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2019-2020年高三全國高校招生模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分，只有一個選項(xiàng)符號題目要求） 1．已知集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}，則A∩（?RB）=（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1＜x＜2} 【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 【專題】集合． 【分析】分別求出A與B中不等式的解集，確定出A與B，根據(jù)全集R求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的交集即可． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|＞0}， ∴A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1，或x＜﹣1}， ∴?RB═{x|﹣1≤x≤1}， ∴A∩（?RB）={x|0＜x≤1}， 故選：C 【點(diǎn)評】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵． 　 2．函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3．山西陽泉某校在暑假組織社會實(shí)踐活動，將8名高一年級學(xué)生，平均分配甲、乙兩家公司，其中兩名英語成績優(yōu)秀學(xué)生不能分給同一個公司；另三名電腦特長學(xué)生也不能分給同一個公司，則不同的分配方案有（　?。? A．36種 B．38種 C．108種 D．114種 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 【專題】排列組合． 【分析】分類討論：①甲部門要2個電腦特長學(xué)生和一個英語成績優(yōu)秀學(xué)生；②甲部門要1個電腦特長學(xué)生和1個英語成績優(yōu)秀學(xué)生．分別求得這2個方案的方法數(shù)，再利用分類計(jì)數(shù)原理，可得結(jié)論． 【解答】解：由題意可得，有2種分配方案：①甲部門要2個電腦特長學(xué)生，則有3種情況；英語成績優(yōu)秀學(xué)生的分配有2種可能；再從剩下的3個人中選一人，有3種方法． 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有323=18種分配方案． ②甲部門要1個電腦特長學(xué)生，則方法有3種；英語成績優(yōu)秀學(xué)生的分配方法有2種；再從剩下的3個人種選2個人，方法有33種，共323=18種分配方案． 由分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的分配方案共有18+18=36種， 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，根據(jù)題意分步或分類計(jì)算每一個事件的方法數(shù)，然后用乘法原理和加法原理計(jì)算，是解題的常用方法． 　 4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x的值為2，則輸出的x的值為（　?。? A．3 B．126 C．127 D．128 【考點(diǎn)】程序框圖． 【專題】算法和程序框圖． 【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計(jì)算x值并輸出，模擬程序的運(yùn)行過程，即可得到答案． 【解答】解：當(dāng)輸出的x=2時，執(zhí)行循環(huán)體后，x=3，不滿足退出循環(huán)的條件， 當(dāng)x=3時，執(zhí)行循環(huán)體后，x=7，不滿足退出循環(huán)的條件， 當(dāng)x=7時，執(zhí)行循環(huán)體后，x=127，滿足退出循環(huán)的條件， 故輸出的x值為127 故選：C 【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是程序框圖，在寫程序的運(yùn)行結(jié)果時，模擬程序的運(yùn)行過程是解答此類問題最常用的辦法． 　 5．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． 【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 【分析】根據(jù)已知中的三視圖可分析出該幾何體的直觀圖，代入棱錐體積公式可得答案． 【解答】解：幾何體如圖所示，則V=， 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求體積，正確得出直觀圖是解答的關(guān)鍵． 6． 有兩個等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和分別為和，若，則 A． B． C． D． 【答案】D 【考點(diǎn)】考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。 7．已知雙曲線﹣=1的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的漸近線方程為y=x，則該雙曲線的方程為（　?。? A．﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】首先根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合，建立a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)一步利用雙曲線的漸近線建立關(guān)系式，進(jìn)一步確定a和b的值，最后求出雙曲線的方程． 【解答】解：已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)重合， 則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）， 即c=， 又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=x， 則有a2+b2=c2=10和=， 解得a=3，b=1． 所以雙曲線的方程為：﹣y2=1． 故選B． 【點(diǎn)評】本題主要考查的知識要點(diǎn)：雙曲線方程的求法，漸近線的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題． 　 8．在正方體8個頂點(diǎn)中任選3個頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是等腰直角三角形的概率為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率． 【專題】概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】總的事件數(shù)是C83，而從正方體的8個頂點(diǎn)中任取3個頂點(diǎn)可形成的等腰直角三角形的個數(shù)按所選取的三個頂點(diǎn)是只能是來自于該正方體的同一個面．根據(jù)概率公式計(jì)算即可． 【解答】解：正方體8個頂點(diǎn)中任選3個頂點(diǎn)連成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各個面上，在每一個面上能組成等腰直角三角形的有四個， 所以共有46=24個， 而在8個點(diǎn)中選3個點(diǎn)的有C83=56， 所以所求概率為= 故選：C 【點(diǎn)評】本題是一個古典概型問題，學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題． 　 9．設(shè)定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一個解，則x0可能存在的區(qū)間是（　　） A．