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2019-2020 年高一數(shù)學(xué) 專題 02 點，直線，平面之間的位置關(guān)系同步單元雙基雙測 （B 卷） （含解析） 一、選擇題：本大題共 12 個小題,每小題 5 分,共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的. 1. 已知直線，則直線至多可以確定平面的個數(shù)為 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C. 【解析】兩平行直線可以確定一個平面，當(dāng)三條平行直線不共面時可以確定三個平面. 2. 對于平面、 、和直線、 、 、,下列命題中真命題是 （ ） A.若 ,則； ,amn??? B.若 則； /,ab????? C.若,則； D.若,則. 【答案】B. 【解析】 試題分析：由線面垂直的判定定理知，還需與 相 交 才 能 得 ， 故 錯；由線面平行的判定定理，還需知，故錯； 由面面平行的判定定理知，還需與 相 交 才 能 得 ，故錯. 所以選 B. 3. 已知是兩條不同的直線，是一個平面，且∥，則下列命題正確的是（ ） （A）若∥，則∥ （B）若∥，則∥ （C）若，則 （D）若，則 【答案】D 【解析】 試題分析：由 ∥，∥，可得或∥，不正確； 由∥，∥，可得∥或，相交或，互為異面直線，不正確； 由∥， ，可得∥或，相交，不正確； 由∥， ，可得，正確.選. 4. 正三棱柱中， ，則與平面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 5. 已知平面外不共線的三點到 α 的距離都相等,則正確的結(jié)論是( ) A.平面必平行于 B.平面必與相交 C.平面必不垂直于 D.存在△的一條中位線平行于或在內(nèi) 【答案】D 【解析】試題分析：已知平面外不共線的三點到 α 的距離都相等,因為這三點不一定在平面同一側(cè)，所以 平面必平行于錯誤；若這三點在平面同一側(cè)，則平面必平行于，所以 B 錯. 平面有可能垂直于，所以 C 錯； 由于平面外不共線的三點中必定有兩點在同一側(cè)，則在同一側(cè)的兩點所構(gòu)成的直線必平行于平面，即△中 存在一條邊平行于平面，所以該邊所對應(yīng)的中位線平行于或在內(nèi)，故 D 正確. 6. 【xx 遼寧高考理第 4 題】已知 m， n 表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ） A．若則 B．若， ，則 C．若， ，則 D．若， ，則 【答案】 B 【解析】 試題分析：若 A．若則與可能平行、相交、異面，故 A 錯誤； B．若， ，則，顯然成立； C．若， ，則或故 C 錯誤； D．若， ，則或或與相交. 考點：1.命題的真假；2.線面之間的位置關(guān)系. 7. 【山東濱州 xx 高一下學(xué)期期末試題】正方體 ABCD﹣A 1B1C1D1中 AB 的中點為 M，DD 1的中點為 N，則異面 直線 B1M 與 CN 所成的角是（ ）. A 0 B． 45 C． 60 D． 90 【答案】D 考點：異面直線所成的角. 8. 【山東濱州 xx 高一下學(xué)期期末試題】如圖，在三棱錐 S﹣ABC 中，底面是邊長為 1 的等邊三角形，側(cè) 棱長均為 2，SO⊥底面 ABC，O 為垂足，則側(cè)棱 SA 與底面 ABC 所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析:由題意得，SO⊥底面 ABC，O 為垂足，則側(cè)棱 SA 與底面 ABC 所成角即;該三棱錐是正三棱錐，在 底面上的射影是的中心,也是重心，由重心定理得,又因為,所以,即側(cè)棱 SA 與底面 ABC 所成角的余弦值為. 考點：直線與平面所成的角. 9. 【xx 高考廣東卷理第 7 題】若空間中四條直線兩兩不同的直線、 、 、 ，滿足， ， ，則下列結(jié)論一定正確的是 （ ） A. B. C.、既不平行也不垂直 D.、的位置關(guān)系不確定 【答案】D 【解析】如下圖所示，在正方體中，取為，為，取為，為， D1C1B1 A1 D CBA ；取為，為，則；取為，為，則與異面，因此、的位置關(guān)系不確定，故選 D. 10. 【xx 四川高考理第 8 題】如圖，在正方體中，點為線段的中點.設(shè)點在線段上，直線與平面所成的角 為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：設(shè)正方體的棱長為，則 1111312,3, ,22ACAOCOC????，所以1 132cos,sinAOCO?????? ， 1 16cos,sin332A?????. 又直線與平面所成的角小于等于，而為鈍角，所以的范圍為，選 B. 11. 【xx 重慶高考理第 7 題】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） A.54 B.60 C.66 D.72 【答案】B 【解析】 試題分析： 由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱的一部分，其直觀圖如上圖所示， 其中,側(cè)面是矩形，其余兩個側(cè)面是直角梯形，由于,, 平面平面,所以平面,所以平面，所以， 故三角形是直角三角形，且 ,22111345ABE??? 