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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題十五 統(tǒng)計(jì)（含解析） 重點(diǎn)1 抽樣方法 1. 隨機(jī)抽樣的方法 (1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法有：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法． 抽簽法的步驟：①將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào)，并把號(hào)碼寫(xiě)在形狀、大小相同的號(hào)簽上；②將這些號(hào)簽放在同一個(gè)容器里，均勻攪拌；③每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取，獲取樣本號(hào)碼. 隨機(jī)數(shù)表法的步驟：①將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào)；②在隨機(jī)數(shù)表中選擇開(kāi)始的數(shù)字；③獲取樣本號(hào)碼． (2)系統(tǒng)抽樣的步驟：①將總體中的個(gè)體隨機(jī)編號(hào)；②將編號(hào)分段；③在第1段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)；④按照事先研究的規(guī)則抽取樣本． (3)分層抽樣的步驟：①分層；②按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；③各層抽樣（方法可以不同）；④匯合成樣本． 2．三種抽樣方法的比較 類(lèi)別 共同點(diǎn) 特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 ①抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等；②每次抽出個(gè)體后不再放回，即不放回抽樣 從總體中逐個(gè)抽取 總體個(gè)數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體平均分成幾部分，按預(yù)先制定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分取樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體個(gè)數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層，按各層個(gè)體數(shù)之比抽取 各層抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 [高考?？冀嵌萞 角度1一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為_(kāi)__________. 解析：設(shè)抽取男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為，則，解之得. 或者: 角度2將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為：001，002，……600，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003．這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到300在第Ⅰ營(yíng)區(qū)，從301到495住在第Ⅱ營(yíng)區(qū)，從496到600在第Ⅲ營(yíng)區(qū)，三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)一次為（ ） A．26, 16, 8, B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9 解析：依題意可知，在隨機(jī)抽樣中，首次抽到003號(hào)，以后每隔12個(gè)號(hào)抽到一個(gè)人，則分別是003、015、027、039構(gòu)成以3為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，，故可分別求出在001到300中有25人，在301至495號(hào)中共有17人，則496到600中有8人， 故選B。 重點(diǎn)2 用樣本估計(jì)總體 1．頻率分布圖．（表）、頻率分布直方圖和總體密度曲線(xiàn)的繪制與應(yīng)用 (1)頻數(shù)分布圖（表）能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)；而頻率分布直方圖（表）則是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律，它可以使我們看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布． (2)作頻率分布直方圖的步驟： ①求極差，即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差 ②決定組距與組數(shù)．將數(shù)據(jù)分組時(shí)，組數(shù)應(yīng)力求合適，以使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來(lái)．這時(shí)應(yīng)注意：a．一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多；b．為方便起見(jiàn)，組距的選擇應(yīng)力求“取整”；c．當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5—12組． ③將數(shù)據(jù)分組． ④計(jì)算各小組的頻率，作頻率分布表（） ⑤畫(huà)頻率分布直方圖． (3)總體密度曲線(xiàn)是頻率分布折線(xiàn)的一條極限曲線(xiàn)．隨著樣本容量不斷增加，分組不斷加密，頻率分布折線(xiàn)就會(huì)越來(lái)越光滑，最終形成總體密度曲線(xiàn)，總體密度，曲線(xiàn)反映的是總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比．實(shí)際上，盡管有些總體密度曲線(xiàn)是客觀(guān)存在的，但只能用樣本的頻率分布對(duì)它估計(jì)，一般來(lái)說(shuō)，樣本容量越大，這種估計(jì)就越準(zhǔn)確． (4)幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點(diǎn)和不足： ①頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀(guān)、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì)不太方便． ②頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀(guān)地表明分布的形狀，使我們能夠看到分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式．但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說(shuō)，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了． ③頻率分布折線(xiàn)圖的優(yōu)點(diǎn)是反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)．如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷減小，那么折線(xiàn)圖就趨向于總體分布的密度曲線(xiàn)． 2．莖葉圖的應(yīng)用 (1)莖葉圖：當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)， 即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長(zhǎng)出來(lái)的葉子，因此，通常把這樣表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖． (2)莖葉圖的特征： ①用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示， ②莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組數(shù)據(jù)，兩組以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒(méi)有表示兩組數(shù)據(jù)那么直觀(guān)、清晰． ③莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過(guò)莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況． (3)注意莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)． 