2019-2020年高二數(shù)學上學期期末考試試題 理(I).doc
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2019-2020年高二數(shù)學上學期期末考試試題 理(I) 說明: 1．時間：120分鐘；分值：150分； 2. 本卷分Ⅰ、Ⅱ卷，請將答案填入答題卡 一、選擇題：（每小題5分，共60分。每小題只有一個選項符合題意。） 1．給出下列命題： ①若給定命題：，使得，則：均有； ②若為假命題，則均為假命題； ③命題“若，則”的否命題為“若 則， 其中正確的命題序號是（ ） ．① . ①② . ①③ . ②③ 2.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則橢圓的離心率等于（ ） . . . . 3. 已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（ ） ．4 ． ． ． 4. 在中，“”是“”的（ ） ．必要不充分條件 ．充分不必要條件 ．充要條件 ．既不充分也不必要條件 5. 設雙曲線的離心率為，且它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則此雙曲線的方程為（ ） . . . . 6. 已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于、兩點，，為的準線上一點，則的面積為（ ） ． ． ． ?。? 7. 給定下列四個命題： ①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行； ②若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直； ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行； ④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直. 其中，為真命題的是（ ） ．①和② ．②和③ ．③和④ ．②和④ 8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出.那么判斷框內應填（ ） . . . . 9．已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） . . . . 10.設拋物線的焦點為，準線為，為上一點，以為圓心且經過點的圓交于兩點，若的面積為，則等于（ ?。? ． ． ． ． 11. 四棱錐中，底面為正方形，且平面，，則直線與直線所成角的大小為（ ） ． ． ． ． 12. 設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為（ ?。? ． ． ． ． 第Ⅱ卷 非選擇題（共90分） 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分,共20分。把答案填在題中橫線上。） 13. 某班級有名學生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這名學生中抽出名學生，將這名學生隨機編號～號，并分組，第一組～號，第二組～號，……，第十組～號，若在第三組中抽得號碼為的學生，則在第八組中抽得號碼為 的學生。 14. 設滿足則的最小值為 15過點向圓作兩條切線，切點分別為，則弦所在直線的方程為 16. 如圖,等腰梯形中, ,. 一雙曲線經過,,三點,且以,為焦點,則該雙曲線離心率是 _ . 三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。） 17. (本小題滿分10分) 等比數(shù)列的前項和為，已知,,成等差數(shù)列 （Ⅰ）求的公比； （Ⅱ）若，求 18. (本小題滿分12分) 某高校在年的自主招生考試中隨機抽取了名學生的筆試成績，按成績分組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組得到的頻率分布直方圖如圖所示 （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（結果保留位小數(shù)） （Ⅱ）為了能選拔出最優(yōu)秀的學生，學校決定在筆試成績高的第三、四、五組中用分層抽樣 抽取名學生進入第二輪面試，求第三、四、五組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試。 （III）在（Ⅱ）的前提下，學校決定在這名學生中隨機抽取名學生接受甲考官的的面試，求第四組至少有一名學生被甲考官面試的概率 19.(本小題滿分12分) 在中， （Ⅰ）求的值。 （Ⅱ）求的值。 20．(本小題滿分12分) 如圖所示, 平面,點在以為直徑的上，，，點為線段的中點，點在上，且。 （Ⅰ）求證: 平面平面; （Ⅱ）求證: 平面平面 21.（本小題滿分12分）已知點,圓,過點的動直線與圓交于兩點,線段的中點為為坐標原點. （Ⅰ）求的軌跡方程; （Ⅱ）當時,求的方程及的面積. 22.(本小題滿分12分) 設橢圓的離心率,左頂點到直線的距離,為坐標原點. （Ⅰ）求橢圓的方程; （Ⅱ）設直線與橢圓相交于兩點,若以為直徑的圓經過坐標原點,證明:點到直線的距離為定值; （III）在（Ⅱ）的條件下,試求的面積的最小值. 云天化中學xx秋季學期xx屆期末考試 高 二 數(shù) 學 （理）參 考 答 案 一、 選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空題 13. 14. 15. 16. 三、 解答題 17. 解：（Ⅰ）依題意有 由于 ，故 又，從而 5分 （Ⅱ）由已知可得 故 從而 10分 18. 解：（1）眾數(shù)為；中位數(shù)為┄┄┄┄┄┄┄（4分） （2）由題設可知，第三組的頻率為0．065=0．3第四組的頻率為0．045=0．2第五組的頻率為0．025=0．1第三組的人數(shù)為0．3100=30,第四組的人數(shù)為0．2100=20第五組的人數(shù)為0．1100=10,因為第三、四、五組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組抽到的人數(shù)分別為：第三組第四組第五組所以第三、四、五組分別抽取3人，2人，1人．┄┄┄┄┄┄┄（8分） （3）設第三組的3位同學為,第四組的2位同學為， 第五組的1位同學為則從6位同學中抽2位同學有： ,,,,,,, ,,,,,,共15種可能………………10分 其中第四組的2位同學中至少1位同學入選有,，,，,,,共9種可能……………………11分 所以第四組至少有1位同學被甲考官面試的概率為…………………12分 19. 解：【解析】（1）解：在 中，根據(jù)正弦定理，，于是………6分 （2）解：在 中，根據(jù)余弦定理，得 于是=， 從而 ………12分 20.證明: (1)因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以OE∥PA. 因為PA?平面PAC，OE平面PAC，所以OE∥平面PAC.因為OM∥AC， 又AC?平面PAC，OM平面PAC，所以OM∥平面PAC. 因為OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O， 所以平面MOE∥平面PAC. ………6分 (2)因為點C在以AB為直徑的⊙O上，所以∠ACB＝90，即BC⊥AC. 因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC. 因為AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC. 因為BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC. ………12分 21.解：(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16, 所以圓心為C(0,4),半徑為4. 設M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由題設知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于點P在圓C的內部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2. -----------------6分 (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心,為半徑的圓. 由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3,所以直線的斜率為-,故的方程為y=-x+. 又|OM|=|OP|=2,O到直線的距離為, 故|PM|=,所以△POM的面積為.-----------------12分 22解：(1)解:由e=,得c=a,又b2=a2-c2,所以b=a,即a=2b. 由左頂點M(-a,0)到直線+=1,即bx+ay-ab=0的距離d=, 得=,即=,把a=2b代入上式,得=, 解得b=1.所以a=2b=2,c=.所以橢圓C的方程為+y2=1. -------------4分 (2)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2), ①當直線AB的斜率不存在時,由橢圓的對稱性,可知x1=x2,y1=-y2. 因為以AB為直徑的圓經過坐標原點,故=0, 即x1x2+y1y2=0,也就是-=0,又點A在橢圓C上,所以+=1, 解得|x1|=|y1|=.此時點O到直線AB的距離d1=|x1|=. ②當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為 y=kx+m,與橢圓方程聯(lián)立有 消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以x1+x2=-,x1x2=. 因為以AB為直徑的圓過坐標原點O,所以OA⊥OB. 所以=x1x2+y1y2=0.所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.所以(1+k2)-+m2=0.整理得5m2=4(k2+1),所以點O到直線AB的距離d2==.綜上所述,點O到直線AB的距離為定值.---------8分 （注：將直線方程令為，不對斜率是否存在進行分類也可以得出結論） (3)解:設直線OA的斜率為k0.當k0≠0時,則OA的方程為y=k0x,OB的方程為y=-x,聯(lián)立得同理可求得 故△AOB的面積為S=|x1||x2|=2. 令1+=t(t>1),則S=2=2, 令g(t)=-++4=-9(-)2+(t>1),所以4
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