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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題08 立體幾何（含解析） 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1．柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 （1）柱：棱柱：一般的，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn). 圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線. （2）錐：棱錐：一般的有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱. 圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面. （3）臺(tái)：棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn). 圓臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面；圓臺(tái)也有側(cè)面、母線、軸 （4）球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑. (5)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形． (6)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心． 2．空間幾何體的直觀圖 （1）斜二測(cè)畫法 ①建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標(biāo)系； ②畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面； ③畫對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X‘軸，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y‘軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄? ④擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）. 畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法. （2）平行投影與中心投影：平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn). 3.幾種常凸多面體間的關(guān)系 4.一些特殊棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念和主要性質(zhì) 名稱 棱柱 直棱柱 正棱柱 圖形 定 義 有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行的多面體 側(cè)棱垂直于底面的棱柱 底面是正多邊形的直棱柱 側(cè)棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 側(cè)面的形狀 平行四邊形 矩形 全等的矩形 對(duì)角面的形狀 平行四邊形 矩形 矩形 平行于底面的截面的形狀 與底面全等的多邊形 與底面全等的多邊形 與底面全等的正多邊形 名稱 棱錐 正棱錐 棱臺(tái) 正棱臺(tái) 圖形 定義 有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體 底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分 由正棱錐截得的棱臺(tái) 側(cè)棱 相交于一點(diǎn)但不一定相等 相交于一點(diǎn)且相等 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 相等且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 側(cè)面的形狀 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形 對(duì)角面的形狀 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于底的截面形狀 與底面相似的多邊形 與底面相似的正多邊形 與底面相似的多邊形 與底面相似的正多邊形 其他性質(zhì) 高過底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等 兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等 幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì) 名稱 特殊性質(zhì) 平行六面體 底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 直平行六面體 側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 長(zhǎng)方體 底面和側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 正方體 棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 5．多面體的面積和體積公式 名稱 側(cè)面積() 全面積() 體 積 () 棱 柱 棱柱 直截面周長(zhǎng) +2 = 直棱柱 棱 錐 棱錐 各側(cè)面積之和 + 正棱錐 棱 臺(tái) 棱臺(tái) 各側(cè)面面積之和 ++ (++) 正棱臺(tái) 表中表示面積，分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng). 6．旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式 名稱 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球 側(cè) 全 (即) 表中、分別表示母線、高，表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，表示半徑. 7.空間幾何體的三視圖 三視圖是觀測(cè)者從不同位置觀察同一個(gè)幾何體，畫出的空間幾何體的圖形. 他具體包括： （1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長(zhǎng)度； （2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度； （3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長(zhǎng)度和寬度. 三視圖畫法規(guī)則 高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊，長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正，寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等 【講一講提高技能】 1.必備技能： （1）解決三視圖問題的技巧：空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長(zhǎng)對(duì)正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”．也就是說正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長(zhǎng)就是空間幾何體的最大長(zhǎng)度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度．在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實(shí)、不見為虛”．在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的“虛線”． （2） 求體積常見方法 ①直接法（公式法）直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算；②轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積；③分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；④補(bǔ)形法：通過補(bǔ)形化歸為基本幾何體的體積；⑤四面體體積變換法；⑥利用四面體的體積性質(zhì)：（?。┑酌娣e相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅱ）高相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方. 求多面體體積的常用技巧是割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體.補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是1：2：3和等積變換法(平行換點(diǎn)、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等. （3）求體積常見技巧 當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題提供便利． ①幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之． ②幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等．