在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了． 3．用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體 (1)注意以下幾點(diǎn)： ①各數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)：眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀(guān)地反映總體數(shù)字特征；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線(xiàn)，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也成為缺點(diǎn)，因?yàn)檫@些極端值有時(shí)是不能忽視的． 由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)都有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)不具有的性質(zhì)．也正是這個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低， ②標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小． ③標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍為，標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本中各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)，數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性． ④因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差． (2)標(biāo)準(zhǔn)差和方差的關(guān)系及計(jì)算 ①標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差，即 [高考常考角度] 角度1 樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其值分別為.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為（ ） A. B. C. D. 解析：由題意知，解得，故樣本方差為 ,故選D. 角度2某小學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，得到了樣本的頻率分布直方圖（如圖）。根據(jù)頻率分布直方圖3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)小于60分的學(xué)生數(shù)是_____________________ 解析：該次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)小于60分的學(xué)生的頻率 是(0.002+0.006+0.012)*10=0.2 故所求為0.2*3000=600 角度3在如圖所示的莖葉圖中， 甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是 、 解析：45；46，本題主要考察了莖葉圖所表達(dá)的含義， 以及從樣本數(shù)據(jù)中提取數(shù)字特征的能力，屬容易題。注意順序. 角度4為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取 30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為 me，眾數(shù)為mo，平均值為，則 (　　) A．me＝mo＝ B．me＝mo< C．mek) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 2．與的關(guān)系并不是是的觀(guān)測(cè)值，或者說(shuō)是一個(gè)隨機(jī)變量，它在取不同的值時(shí)，可能不同，而是取定一組數(shù)后的—個(gè)確定的值. 典例2為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： （1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； （2）能否有99％的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？ （3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由. 解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助， 因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為 （2）。 由于9.967>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)。 （3）由于（2）的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時(shí),先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單反隨即抽樣方法更好. ……12分 規(guī)避2個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 統(tǒng)計(jì)圖表中概念不清、識(shí)圖不準(zhǔn) 典例 某公司（共有員工300人）xx年員工年薪情況的頻率分布直方圖如圖所示，由此可知，員工中年薪在 1.4萬(wàn)元~1.6萬(wàn)頁(yè)之間的共有_______人. 易失分提示: 解本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是審題不細(xì)，對(duì)所給圖形觀(guān)察 不細(xì)心，認(rèn)為員工中年薪在．1.4萬(wàn)元～1.6萬(wàn)元 之間的頻率為，從而得到員工中年薪 在1.4萬(wàn)元～1.6萬(wàn)元之間的共有人的錯(cuò)誤結(jié)果． 解析：由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬(wàn)元～1.6萬(wàn)元之間的頻率為 所以員工中年薪在1.4萬(wàn)元～1.6萬(wàn)元之問(wèn)的共有人． 易失分點(diǎn)2 回歸系數(shù)和回歸常數(shù)相混淆 典例 為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)、物理成績(jī)進(jìn)行分析：下面是該生7次考試的成績(jī)． 數(shù)學(xué) 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 （1）他的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)哪個(gè)更穩(wěn)定？請(qǐng)給出你的證明； （2）已知該生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)是線(xiàn)性相關(guān)的，若該生的物理成績(jī)達(dá)到115分，請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少？并請(qǐng)你根據(jù)物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議． 易失分提示：成績(jī)的穩(wěn)定性用樣本數(shù)據(jù)的方差判斷，由物理成績(jī)估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)由回歸直線(xiàn)方程解決．本題容易出錯(cuò)的就是把回歸系數(shù)和回歸常數(shù)弄顛倒，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． 解析：（1）， ， 從而物理成績(jī)更穩(wěn)定. （2）由于與之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系， 根據(jù)回歸系數(shù)公式得到 線(xiàn)性回歸方程為．當(dāng)時(shí)， 建議：進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績(jī)的穩(wěn)定性，將有助于物理成績(jī)的進(jìn)一步提高.