所以幾何體的表面積為： 1111CABACABBCSSS? ?矩 形 梯 形 梯 形 = 60????1345352422????? 故選 B. 12． 【改編題】已知二面角為， ， ，A 為垂足， ， ， ，則異面直線與所成角的余弦值為 （ ） A． B． C． D． 【答案】B. βαEl BDACG 【解析】如圖作于，連結(jié)，過作∥，作于，連結(jié)，則設(shè)．在中， 在中，60,9,2,.BAEBAaE??????? 在中，245,90,cos45.GCGaa????? 異面直線與所成角的余弦值為，故選 B． 2cos,aAB? 【考點】1.三垂線定理及其逆定理；2. 空間角（異面直線所成角）的計算． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空題（本大題共 4 小題，每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13. 長方體 ABCD－A 1B1C1D1中，AB＝AA 1＝2，AD＝1，E 為 CC1的中點，則異面直線 BC1與 AE 所成角的余弦 值為________． 【答案】 【解析】 試題分析：由題知，連接， ， ， ， ，異面直線 BC1與 AE 所成角，即為與所成的角，在中， ，在中 ，在中215AD???226AEBCE??? ，故由余弦定理，中， ．222111EC ????222156530cos 1AD????? 考點：余弦定理，異面直線所成的角,空間想象能力． 14. 如圖，三角形 ABC 是直角三角形，ACB=，PA 平面 ABC，此圖形中有____________個直角三角形. 圖 3 【答案】4 【解析】 試題分析：已知 ,平面,所以面,， 均為直角，ACBAC????09 PCBAPB???,,, 所以共 4 個直角三角形. 考點：線面垂直與線線垂直的關(guān)系 15.【山東省濱州市 xx 高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】如圖，在四棱錐 S﹣ABCD 中，底面是邊長為 1 的正 方形，SD⊥底面 ABCD，且 SD=，則平面 BSC 與底面 ABCD 所成銳二面角的大小為 _________ ． 【答案】. 【解析】 試題分析:;因為底面是邊長為 1 的正方形,所以;又因為 所以是平面 BSC 與BCADBSC?平 面平 面 ? 底面 ABCD 所成二面角的平面角；在中，,則,即平面 BSC 與底面 ABCD 所成銳二面角的大小為. 考點：二面角. 16. 【原創(chuàng)題】如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過三點的平面記為，與的交點為.若， ，梯形 的面積為 6，則平面與底面所成二面角大小為 . 【答案】. 【解析】如圖，在中，作，垂足為，連接.又且，所以平面，于是. 所以為平面與底面所成二面角的平面角. 因為∥， ，所以. 又因為梯形的面積為 6， ，所以. 于是 .11πtan,4AEE??? 故平面與底面所成二面角的大小為. 三、解答題 （本大題共 6 小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. （本小題滿分 11 分）如圖長方體中，底面是正方形，是的中點，是棱上任意一點. E A O C B D D1 A1 C1 B1 ⑴求證：； ⑵如果 ，求的長.12,,EO?? 【答案】 （1）證明見解析；（2） ． 【解析】 試題分析：（1）要證線線垂直，一般可先證線面垂直，這個平面要包含其中一條直線，本題中有許多垂 直關(guān)系，如，而平面，因此有平面，正好是平面內(nèi)的直線，問題得證；（2）我們采取空間問題平面化， 所有條件都可在矩形內(nèi)，利用平面幾何知識解題，由于，則有，這兩個三角形中，有，又，這時可求出， 從而求出的長． 試題解析：（1）是正方形，∴，又長方體的側(cè)棱平面，∴, ，故有平面，又，∴． 7 分 （2）在長方體中，是矩形，由，得，∴，從而，∴，又底面正方形的邊長為 2，故， ，又，∴，從而． 14 分 說明：用空間向量知識求解相應(yīng)給分． 考點：（1）空間兩直線垂直；（2）求線段長． 18. （本小題滿分 11 分） 【淮北一中 xx 第二學(xué)期高一期末試卷】如圖所示，在四棱錐中，平面， ， ，是的 中點，是上的點且，為△中邊上的高. （1）證明：平面； （2）若， ， ，求三棱錐的體積； (第 18 題圖） 【答案】(2)體積 【解析】 19. （本小題滿分 12 分） 【遼寧大連 xx 下學(xué)期省五校競賽試題】已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱,ABCD- A1B1C1D1的底面是菱形，且 AD=A A1， 點 F 為棱 BB1的中點，點 M 為線段 AC1的中點. (1)求證： MF∥平面 ABCD (2)求證：平面 AFC1⊥平面 ACC1A1 D1 A1 11 A B CD B1 C1 F M 【答案】 （1）證明見解析；（2）證明見解析． 【解析】 （2）連接 BD，由題知平面 AB-CD，又平面 ABCD，. 四邊形 ABCD 為菱形，. 