長線于M.連結MR并延長，交右下方的棱于N.連結NQ，可知P、S、N、Q 共面，所以P、Q、R、S四點共面． 圖③中SR∥PQ，∴P、Q、R、S四點共面． 答案：①②③ 如圖，△ABC與△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求證：AA1、BB1、CC1交于一點． 證明：如圖所示，∵A1B1∥AB， ∴A1B1與AB確定一平面α， 同理，B1C1與BC確定一平面β，C1A1與CA確定一平面γ. 易知β∩γ＝C1C.又△ABC與△A1B1C1不全等， ∴AA1與BB1相交，設交點為P，P∈AA1，P∈BB1. 而AA1?γ，BB1?β，∴P∈γ，P∈β， ∴P在平面β與平面γ的交線上． 又β∩γ＝C1C，根據公理2知，P∈C1C， ∴AA1、BB1、CC1交于一點． (創(chuàng)新題)求證：每兩條都相交且不共點的四條直線，必在同一平面內． 證明：記此四條直線為a，b，c，d. (1)存在三線共點，不妨設a，b，c共點P，則P?d，故P，d確定一個平面α，又a，d相交，交點為Q，則Q≠P且P，Q∈α，又P，Q∈α，故a?α.同理b，c?α，即a，b，c，d共面α. (2)任意三線不共點，則a，b，c兩兩相交且不共點，由(1)的證明，得a，b，c共面α，設a∩d＝P，b∩d＝Q，則P≠Q，由P，Q∈d且P，Q∈α，得d?α，故a，b，c，d共面α. 總之，兩兩相交且不共點的四線共面．