另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積． ③有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素． （4）組合體的表面積和體積的計(jì)算方法 實(shí)際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺(tái)、球，而是由柱、錐、臺(tái)、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體的表面積或體積的基本方法就是“分解”，將組合體分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺(tái)、球或其一個(gè)部分，分別計(jì)算其體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)組合體的表面積或體積轉(zhuǎn)化為這些“部分的表面積或體積”的和或差． [易錯(cuò)提示]　空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個(gè)空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和．對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計(jì)算時(shí)不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和． （5）與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖. （6）求解幾何體體積的策略及注意問題 (1)與三視圖有關(guān)的體積問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確還原幾何體及弄清幾何體中的數(shù)量關(guān)系． (2)計(jì)算柱、錐、臺(tái)的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面積和高． (3)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法，應(yīng)熟練掌握． (4)注意組合體的組成形式及各部分幾何體的特征． 1.典型例題： 例1圓臺(tái)上、下底面面積分別為、, 側(cè)面積是, 這個(gè)圓臺(tái)的高為 分析：本小題主要涉及圓臺(tái)側(cè)面積公式，解直角三角形的知識(shí). 【解析】 例2一個(gè)正方體的內(nèi)切球、外接球、與各棱都相切的球的半徑之比為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，那么其內(nèi)切球的半徑，外接球的半徑（對(duì)角線的一半），與各棱都相切的球的半徑（面對(duì)角線的一半），所以比值是，故選C． 【練一練提升能力】 1. 一個(gè)的長(zhǎng)方體能裝卸8個(gè)半徑為1的小球和一個(gè)半徑為2的大球，則的最小值為 （ ） A． B． C． D．8 【答案】B 【解析】 2. 點(diǎn)均在同一球面上，且、、兩兩垂直，且 ,則該球的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以A為頂點(diǎn)構(gòu)造長(zhǎng)方體，則該球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，故，所以，從而球的表面積為． 異面直線所成的角 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.異面直線所成的角 （1）定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線，把與所成的小于或等于.叫做異面直線與所成的角. （2）范圍： 【講一講提高技能】 1.必備技能： 異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決 具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來求角; ④補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ. 2.典型例題： 例1已知在直三棱柱中，，，則直線與夾角的余弦值為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 例2直三棱柱ABC－A的底面為等腰直角三角形ABC，∠C＝90，且則與所成角為（ ） A.30 B.45 C.60 D.90 分析：過得中點(diǎn)F，分別作,的平行線，解三角形可得 【解析】過得中點(diǎn)F，分別作,的平行線因?yàn)?.所以.故選D. 【練一練提升能力】 1.【從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為的共有（ ） A.24對(duì) B.30對(duì) C.48對(duì) D.60對(duì) 【答案】C 2. 在正四棱錐P-ABCD中，PA=2，直線PA與平面ABCD所成角為60，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與BE所成角為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】連接交于點(diǎn)，連接,.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以∥，所以即為異面直線與所成的角.因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，所以，所以為在面內(nèi)的射影，所以即為與面所成的角，即，因?yàn)?，所以?所以在直角三角形中，即面直線與所成的角為. 直線、平面平行、垂直的判定與性質(zhì) 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.直線與平面平行 （1）判斷定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行（線線平行線面平行）即：，且. 其它判斷方法： （2）性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行（線面平行線線平行）即： 2.平面與平面平行 （1）判斷定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（線面平行面面平行）.即：. （2）性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（面面平行線線平行）.即： 3.直線與平面垂直： （1）定義：若直線與平面內(nèi)的任一條直線都垂直，則直線與平面垂直. （2）判斷定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（線線垂直線面垂直）.即： （3）性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.即： 4.平面與平面垂直 （1）定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直. （2）判斷定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.即： （3）性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一平面垂直.即： 【講一講提高技能】 必備技能： 1. 證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件. 2.線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量互相平行；證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直. 線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行. 證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線；利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行； 3.面面平行的證明方法：①反證法:假設(shè)兩個(gè)平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.；⑤向量法：證明兩個(gè)平面的法向量平行. 4.證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會(huì)平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性. 5.線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互平行. 線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直. 6.面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直. 解題時(shí)要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，關(guān)鍵在于對(duì)題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進(jìn)行垂直之間的轉(zhuǎn)化. 7.證面面垂直，關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個(gè)面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理.已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理；在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計(jì)算的方式（如勾股定理）證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，這個(gè)定理已知的是兩個(gè)平面垂直，結(jié)論是線面垂直． 2典型例題： 例1已知是兩條不同直線，是一個(gè)平面，則下列說法正確的是（ ） A．若．b，則 B．若，b，則 C．若，，則 D．若，b⊥，則 【答案】C 【解析】 例2平面//平面，直線//，直線，那么直線與直線b的位置關(guān)系一定是 （ ） A．平行 B.異面 C.垂直 D.不相交 分析：由于面面平行以及直線垂直平面可得兩直線垂直關(guān)系. 解析：由于平面//平面，直線，所以平面，又因?yàn)橹本€//，所以.故選C. 【練一練提升能力】 1. 設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列命題，正確的是（ ） A．