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2019-2020年高考數(shù)學精英備考專題講座 第四講概率與統(tǒng)計 第二節(jié)統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 文 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例是高中數(shù)學的重要學習內(nèi)容，它是一種處理問題的方法，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和社會生活中有著廣泛的應用，滲透到社會的方方面面，統(tǒng)計的基礎知識成為每個公民的必備常識． 由于中學數(shù)學中所學習統(tǒng)計與統(tǒng)計案例內(nèi)容是基礎的，高考對這一部分內(nèi)容的考查注重考查基礎知識和基本方法．該部分在高考試卷中，一般是2—3個小題或一個解答題，難度值在0.5～0.8. 考試要求：統(tǒng)計：（1）隨機抽樣：① 理解隨機抽樣的必要性和重要性.② 會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.（2）：用樣本估計總體① 了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.② 理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差.③ 能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并給出合理的解釋.④ 會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想.⑤ 會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.（3）變量的相關性：① 會作兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系.② 了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 統(tǒng)計案例：了解下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題.（1）獨立性檢驗了解獨立性檢驗（只要求22列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡單應用.（2）回歸分析：了解回歸的基本思想、方法及其簡單應用. 題型一 抽樣方法 例1（1）某高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有150、150、400、300名學生，為了解學生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)共抽取40名學生進行調(diào)查，應在丙專業(yè)抽取的學生人數(shù)為 ． （2）利用簡單隨機抽樣的方法，從n個個體（n＞13）中抽取13個個體，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每個個體被抽取的概率為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽取的概率為 點撥: （1）在分層抽樣中應注意總體中各個層次人數(shù)的比例，在樣本中應保持比例不變（2）簡單隨機抽樣過程中，每一次的抽取，剩下的個體被抽到的概率都是一樣的，所以應先求n． 解：（1）總體甲:乙:丙:丁=3:3:8:6，所以樣本中丙專業(yè)抽取的學生人數(shù)= (1) 由題意得：解得， ∴在整個抽樣過程中，每個個體被抽取的概率為． 易錯點:（1） 把樣本中的各層次的比例算錯.（2）誤認為在簡單隨機抽樣的每一次抽取中個體被抽到的概率不同導致錯誤． 變式與引申1:某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和xx輛．為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取 ____， ____， ____輛． 變式與引申2：經(jīng)問卷調(diào)查，某班學生對攝影分別執(zhí)“喜歡”、“不喜歡”和“一般”三種態(tài)度，其中執(zhí)“一般”態(tài)度的比“不喜歡”態(tài)度的多12人，按分層抽樣方法從全班選出部分學生座談攝影，如果選出的5位“喜歡”攝影的同學、1位“不喜歡”攝影的同學和3位執(zhí)“一般”態(tài)度的同學，那么全班學生中“喜歡”攝影的比全班人數(shù)的一半還多 人． 題型二 統(tǒng)計圖表問題 例2 從一條生產(chǎn)線上每隔30分鐘取一件產(chǎn)品，共取了n件，測得其產(chǎn)品尺寸后，畫得其頻率直方圖如下.尺寸在［15,45)內(nèi)的頻數(shù)為46. (1)求n的值； (2)求尺寸在［20,25)內(nèi)產(chǎn)品的個數(shù). 點撥:用樣本頻率分布去估計總體分布． 解：(1)由題意得，尺寸在［10,15)內(nèi)的 概率 是50.016=0.08.所以尺寸在［15,45)內(nèi)的概率 為1－0.08=0.92.由=0.92,∴n=50. (2)尺寸在［20,25)內(nèi)的概率是0.045=0.2. 故在該區(qū)間內(nèi)產(chǎn)品的個數(shù)是500.2=10(個) 易錯點:在直方圖中頻率每一個長方形的面積，而不是其高度． 變式與引申3: ⑴有一個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： ［12.5，15.5］，6；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22； ［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8. ①列出樣本的頻率分布表；②畫出頻率分布直方圖；③估計數(shù)據(jù)小于30.5的概率 題型三 平均數(shù)、標準差（方差）的計算問題 例3一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下： 　　9.4 8.4 9.4 9. 9 9.6 9.4 9.7 去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為( ?。? A．9.4，0.484 　B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 　　　D．9.5，0.016 點撥:本題考查平均數(shù)與方差的計算公式； 解：， 答案：D 易錯點:沒理解記憶,公式記錯. 變式與引申4: 是的平均數(shù)，是的平均數(shù)，是的平均數(shù)，則，，之間的關系為 ． 變式與引申5：某人5次上班途中所花時間（單位：分鐘）分別為、、10、11、9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則的值為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 題型四 線性回歸分析 例4下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應的生產(chǎn)能耗（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù): 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； （2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出ｙ關于ｘ的線性 回歸方程； （3）已知該廠技術改造前噸甲產(chǎn)品能耗為噸標準煤；試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低多少噸標準煤？ 點撥：本題中散點圖好作，本題的關鍵是求關于的線性回歸方程，它既可以由給出的回歸系數(shù)公式直接計算，也可以遵循著最小二乘法的基本思想――即所求的直線應使殘差平方和最小，用求二元函數(shù)最值的方法解決． 解：（1）散點圖如圖； （2）方法一：設線性回歸方程為，則 ∴時， 取得最小值， ,即，∴時, 取得最小值．