（0，1） B．（e﹣1，1） C．（0，e﹣1） D．（1，e） 【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算． 【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】由題意知：f（x）﹣lnx為常數(shù)，令f（x）﹣lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1， 所以f（x）=lnx+e，再用零點(diǎn)存在定理驗(yàn)證， 【解答】解：由題意知：f（x）﹣lnx為常數(shù)，令f（x）﹣lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k． 由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1， 所以f（x）=lnx+e， f′（x）=，x＞0． ∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e， 令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞） 可判斷：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增， g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0， ∴x0∈（1，e），g（x0）=0， ∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一個解，則x0可能存在的區(qū)間是（1，e） 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的判斷，構(gòu)造思想，屬于中檔題． 　 10．如圖，已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=4，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，直線PF2交y軸于點(diǎn)A，△AF1P的內(nèi)切圓切邊PF1于點(diǎn)Q，若|PQ|=1，則雙曲線的漸近線方程為（　?。? A．y=x B．y=3x C．y=x D．y=x 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】設(shè)內(nèi)切圓與AP切于點(diǎn)M，與AF1切于點(diǎn)N，|PF1|=m，|QF1|=n，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①運(yùn)用對稱性和切線的性質(zhì)可得m﹣1=n，②，可得a=1，再由c=2，可得b，結(jié)合漸近線方程即可得到． 【解答】解：設(shè)內(nèi)切圓與AP切于點(diǎn)M，與AF1切于點(diǎn)N， |PF1|=m，|QF1|=n， 由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，① 由切線的性質(zhì)可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1， |MF2|=|NF1|=n， 即有m﹣1=n，② 由①②解得a=1， 由|F1F2|=4，則c=2， b==， 由雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x， 即有漸近線方程為y=x． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查切線的性質(zhì)，運(yùn)用對稱性和雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵． 　 二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分） 11． 下列命題中，真命題的序號為. （1）在中，若，則； （2）已知，則在上的投影為； （3）已知，，則“”為假命題； （4）要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向左平移個單位． 【答案】（1）（3） 12．直線l：（t為參數(shù)）與圓C：（θ為參數(shù)）相交所得的弦長的取值范圍是　[4，16]　． 【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程． 【專題】直線與圓；坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 【分析】把直線與圓的參數(shù)方程化為普通方程，畫出圖形，結(jié)合圖形，求出直線被圓截得的弦長的最大值與最小值即可． 【解答】解：直線l：（t為參數(shù)）， 化為普通方程是=， 即y=tanα?x+1； 圓C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)）， 化為普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64； 畫出圖形，如圖所示； ∵直線過定點(diǎn)（0，1）， ∴直線被圓截得的弦長的最大值是2r=16， 最小值是2=2=2=4 ∴弦長的取值范圍是[4，16]． 故答案為：[4，16]． 【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題，解題時先把參數(shù)方程化為普通方程，再畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，容易解答本題． 　 13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，則S9的取值范圍是　（﹣3，21）?。? 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其“待定系數(shù)法”即可得出． 【解答】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列， ∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d， 由待定系數(shù)法可得，解得x=3，y=6． ∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18， ∴兩式相加即得﹣3＜S9＜21． ∴S9的取值范圍是（﹣3，21）． 故答案為：（﹣3，21）． 【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其“待定系數(shù)法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題． 　 14．若正數(shù)m、n滿足mn﹣m﹣n=3，則點(diǎn)（m，0）到直線x﹣y+n=0的距離最小值是　?。? 【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式． 【專題】直線與圓． 【分析】把已知的等式變形，得到（m﹣1）（n﹣1）≥4，寫出點(diǎn)到直線的距離，然后利用基本不等式得答案． 【解答】解：點(diǎn)（m，0）到直線x﹣y+n=0的距離為d=， ∵mn﹣m﹣n=3， ∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0）， ∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2， ∴m+n≥6， 則d=≥3． 故答案為：． 【點(diǎn)評】本題考查了的到直線的距離公式，考查了利用基本不等式求最值，是基礎(chǔ)題． 　 15．如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題： ①平面MENF⊥平面BDD′B′； ②當(dāng)且僅當(dāng)x=時，四邊形MENF的面積最小； ③四邊形MENF周長l=f（x），x∈0，1]是單調(diào)函數(shù)； ④四棱錐C′﹣MENF的體積v=h（x）為常函數(shù)； 以上命題中真命題的序號為?