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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十六單元 概率 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)（四十六）古典概型命題2類型——簡(jiǎn)單問(wèn)題、交匯問(wèn)題 理 一、選擇題 1．(xx天津高考)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán))，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍(lán)，綠)，(藍(lán)，紫)，(綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P＝＝. 2．先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　骰子的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6，先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子， 設(shè)基本事件為(x，y)，共有66＝36個(gè)， 記兩次點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的事件為A， 有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5) 共9個(gè)， 所以兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率為P(A)＝＝. 3．高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽期間，某賓館隨機(jī)安排五名男生入住3個(gè)標(biāo)間(每個(gè)標(biāo)間至多住2人)，則A，B入住同一標(biāo)間的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　記A，B入住同一標(biāo)間的概率為P，某賓館隨機(jī)安排五名男生入住3個(gè)標(biāo)間(每個(gè)標(biāo)間至多住2人)共有A＝90種不同的方法，A，B入住同一標(biāo)間有CA＝18種不同的方法，∴P＝＝. 4．(xx泉州質(zhì)檢)一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，b＜c時(shí)，稱該三位自然數(shù)為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321，共6個(gè)； 同理由1,2,4組成的三位自然數(shù)共6個(gè)；由1,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)； 由2,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè)．所以共有46＝24個(gè)． 當(dāng)b＝1時(shí)，有214,213,312,314,412,413，共6個(gè)“凹數(shù)”； 當(dāng)b＝2時(shí)，有324,423，共2個(gè)“凹數(shù)”． 所以這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝＝. 5．高考后，4位考生各自在甲、乙兩所大學(xué)中任選一所參觀，則甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　高考后，4位考生各自在甲、乙兩所大學(xué)中任選一所參觀，基本事件總數(shù)n＝24＝16，甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的對(duì)立事件是4位考生都參觀甲大學(xué)或4位考生都參觀乙大學(xué)，所以甲、乙兩所大學(xué)都有考生參觀的概率P＝1－－＝. 6．a(chǎn)，b，c，d，e是從集合{1,2,3,4,5}中任取的5個(gè)元素(不允許重復(fù))，則abc＋de為奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題意可得a，b，c，d，e是1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)， 將這5個(gè)數(shù)分組可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分10組， 其中能使abc＋de為奇數(shù)的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有4組， 所以abc＋de為奇數(shù)的概率P＝＝. 7．拋擲質(zhì)地均勻的甲、乙兩顆骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則<|b－a2|<6－a成立的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由題意知(a，b)的所有可能情況為(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種， 設(shè)“<|b－a2|<6－a成立”為事件A， 則事件A包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，共7種， 故P(A)＝. 8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2， 要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根， 即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b. 又(a，b)的取法共有9種， 其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種， 故所求的概率P＝＝. 二、填空題 9．若從正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形的概率是________． 解析：由任何三點(diǎn)不共線，則共有C＝56個(gè)三角形，8個(gè)等分點(diǎn)可得4條直徑，可構(gòu)成直角三角形有46＝24個(gè)，所以構(gòu)成直角三角形的概率P＝＝. 答案： 10．從－1,0,1,3,4這五個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)記為a，則使曲線y＝的圖象在第一、三象限，且滿足不等式組無(wú)解的概率為_(kāi)_______． 解析：曲線y＝的圖象在第一、三象限，且滿足不等式組無(wú)解，即7－3a>0且a≤3，所以a<，所以a可?。?,0,1，由古典概型的概率公式，得P＝. 答案： 11．從－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個(gè)，則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)方程－＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線時(shí)，不能有m＜0，n＞0，所以方程－＝1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的(m，n)有(2，－1)，(3， －1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(－1，－1)，共7種，其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，m＞0，n＞0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共4種，所以所求概率P＝. 答案： 12．設(shè)集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b，確定平面上一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，設(shè)“點(diǎn)P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(0≤n≤4，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的值為_(kāi)_______． 解析：由題意知，點(diǎn)P的坐標(biāo)的所有情況為(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9種． 