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2019-2020年高三數(shù)學上學期期中試題 理(II) 本試卷共4頁，150分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回． 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合，則集合中元素的個數(shù)為 A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 3．在△ABC中，的值為 A．1 B．－1 C． 　　D． － 4．數(shù)列的前n項和為，則的值為 A．1　　 B．3　　 C．5 　　D．6 5．已知函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是 A．　　　　 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱 C．的最小正周期為　 D．的值域為 6．“x＞0 ”是“ ”的 A．充分不必要條件 　　B．必要不充分條件 C．充分必要條件 　　　D．既不充分也不必要條件 7．如圖，點O為坐標原點，點A（1,1）．若函數(shù)且）的圖象與線段OA分別交于點M，N，且M，N恰好是線段OA的兩個三等分點，則a，b滿足 8． 已知函數(shù)函數(shù)．若函數(shù)恰好有2個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是 二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分） 9． 10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a ，b，c．若 c＝4，則 11．已知等差數(shù)列的公差 ，且．若＝0 ，則n＝　　　 12．已知向量，點A（3,0） ，點B為直線y＝2x 上的一個動點．若，則點B的坐標為　　　　?。? 13．已知函數(shù)，若的圖象向左平移個單位所得的圖象與的圖象向右平移個單位所得的圖象重合，則的最小值為　　　　　 14．對于數(shù)列，都有為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)． ⑴ 若數(shù)列的通項公式為，且具有性質(zhì)，則t的最大值為　　　 ； ⑵ 若數(shù)列的通項公式為，且具有性質(zhì)，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　 三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程． 15．（本小題滿分13分） 已知等比數(shù)列的公比，其n前項和為 （Ⅰ）求公比q和a5的值； （Ⅱ）求證： 16．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間． 17．（本小題滿分13分） 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5， （Ⅰ）求BD的長； （Ⅱ）求證： 18．（本小題滿分13分） 已知函數(shù)，曲線在點（0,1）處的切線為l （Ⅰ）若直線l的斜率為－3，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)是區(qū)間［－2，a］上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍． 19．（本小題滿分14分） 已知由整數(shù)組成的數(shù)列各項均不為0，其前n項和為 ，且 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的通項公式； （Ⅲ）若=15時，Sn取得最小值，求a的值． 20．（本小題滿分14分） 已知x為實數(shù)，用表示不超過x的最大整數(shù)，例如 對于函數(shù)f(x)，若存在，使得 ，則稱函數(shù)函數(shù)． （Ⅰ）判斷函數(shù) 是否是函數(shù)；（只需寫出結(jié)論） （Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)是定義R在上的周期函數(shù)，其最小正周期為T，若f(x)不是函數(shù)，求T的最小值． ( （Ⅲ）若函數(shù)是函數(shù)，求a的取值范圍． 海淀區(qū)高三年級第二學期期中練習參考答案 數(shù) 學 （理科） xx.11 閱卷須知: 1.評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分數(shù)。 2.其它正確解法可以參照評分標準按相應(yīng)步驟給分。 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D 二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 3 10. 11. 5 12. 13. 14. 2； 說明；第10，14題第一空3分，第二空2分 三、解答題: 本大題共6小題，共80分. 15．解：（Ⅰ） 法一：因為為等比數(shù)列， 且， 所以，所以， 因為，所以. 因為，所以，即 ---------------------------3分 所以. --------------------------6分 法二：因為為等比數(shù)列，且， 所以，所以，所以, 因為，所以，即 ---------------------------3分 所以. --------------------------6分（Ⅱ）法一： 因為，所以,　　　　　 　　　　 　　　--------------------------８分 　　　因為,　　　　　　 　　　　　　　　 　--------------------------10分 　　　所以, 　　　因為，所以. --------------------------13分 法二：因為，所以, 　　　　　　　 　　　 　　--------------------------８分 　　　所以,　　　　　　　　　　　　　　　　　--------------------------10分 　　　所以，所以.　　　　　　　　　　 　　--------------------------13分 法三：因為，所以, 　　　　　　　　　　　　--------------------------８分 　　　所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　--------------------------10分 　　　要證，只需， 只需 上式顯然成立，得證. 　--------------------------13分 16.