、佗冖堋。? 【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定． 【專題】空間位置關(guān)系與距離． 【分析】①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′．②四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可．③判斷周長的變化情況．④求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷． 【解答】解：①連結(jié)BD，B′D′，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正確． ②連結(jié)MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時，即x=時，此時MN長度最小，對應(yīng)四邊形MENF的面積最?。寓谡_． ③因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0，]時，EM的長度由大變小．當(dāng)x∈[，1]時，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以③錯誤． ④連結(jié)C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個小棱錐．因?yàn)槿切蜟′EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面CEF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐C﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確． 故答案為：①②④． 【點(diǎn)評】本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對學(xué)生的解題能力要求較高． 三、解答題（共6小題，滿分75分） 16． 設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）的三邊所對的內(nèi)角分別為,若，且，求面積的最大值. 【答案】（1） ， （2）， 整理得： 由基本不等式可得： 則 　 17．某校舉辦學(xué)生綜合素質(zhì)大賽，對該校學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)測試，學(xué)校對測試成績（10分制）大于或等于7.5的學(xué)生頒發(fā)榮譽(yù)證書，現(xiàn)從A和B兩班中各隨機(jī)抽5名學(xué)生進(jìn)行抽查，其成績記錄如下： A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y 由于表格被污損，數(shù)據(jù)x，y看不清，統(tǒng)計(jì)人員只記得x＜y，且A和B兩班被抽查的5名學(xué)生成績的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）若從B班被抽查的5名學(xué)生中任抽取2名學(xué)生，求被抽取2學(xué)生成績都頒發(fā)了榮譽(yù)證書的概率； （Ⅱ）從被抽查的10名任取3名，X表示抽取的學(xué)生中獲得榮譽(yù)證書的人數(shù)，求X的期望． 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計(jì)． 【分析】（Ⅰ）分別求出A和B的平均數(shù)和方差，由，得x+y=17，由，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，由x＜y，得x=8，y=9，記“2名學(xué)生都頒發(fā)了榮譽(yù)證書”為事件C，則事件C包含個基本事件，共有個基本事件，由此能求出2名學(xué)生頒發(fā)了榮譽(yù)證書的概率． （Ⅱ）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的期望． 【解答】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8， =（6+x+8.5+8.5+y）， ∵，∴x+y=17，① ∵， =， ∵，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，② 由①②解得或， ∵x＜y，∴x=8，y=9， 記“2名學(xué)生都頒發(fā)了榮譽(yù)證書”為事件C，則事件C包含個基本事件， 共有個基本事件， ∴P（C）=， 即2名學(xué)生頒發(fā)了榮譽(yù)證書的概率為． （Ⅱ）由題意知X所有可能的取值為0，1，2，3， P（X=0）==， P（X=1）==， P（X=2）==， P（X=3）==， EX==． 【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意平均值和方差的計(jì)算和應(yīng)用． 　 18．如圖，橢圓C1：的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長．C2與y軸的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M的兩條互相垂直的直線l1，l2分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交橢圓于D、E兩點(diǎn)， （Ⅰ）求C1、C2的方程； （Ⅱ）記△MAB，△MDE的面積分別為S1、S2，若，求直線AB的方程． 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題． 【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】（Ⅰ）橢圓C1：的離心率為，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長，建立方程，求出幾何量，即可求C1、C2的方程； （Ⅱ）設(shè)直線MA、MB的方程與y=x2﹣1聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示S1，直線MA、MB的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示S2，利用，即可求直線AB的方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C1：的離心率為， ∴a2=2b2， 令x2﹣b=0可得x=， ∵x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于橢圓C1的短軸長， ∴2=2b， ∴b=1， ∴C1、C2的方程分別為，y=x2﹣1； … （Ⅱ）設(shè)直線MA的斜率為k1，直線MA的方程為y=k1x﹣1與y=x2﹣1聯(lián)立得x2﹣k1x=0 ∴x=0或x=k1，∴A（k1，k12﹣1） 同理可得B（k2，k22﹣1）… ∴S1=|MA||MB|=?|k1||k2|… y=k1x﹣1與橢圓方程聯(lián)立，可得D（）， 同理可得E（） … ∴S2=|MD||ME|=?? … ∴ 若則解得或 ∴直線AB的方程為或… 【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，聯(lián)立方程，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵． 　 19．如圖，四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120，點(diǎn)E在BD上，且CE=DE． （Ⅰ）求證：AB⊥CE； （Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值． 【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系． 