又,平面,平面,平面. 在四邊形 DANB 中，DA∥BN,且 DA=BN,，四邊形 DANB 為平行四邊形，∥BD，平面。又平面，平面⊥平面. 考點：1.線面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 20. （本小題滿分 12 分） 【浙江省金華十校高二下學(xué)期期末試題】如圖，已知三角形△ABC 與△BCD 所在 平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90，AB=AC，CB=CD，點 P，Q 分別在線段 BD，CD 上，沿直線 PQ 將△PQD 向上翻折，使 D 與 A 重合． （Ⅰ）求證：AB⊥CQ； （Ⅱ）求 BP 的長； （Ⅲ）求直線 AP 與平面 BCD 所成的角． 【答案】 （I）見解析;（Ⅱ）1;（Ⅲ）45 【解析】 試題分析：（I）由面 ABC⊥面 BCQ 又 CQ⊥BC 推出 CQ⊥面 ABC,再推出 CQ⊥AB;（Ⅱ）作 AO⊥BC，垂足為 O，則 AO⊥平面 BCQ，連接 OP，由沿直線 PQ 將△PQD 向上翻折，使 D 與 A 重合可知 AP=DP 即 ，解得 BP=1;（Ⅲ）由（Ⅱ）知 AO⊥平面 BCD，所以20245cosDPAOBPB????? ∠APO 是直線 AP 與平面 BCD 所成的角， ，因此直線 AP245cos202 ?????BPOBOP 與平面 BCD 所成的角為 45. 試題解析：（I）證明：∵面 ABC⊥面 BCQ 又 CQ⊥BC ∴CQ⊥面 ABC ∴CQ⊥AB； （Ⅱ）解：作 AO⊥BC，垂足為 O，則 AO⊥平面 BCQ，連接 OP， 設(shè) AB=1，則 BD=2，設(shè) BP=x， 由題意 AP=DP， ∴ ， ∴x=1； （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知 AO⊥平面 BCD， ∴∠APO 是直線 AP 與平面 BCD 所成的角， ∴∠APO=45， ∴直線 AP 與平面 BCD 所成的角為 45． 考點：1.空間直線的位置關(guān)系的判定;2.空間兩點間的距離;3.線面角的求解 21. （本小題滿分 12 分） 【xx 高考湖南理第 19 題】如圖 6,四棱柱的所有棱長都相等, ,四邊形和四邊形為矩形.11,ACBDO??? (1)證明:底面; (2)若,求二面角的余弦值. 【答案】(1) 詳見解析 (2) 【解析】 試題分析:(1)要證明線面垂直,只需要在面內(nèi)找到兩條相交的線段與之垂直即可,即證明與垂直,首先利用 四棱柱所有棱相等,得到上下底面為菱形,進而得到均為中點,得到三者相互平行,四邊形均為矩形與平行相 結(jié)合即可得到與垂直,進而證明線面垂直. (2)要求二面角,此問可以以以為坐標原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標系,利用空間向量的 方法得到二面角的余弦值,在此說明第一種方法,做出二面角的平面角, 過作的垂線交于點,連接.利用(1) 得到,在利用四邊形為菱形,對角線相互垂直,兩個垂直關(guān)系即可得到垂直于平面,進而得到,結(jié)合得到線面 垂直,說明角即為哦所求二面角的平面角,設(shè)四棱柱各邊長為,利用勾股定理求出相應(yīng)邊長即可得到角的余 弦值,進而得到二面角的余弦值. 試題解析:(1)證明:四棱柱的所有棱長都相等 四邊形和四邊形均為菱形 11,ACBDO??? 分別為中點 四邊形和四邊形為矩形 且 又且底面 底面. (2)過作的垂線交于點,連接.不妨設(shè)四棱柱的邊長為. 底面且底面面 面 又面 四邊形為菱形 又且,面 面 又面 又且,面 面 為二面角的平面角,則 且四邊形為菱形 , ,211112, 7OaBOa??? 則 111121sin37HBa??AA 再由的勾股定理可得 ,2211 9CH??? 則 ,所以二面角的余弦值為. 21579a? 22. （本小題滿分12分） 【xx 高考湖北理第19題】如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點分別 在棱,上移動，且. （1）當(dāng)時，證明：直線平面； （2）是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 【答案】 （1）詳見解析；（2） 試題解析：幾何法： （1）證明：如圖 1，連結(jié)，由是正方體，知， 當(dāng)時，是的中點，又是的中點，所以， 所以， 而平面，且平面， 故平面. （2）如圖 2，連結(jié)，因為、分別是、的中點， 所以，且，又， ， 所以四邊形是平行四邊形， 故，且， 從而，且， 在和中，因為， ， 于是， ，所以四邊形是等腰梯形， 同理可證四邊形是等腰梯形， 分別取、 、的中點為、 、 ，連結(jié)、 ， 則， ，而， 故是平面與平面所成的二面角的平面角， 若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則， 連結(jié)、 ，則由，且，知四邊形是平行四邊形， 連結(jié)，因為、是、的中點，所以， 在中， ， ，21)(1222??????OH ，)()((222?G 由得，解得， 故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.