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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 電子題庫 第2章2.3.1知能演練輕松闖關(guān) 蘇教版選修1-1 已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且a＋c＝9，b＝3，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：因?yàn)閎＝3，所以c2－a2＝(c＋a)(c－a)＝9，所以c－a＝1，a＝4，此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1. 答案：－＝1 雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，3)，那么k的值是________． 解析：焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1，k<0，則?。?，解得k＝－1. 答案：－1 在雙曲線中，＝，且雙曲線與橢圓4x2＋9y2＝36有公共焦點(diǎn)，則雙曲線方程是________． 解析：與橢圓的知識點(diǎn)綜合．焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓4x2＋9y2＝36知，c＝，所以a＝2，b2＝c2－a2＝1，所以方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 過雙曲線－＝1左焦點(diǎn)F1的弦AB長為6，則△ABF2(F2為右焦點(diǎn))的周長是________． 解析：據(jù)題意AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a， 故(AF2＋BF2)－(AF1＋BF1)＝(AF2＋BF2)－AB＝4a， 因此(AF2＋BF2)＝AB＋4a＝6＋16＝22，故三角形周長為22＋6＝28. 答案：28 已知F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則PF＋PA的最小值為________． 解析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1， 則由雙曲線的定義可知PF＝2a＋PF1＝4＋PF1， ∴PF＋PA＝4＋PF1＋PA. ∴當(dāng)PF1＋PA最小時(shí)需滿足PF1＋PA最小．由雙曲線的圖象可知當(dāng)點(diǎn)A、P、F1共線時(shí)，滿足PF1＋PA最小，易求得最小值為AF1＝5，故所求最小值為9. 答案：9 [A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 橢圓＋＝1與雙曲線－＝1的焦點(diǎn)相同，則a＝________． 解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以c＝　＝，4－a2＝a2＋2，a2＝1，a＝1. 答案：1或－1 如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點(diǎn)A，B為左，右焦點(diǎn)，且過C，D兩頂點(diǎn)．若AB＝4，BC＝3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)． 由題意，得B(2，0)，C(2，3)． ∴，解得， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 與x2－＝1有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(2，)的雙曲線方程為________． 解析：設(shè)方程為－＝1(4－k>0，1＋k>0)，將點(diǎn)(2，)代入方程得k＝2.所以方程為－＝1. 答案：－＝1 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且＝0，||||＝2，則該雙曲線的方程是________． 解析：由于三角形PF1F2為直角三角形，故PF＋PF＝4c2＝40?(PF1－PF2)2＋2PF1PF2＝40，由雙曲線定義得(2a)2＋4＝40?a2＝9，故b2＝1，雙曲線方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 設(shè)P為雙曲線x2－＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若PF1∶PF2＝3∶2，則△PF1F2的面積為________． 解析：雙曲線的a＝1，b＝2，c＝. 設(shè)PF1＝3r，PF2＝2r.∵PF1－PF2＝2a＝2，∴r＝2. 于是PF1＝6，PF2＝4.∵PF＋PF＝52＝F1F，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2＝90. ∴S△PF1F2＝PF1PF2＝64＝12. 答案：12 已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)A，且a＝4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：若設(shè)所求雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 則將a＝4代入，得－＝1. 又∵點(diǎn)A(1，)在雙曲線上， ∴－＝1.由此得b2<0， ∴不合題意，舍去． 若設(shè)所求雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則將a＝4代入得－＝1，代入點(diǎn)A(1，)，得b2＝9， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 設(shè)雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A位于y軸右側(cè)且縱坐標(biāo)為4，求此雙曲線的方程． 解：法一：設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)， 由題意知c2＝36－27＝9，c＝3. 又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則橫坐標(biāo)為，于是有 解得 所以雙曲線方程為－＝1. 法二：設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)， 將點(diǎn)A的縱坐標(biāo)代入橢圓方程得A(，4)， 又兩焦點(diǎn)分別為F1(0，3)，F(xiàn)2(0，－3)， 所以2a＝ － ＝8－4＝4， a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5， 所以雙曲線方程為－＝1. [B級　能力提升] 若橢圓＋＝1(m>n>0)和雙曲線－＝1(a>0，b>0)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則PF1PF2的值是________． 解析：運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義寫出兩個(gè)定義式，然后平方，觀察之后，兩式相減，求出整體未知數(shù)PF1PF2的值．PF1＋PF2＝2，|PF1－PF2|＝2a， 所以PF＋PF＋2PF1PF2＝4m，PF－2PF1PF2＋PF＝4a2，兩式相減得： 4PF1PF2＝4m－4a2，∴PF1PF2＝m－a2. 答案：m－a2 已知雙曲線的方程是－＝1，點(diǎn)P在雙曲線上，且到其中一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離為10，另一個(gè)焦點(diǎn)為F2，點(diǎn)N是PF1的中點(diǎn)，則ON的大小(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為________． 解析：連接ON，ON是三角形PF1F2的中位線，所以O(shè)N＝PF2，因?yàn)閨PF1－PF2|＝8，PF1＝10，所以PF2＝2或18，ON＝PF2＝1或9. 答案：1或9 已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－，0)，過右焦點(diǎn)F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且∠PF1F2＝30，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：由題意在Rt△PF1F2中∠PF2F1＝90，又∠PF1F2＝30，則設(shè)PF2＝m，得F1F2＝m，PF1＝2m，又F1F2＝2，則解得m＝2，所以2a＝PF1－PF2＝2，所以b2＝c2－a2＝2，則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1. (創(chuàng)新題) 在抗震救災(zāi)行動(dòng)中，某部隊(duì)在如圖所示的P處空降了一批救災(zāi)藥品，急需把這批藥品沿道路PA，PB送到矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60，試在災(zāi)民區(qū)確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點(diǎn)沿道路PA送藥較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路PB送藥較近，請說明這一界線是一條什么曲線？并求出其方程． 解：災(zāi)民區(qū)ABCD中的點(diǎn)可分為三類，第一類沿道路PA送藥較近，第二類沿道路PB送藥較近，第三類沿道路PA，PB送藥一樣遠(yuǎn)近，由題意可知，界線應(yīng)該是第三類點(diǎn)的軌跡．設(shè)M為界線上的任意一點(diǎn)，則有PA＋MA＝PB＋MB，即MA－MB＝PB－PA＝50(定值)．界線為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支的一部分．如圖所示． 以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 －＝1(a>0，b>0)， ∵a＝25， 2c＝AB＝＝50， ∴c＝25，b2＝c2－a2＝3750， ∴雙曲線方程為－＝1，因?yàn)镃的坐標(biāo)為(25，60)，所以y的最大值為60，此時(shí)x＝35.因此界線的曲線方程為－＝1(25≤x≤35，y>0)．