【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角． 【分析】（Ⅰ）由已知得∠CDB=30，∠DCE=30，∠BCE=90，從而EC⊥BC，由平面ABC⊥平面BCD，得EC⊥平面ABC，由此能證明EC⊥AB． （Ⅱ）取BC的中點(diǎn)O，BE中點(diǎn)F，連結(jié)OA，OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD的法向量和平面BCD的法向量，由此利用向量法能注出二面角A﹣CD﹣B的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）證明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120， ∴∠CDB=30， ∵EC=DE，∴∠DCE=30，∠BCE=90， ∴EC⊥BC， 又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC與平面BCD的交線為BC， ∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB． （Ⅱ）解：取BC的中點(diǎn)O，BE中點(diǎn)F，連結(jié)OA，OF， ∵AC=AB，∴AO⊥BC， ∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC， ∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是BE中點(diǎn)，∴OF⊥BC， 以O(shè)為原點(diǎn)，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)DE=2，則A（0，0，1），B（0，，0）， C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0）， ∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0）， 設(shè)平面ACD的法向量為=（x，y，z）， 則，取x=1，得=（1，，﹣3）， 又平面BCD的法向量=（0，0，1）， ∴cos＜＞==﹣， ∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值為． 【點(diǎn)評】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．本小題對考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求． 　 20．已知數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=an+（n∈N*）．證明：對一切n∈N*，有 （Ⅰ）＜； （Ⅱ）0＜an＜1． 【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式． 【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】（Ⅰ）由已知得an＞0，an+1=an+＞0（n∈N*），an+1﹣an=＞0，由此能證明對一切n∈N*，＜． （Ⅱ）由已知得，當(dāng)n≥2時， =＞，由此能證明對一切n∈N*，0＜an＜1． 【解答】證明：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=an+（n∈N*）， ∴an＞0，an+1=an+＞0（n∈N*），an+1﹣an=＞0， ∴， ∴對一切n∈N*，＜． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，對一切k∈N*，＜， ∴， ∴當(dāng)n≥2時， = ＞3﹣[1+] =3﹣[1+] =3﹣（1+1﹣） =， ∴an＜1，又， ∴對一切n∈N*，0＜an＜1． 【點(diǎn)評】本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時要注意裂項(xiàng)求和法和放縮法的合理運(yùn)用，注意不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用． 　 21．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若f（x）的最小值為0． （i）求實(shí)數(shù)a的值； （ii）已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=f（an）+2，記[x]表示不大于x的最大整數(shù)，求證：n＞1時[an]=2． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；數(shù)列遞推式． 【專題】分類討論；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）（i）利用（Ⅰ）的結(jié)論即可求得a的值； （ii）利用歸納推理，猜想當(dāng)n≥3，n∈N時，2＜an＜，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=﹣=． 當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a． 所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）． 綜上述：a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）； a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+∞）． （Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲?，當(dāng)a≤0時，f（x）無最小值，不合題意； 當(dāng)a＞0時，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0， 令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），則g′（x）=﹣1+=， 由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1． 所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）． 故[g（x）]max=g（1）=0，即當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，g（x）=0． 因此，a=1． （ⅱ）因?yàn)閒（x）=lnx﹣1+，所以an+1=f（an）+2=1++lnan． 由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因?yàn)椋糽n2＜1，所以2＜a3＜． 猜想當(dāng)n≥3，n∈N時，2＜an＜． 下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． ①當(dāng)n=3時，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立． ②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3，k∈N）時，不等式2＜ak＜成立． 則當(dāng)n=k+1時，ak+1=1++lnak， 由（Ⅰ）知函數(shù)h（x）=f（x）+2=1++lnx在區(qū)間（2，）單調(diào)遞增， 所以h（2）＜h（ak）＜h（），又因?yàn)閔（2）=1++ln2＞2， h（）=1++ln＜1++1＜． 故2＜ak+1＜成立，即當(dāng)n=k+1時，不等式成立． 根據(jù)①②可知，當(dāng)n≥3，n∈N時，不等式2＜an＜成立． 綜上可得，n＞1時[an]=2． 【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識等， 考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無限思想等，屬難題．