若，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，則 【答案】B 【解析】 試題分析：A中如果是的交線時(shí)，不成立，A錯(cuò)；B中，由于，因此平面內(nèi)存在與平行的直線，又，則，所以，B正確；讓一本書的書脊與桌面垂直，則書里每頁(yè)紙所在平面都是與桌面垂直，但它們之間不垂直，C錯(cuò)；三棱柱的兩個(gè)側(cè)面與第三個(gè)側(cè)面都相交，但這兩個(gè)側(cè)面也相交，D錯(cuò)．故選B． 2. 如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號(hào)是________． 【答案】①②④ 直線與平面所成的角 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.直線與平面所成的角 （1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. （2）線面角的范圍：. 【講一講提高技能】 1必備技能： 直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法: ①利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. ②利用三棱錐的等體積，省去垂足, 在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時(shí)可以利用求點(diǎn)面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因?yàn)榇咕€段的長(zhǎng)度實(shí)際就是點(diǎn)面距h,利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進(jìn)行求解. ③妙用公式，直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過這個(gè)公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個(gè)公式在求解一些選擇填空題時(shí)，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個(gè)角的位置，不能張冠李戴. ④萬能方法，空間向量求解不用找角 設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則. 注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有； D B A C （3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法： ①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上； ③兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上； ④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置： a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)； c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 2典型例題： 例1如圖，在長(zhǎng)方體 中，，，則與平面所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 例2已知正四棱柱的正弦值等于 （　　） A． B． C． D． 分析：通過等體積法求出點(diǎn)C到面的距離，從而解出正弦值. 【解析】設(shè)AB=1，平面,所以為CD與平面所成的角.又因?yàn)?所以.所以.故選A. 【練一練提升能力】 1. 如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線段上，直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2.長(zhǎng)方體中，已知二面角的大小為，若空間有一條直線與直 線所成角為，則直線與平面所成角的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】 試題分析：如圖所示，過點(diǎn)作，連接，則，則為二面角，所以，因?yàn)?，取角的角平分線，此時(shí)即為直線，過點(diǎn)做，即平面，此時(shí)直線與平面所成角的最大角是，另外一種情況是，，此時(shí)直線為直線，則直線與平面平面所成最小角為，所以直線平面所成角的范圍是，故選A． （一） 選擇題（12*5=60分） 1. 設(shè)是不同的直線，是不同的平面，有以下四個(gè)命題： ①若，，則 ②若，，則 ③若，，則 ④若，，則 . 其中真命題的序號(hào)為（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】 2.如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是△繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ） A．動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在線段上 B．恒有平面⊥平面 C．三棱錐的體積有最大值 D．異面直線與不可能垂直 【答案】D 【解析】 3.已知三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面，則球的半徑為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由已知條件可知,直三棱柱的上下底面是兩個(gè)相等的小圓所在的平面，且和分別是兩小圓的直徑，則，設(shè)球的半徑為，則,故選C． 4. 某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由三視圖知該幾何體是四棱錐，其底面面積為，高為，所以．故選A． 5. 點(diǎn)在同一個(gè)球的球面上，，，若四面體體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為 （ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 6. －為正方體，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A.∥ B. C. D. 【答案】D 7. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示: 此四棱錐中面面，底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，四棱錐的高為1． ，． 所以C正確． 8. 已知和是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出的是 （ ） （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 【答案】C 【解析】本題考查線面垂直的問題，中直線與平面的位置關(guān)系不確定，平行，垂直，相交，線在面內(nèi)都有可能，是線面垂直的判定定理，中直線與平面沒有一點(diǎn)點(diǎn)的關(guān)系，應(yīng)選C． 9. 三棱柱側(cè)棱與底面垂直，體積為，高為，底面是正三角形，若是中心，則與平面所成的角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 10. 已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 11. 如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，是 的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（ ） A1 B1 C1 A B E C A．與是異面直線 B．平面 C．平面 D．，為異面直線，且 【答案】D 【解析】 試題分析：A不正確，因?yàn)榕c在同一側(cè)面中，故不是異面直線；B不正確，由題意得知，上底面是一個(gè)正三角形，故不可能存在平面；D不正確，因?yàn)闉樵趦蓚€(gè)平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，故選D． 12. 設(shè)是兩條不同的直線, 是兩個(gè)不同的平面,下列命題正確的是（ ） A． B．β且⊥,則 C． D．,則∥ 【答案】B 【解析】 （二） 填空題（4*5=20分） 13. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 【答案】200 【解析】如圖所示，該幾何體是棱長(zhǎng)分別為4，8，10的長(zhǎng)方體砍去兩個(gè)小三棱柱得到一個(gè)四棱柱， 由圖知． 14. 一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體棱長(zhǎng)的最大值為 【答案】 【解析】由題意，正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi)，求出內(nèi)球的直徑，就是正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，然后求出正方體的棱長(zhǎng)，設(shè)球的半徑為，由正四面體的體積得，解得，設(shè)正方體的最大棱長(zhǎng)為，則，解得，故答案為. 15. 已知平行六面體，與平面，交于兩點(diǎn)。給出以下命題，其中真命題有________(寫出所有正確命題的序號(hào)) ①點(diǎn)為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)； ②； ②設(shè)中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則直線與面有一個(gè)交點(diǎn)； ④為的內(nèi)心； ⑤設(shè)為的外心，則為定值. 【答案】①⑤ 【解析】 試題分析：對(duì)①，在對(duì)角面中可看出點(diǎn)為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)；正確. ②；故錯(cuò)； 對(duì)③，取中點(diǎn)為R，則易證面面.故錯(cuò)； ④為的邊的中線，故為不一定為的內(nèi)心（實(shí)際上是重心）.故錯(cuò)； ⑤設(shè)為的外心，則，為定值.正確. 16. 如圖，圓所在的平面，是圓的直徑，是圓上的一點(diǎn)，分別是點(diǎn)在上的射影，給出下列結(jié)論： ①；②；③；④； 其中正確命題的序號(hào)是 ． 【答案】①②③ 【解析】