所以線性回歸方程為． 方法二：由系數(shù)公式可知， ，所以線性回歸方程為． （3）時，，所以預測生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低噸標準煤． 易錯點:本題容易用錯計算回歸系數(shù)的公式，或是把回歸系數(shù)和回歸常數(shù)弄顛倒了． 變式與引申6: 為了分析某個高三學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議．現(xiàn)對他前次考試的數(shù)學成績、物理成績進行分析．下面是該生次考試的成績． 數(shù)學 888 883 1117 992 1108 1100 1112 物理 994 991 1108 996 1104 1101 1106 （1）他的數(shù)學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明； （2）已知該生的物理成績與數(shù)學成績是線性相關的，若該生的物理成績達到分，請你估計他的數(shù)學成績大約是多少？并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學成績的相關性，給出該生在學習數(shù)學、物理上的合理建議． 本節(jié)主要考查：（1）三種抽樣方法；總體分布的估計；線性回歸等．（2）解答概率統(tǒng)計試題時要注意分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化思想的運用． 點評：（1）簡單隨機抽樣方法應注意抽樣的公平性，分層抽樣應注意每個層次個體的比值；（2）用樣本頻率分布去估計總體分布；用樣本的某種數(shù)學特征去估計總體相應數(shù)學特征．解題途徑：應用所掌握的基礎知識進行計算.（3）進行總體平均數(shù)的估計與總體方差的估計. 解題途徑：利用樣本的平均數(shù)與方差分別作為總體的期望值和方差的估計.（4）線性回歸分析．解題途徑：先作出散點圖，再根據(jù)公式確定回歸方程中的參數(shù)，并可以根據(jù)求出的方程做預測或給出建議． 習題4-2 1. 某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150 個、120個、180個、150個銷售點．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務等情況，記這項調(diào)查為②．則完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（ ） A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法 2.某校有老師200人，男學生1200人，女學生1000人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為的樣本；已知從女學生中抽取的人數(shù)為80人，則= 　　 . 3. 某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.右圖4-2-3是根據(jù)抽樣檢測后96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 頻率/組距 圖 4-2-3 的 產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品 凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于 100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且 小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是 　　 . 4.（xx年高考北京卷。文）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵樹.乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示. （1）如果X=8，求乙組同學植樹棵樹的平均數(shù)和方差； （2）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)為19的概率. （注：方差其中為的平均數(shù)） 5. 假設關于某設備使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元）有如下統(tǒng)計資料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知，y對x呈線性相關關系，試求： （1）回歸直線方程； （2）估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？ 【答案】 變式與引申1：解：⑴三種型號的汽車數(shù)量比為3:15:5，所以樣本中三種汽車數(shù)量為 6,30,10． 變式與引申2：解：“喜歡”：“一般”：“不喜歡”=5:3:1， ∴令全班總人數(shù)為，則，解得 ∴“喜歡”的人數(shù)=人，比27多 3人． 答案：3 變式與引申3： ⑴①解：⑴樣本的頻率分布表如下： 分 組 頻 數(shù) 頻 率 12.5～15.5 6 0.06 15.5～18.5 16 0.16 18.5～21.5 18 0.18 21.5～24.5 22 0.22 24.5～27.5 20 0.20 27.5～30.5 10 0.10 30.5～33.5 8 0.08 合 計 100 1.00 ②頻率分布直方圖如圖. ③數(shù)據(jù)小于30.5的概率約為0.92. 變式與引申4：⑴； 變式與引申5：解：由題意得：,∴, ∴,∴ 選D 變式與引申6： 分析：成績的穩(wěn)定性用樣本數(shù)據(jù)的方差判斷，由物理成績估計數(shù)學成績由回歸直線方程解決． 解：（1）； ； ，， 從而，所以物理成績更穩(wěn)定． （2）由于與之間具有線性相關關系，根據(jù)回歸系數(shù)公式得到 ， 線性回歸方程為．當時，． 建議：進一步加強對數(shù)學的學習，提高數(shù)學成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進一步 提高． 習題4-2 1.B 沖根據(jù)抽樣的特點進行選擇不同的抽樣方法 2.解： 3. 90 解：產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)2=0.300, 已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,設樣本容量為, 則,所以,凈重大于或等于98克并且小于 104克的產(chǎn)品的概率為(0.100+0.150+0.125)2=0.75,所以樣本 中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是 1200.75=90. 4.解：（1）當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10， 所以平均數(shù)為 方差為 （Ⅱ）記甲組四名同學為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9，9，11，11；乙組四名同學為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9，8，9，10，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有16個，它們是： （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4）， （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）， 用C表示：“選出的兩名同學的植樹總棵數(shù)為19”這一事件，則C中的結果有4個，它們是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率為 5. 解: （1）依題列表如下： 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 ……4分