當(dāng)n＝0時(shí)，落在直線x＋y＝0上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，共1種； 當(dāng)n＝1時(shí)，落在直線x＋y＝1上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)和(1,0)，共2種； 當(dāng)n＝2時(shí)，落在直線x＋y＝2上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3種； 當(dāng)n＝3時(shí)，落在直線x＋y＝3上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)，(2,1)，共2種； 當(dāng)n＝4時(shí)，落在直線x＋y＝4上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，共1種． 因此，當(dāng)Cn的概率最大時(shí)，n＝2. 答案：2 三、解答題 13．有一枚正方體骰子，六個(gè)面分別寫(xiě)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，規(guī)定拋擲該枚骰子得到的數(shù)字是拋擲后面向上的那一個(gè)數(shù)字．已知b和c是先后拋擲該枚骰子得到的數(shù)字，函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)． (1)若先拋擲骰子得到的數(shù)字是3，求再次拋擲骰子時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)的概率； (2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 解：(1)記“函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點(diǎn)”為事件A， 由題意知，b＝3，c＝1,2,3,4,5,6， ∴所有的基本事件為(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6個(gè)． 當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點(diǎn)時(shí)，方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)根， 即Δ＝b2－4c≥0，∴c≤，∴c＝1或2， 即事件A包含2個(gè)基本事件， ∴函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零點(diǎn)的概率P(A)＝＝. (2)由題意可知，所有的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36個(gè)． 記“函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)”為事件B. ∵y＝f(x)的圖象開(kāi)口向上， ∴要想使函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)， 只需－≤－3即可，解得b≥6，∴b＝6. ∴事件B包含的基本事件有6個(gè)． ∴函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－3，＋∞)上是增函數(shù)的概率P(B)＝＝. 14．學(xué)校組織學(xué)生參加某項(xiàng)比賽，參賽選手必須有很好的語(yǔ)言表達(dá)能力和文字組織能力．學(xué)校對(duì)10位已入圍的學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言表達(dá)能力和文字組織能力的測(cè)試，測(cè)試成績(jī)分為A，B，C三個(gè)等級(jí)，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表： 　　　語(yǔ)言表達(dá)能力 文字組織能力　　　 A B C A 2 2 0 B 1 a 1 C 0 1 b 由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這10位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到語(yǔ)言表達(dá)能力或文字組織能力為C的學(xué)生的概率為. (1)求a，b的值； (2)從測(cè)試成績(jī)均為A或B的學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位語(yǔ)言表達(dá)能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率． 解：(1)依題意可知，語(yǔ)言表達(dá)能力或文字組織能力為C的學(xué)生共有(b＋2)人， 所以＝，a＋b＝3，解得b＝1，a＝2. (2)測(cè)試成績(jī)均為A或B的學(xué)生共有7人，其中語(yǔ)言表達(dá)能力和文字組織能力均為B的有2人，設(shè)為b1，b2，其余5人設(shè)為a1，a2，a3，a4，a5. 則基本事件空間Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)， (a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)， (a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)}． 所以基本事件空間總數(shù)為21. 選出的2人語(yǔ)言表達(dá)能力和文字組織能力均為B的有(b1，b2)． 所以至少有一位語(yǔ)言表達(dá)能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率P＝1－＝. 1．若x∈A的同時(shí)，還有∈A，則稱A是“好搭檔集合”，在集合B＝的所有非空子集中任選一集合，則該集合是“好搭檔集合”的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意可得，集合B的非空子集有25－1＝31個(gè)，其中是“好搭檔集合”的有：{1}，，，，，，，共7個(gè)，所以該集合是“好搭檔集合”的概率為P＝. 2．“累積凈化量(CCM)”是空氣凈化器質(zhì)量的一個(gè)重要衡量指標(biāo)，它是指空氣凈化器從開(kāi)始使用到凈化效率為50%時(shí)對(duì)顆粒物的累積凈化量，以克表示．根據(jù)GB/T18801xx《空氣凈化器》國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)空氣凈化器的累積凈化量(CCM)有如下等級(jí)劃分： 累積凈化量(克) (3,5] (5,8] (8,12] 12以上 等級(jí) P1 P2 P3 P4 為了了解一批空氣凈化器(共2 000臺(tái))的質(zhì)量，隨機(jī)抽取n臺(tái)機(jī)器作為樣本進(jìn)行估計(jì)，已知這n臺(tái)機(jī)器的累積凈化量都分布在區(qū)間(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]均勻分組，其中累積凈化量在(4,6]的所有數(shù)據(jù)有：4.5,4.6,5.1,5.2,5.7和5.9，并繪制了如下頻率分布直方圖． (1)求n的值及頻率分布直方圖中的x值； (2)以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)這批空氣凈化器(共2 000臺(tái))中等級(jí)為P2的空氣凈化器有多少臺(tái)？ (3)從累積凈化量在(4,6]的樣本中隨機(jī)抽取2臺(tái)，求恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率． 解：(1)∵在(4,6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個(gè)， 再由頻布直方圖得，落在(4,6]之間的頻率為0.032＝0.06， ∴n＝＝100. 由頻率分布直方圖的性質(zhì)得： (0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)2＝1， 解得x＝0.06. (2)由頻率分布直方圖可知，落在(6,8]之間共0.122100＝24臺(tái)， 又∵在(5,6]之間共4臺(tái)， ∴落在(5,8]之間共28臺(tái)， ∴估計(jì)這批空氣凈化器(共2 000臺(tái))中等級(jí)為P2的空氣凈化器有2 000＝560臺(tái)． (3)設(shè)“恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2”為事件B， 依題意落在(4,6]之間共6臺(tái)，屬于國(guó)標(biāo)P2級(jí)的有4臺(tái)， 則從(4,6]中隨機(jī)抽取2臺(tái)，基本事件總數(shù)n＝C＝15， 事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝CC＝8， ∴恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率P(B)＝＝.