解： （Ⅰ）因為, 所以, . --------------------------4分 （Ⅱ）因為, 所以 --------------------------7分 , --------------------------9分 所以周期 . --------------------------11分 令， --------------------------12分 解得，， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. --------------------------13分 法二：因為, 所以-------------------7分 --------------------------9分 所以周期 . --------------------------11分 令， --------------------------12分 解得，, 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為 . --------------------------13分 17．解： （Ⅰ）法一： 在中，因為，, 所以, --------------------------3分 根據(jù)正弦定理，有, --------------------------6分 代入 解得. --------------------------7分 法二：作于. 因為，所以在中，. --------------------------3分 在中，因為，， 所以, --------------------------6分 所以. --------------------------7分 （Ⅱ）法一： 在中，根據(jù)余弦定理 , --------------------------10分 代入，得， ,所以. --------------------------12分 所以 ，而在四邊形中 所以. --------------------------13分 法二：在中，所以， ， 所以. --------------------------8分 在中，所以, ， 所以. --------------------------9分 所以， --------------------------11分 ， --------------------------12分 即, 所以. --------------------------13分 18．解 （Ⅰ）因為，所以曲線經(jīng)過點, 又, --------------------------2分 所以, --------------------------3分 所以. 當變化時，，的變化情況如下表: 0 0 極大值 極小值 --------------------------5分 所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，, 單調(diào)遞減區(qū)間為. --------------------------7分 （Ⅱ） 因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào), 當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時，對成立， 即對成立， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，只需要， 解得. 又，所以. --------------------------9分 當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，對成立， 只要在上的最小值大于等于0即可， 因為函數(shù)的對稱軸為， 當時，在上的最小值為， 解，得或，所以此種情形不成立. --------------------------11分 當時，在上的最小值為， 解得，所以， 綜上，實數(shù)的取值范圍是或. --------------------------13分 19．解： （Ⅰ）因為 ，所以，即, 因為，所以, --------------------------2分 （Ⅱ）因為 ， 所以，兩式相減， 得到， --------------------------4分 因為，所以， 所以都是公差為的等差數(shù)列， 當時，, --------------------------6分 當時， , 所以 --------------------------8分 （Ⅲ） 法一：因為，由（Ⅱ）知道 所以 --------------------------10分 注意到所有奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是一個單調(diào)遞增的，所有偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是一個單調(diào)遞增的， 當為偶數(shù)時，，所以此時， 所以為最小值等價于， --------------------------12分 所以， 所以， 解得. --------------------------13分 因為數(shù)列是由整數(shù)組成的，所以. 又因為，所以對所有的奇數(shù)，， 所以不能取偶數(shù)，所以. --------------------------14分 法二： 因為， 由（Ⅱ）知道 所以 --------------------------10分 因為為最小值，此時為奇數(shù)， 當時，， 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知道，有，解得， --------------------------12分 因為數(shù)列是由整數(shù)組成的，所以. 又因為，所以對所有的奇數(shù)，， 所以不能取偶數(shù)，所以. --------------------------13分 經(jīng)檢驗，此時為最小值，所以 . --------------------------14分 20. 解： （Ⅰ）是函數(shù)， --------------------------2分 不是函數(shù). --------------------------4分 （Ⅱ）的最小值為1. --------------------------6分 因為是以 為最小正周期的周期函數(shù)，所以. 假設(shè)，則，所以，矛盾. --------------------------8分 所以必有， 而函數(shù)的周期為1，且顯然不是是函數(shù)， 綜上，的最小值為1. --------------------------9分 （Ⅲ） 當函數(shù)是函數(shù)時， 若，則顯然不是函數(shù)，矛盾. --------------------------10分 若，則， 所以在上單調(diào)遞增， 此時不存在，使得 ， 同理不存在，使得 ， 又注意到，即不會出現(xiàn)的情形， 所以此時不是函數(shù). --------------------------11分 當時，設(shè)，所以，所以有，其中， 當時， 因為，所以， 所以. --------------------------12分 當時，， 因為，所以， 所以. --------------------------13分 記, 綜上，我們可以得到 “且且”. --------------------------14分