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2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 正方形與四邊形 附解析 第28講　正方形與四邊形綜合 1. (2013，河北) 一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示．若∠3＝50，則∠1＋∠2的度數(shù)為(B) 第1題圖 A. 90 B. 100 C. 130 D. 180 【解析】 如答圖．∠BAC＝180－90－∠1＝90－∠1，∠ABC＝180－60－∠3＝120－∠3，∠ACB＝180－60－∠2＝120－∠2.在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180，∴90－∠1＋120－∠3＋120－∠2＝180.∴∠1＋∠2＝150－∠3.∵∠3＝50，∴∠1＋∠2＝150－50＝100. 第1題答圖 2. (2015，河北，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖所示的是甲、乙兩張不同的矩形紙片，將它們分別沿著虛線剪開(kāi)后，各自要拼一個(gè)與原來(lái)面積相等的正方形，則(A) 第2題圖 A. 甲、乙都可以　　　　 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以，乙可以　　 D. 甲可以，乙不可以 【解析】 甲、乙都可以拼一個(gè)與原來(lái)面積相等的正方形，所拼圖形如答圖所示． 第2題答圖 3. (2016，河北)關(guān)于?ABCD的敘述，正確的是(C) A. 若AB⊥BC，則?ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，則?ABCD是正方形 C. 若AC＝BD，則?ABCD是矩形 D. 若AB＝AD，則?ABCD是正方形 【解析】 ∵在?ABCD中，AB⊥BC，∴四邊形ABCD是矩形，不一定是菱形．故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．∵在?ABCD中，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，不一定是正方形．故選項(xiàng)B錯(cuò)誤． ∵在?ABCD中，AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．故選項(xiàng)C正確．∵在?ABCD中，AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形，不一定是正方形．故選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 4. (2017，河北)如圖所示的是邊長(zhǎng)為10 cm的正方形鐵片，過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形，以下四種剪法中，裁剪線長(zhǎng)度所標(biāo)的數(shù)據(jù)(單位：cm)不正確的是(A) 　第4題圖 A B C D 【解析】 該正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)是102 cm≈14.14 cm，所以正方形內(nèi)部的每一個(gè)點(diǎn)，到正方形的頂點(diǎn)的距離都要小于14.14 cm. 　正方形的性質(zhì) 例1 (2018，深圳二模)如圖，P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF.給出以下4個(gè)結(jié)論：①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP.其中正確的結(jié)論是(C) 例1題圖 A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 【解析】 如答圖，連接PC.∵P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∴PA＝PC，∠BCD＝90.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠BCD＝90.∴四邊形PECF是矩形．∴PC＝EF.∴PA＝EF.故②正確．∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45.∵∠PFD＝∠BCD＝90，∴PF∥BC.∴∠DPF＝∠DBC＝45. ∴△FPD是等腰直角三角形．故①正確．在△PAB和△PCB中，AB＝CB，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，∴△PAB≌△PCB.∴∠BAP＝∠BCP.易證∠PFE＝∠BCP，∴∠PFE＝∠BAP.故④正確．∵P是正方形對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∴AD不一定等于PD.故③錯(cuò)誤． 例1答圖 針對(duì)訓(xùn)練1 (2018，唐山豐南區(qū)二模)如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為(B) 訓(xùn)練1題圖 A. 75 B. 60 C. 55 D. 45 【解析】 ∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90，AB＝AD，∠BAF＝45.∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60，AD＝AE.∴∠BAE＝90＋60＝150，AB＝AE.∴∠ABE＝∠AEB＝12(180－150)＝15.∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45＋15＝60. 　正方形的判定 例2 (2018，桂林灌陽(yáng)縣模擬)如圖，在△ABC中，O是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠ACD的平分線于點(diǎn)F.若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，要使四邊形AECF是正方形，則∠ACB的度數(shù)是(D) 例2題圖 A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【解析】 ∵CE，CF分別為∠ACB，∠ACD的平分線，∴∠ECF＝90.∵M(jìn)N∥BC， ∴∠FEC＝∠ECB.∵∠ECB＝∠ECO，∴∠FEC＝∠ECO.∴OE＝OC.同理OC＝OF.∴OE＝OF.∵點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC.∴四邊形AECF為矩形．若∠ACB＝90，則AC⊥EF. ∴四邊形AECF為正方形. 針對(duì)訓(xùn)練2 如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O.添加一個(gè)條件，能使菱形ABCD成為正方形的是(C) 訓(xùn)練2題圖 A. BD＝AB B. AC＝AD C. ∠ABC＝90 D. OD＝AC 【解析】 要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可：①有一個(gè)內(nèi)角是直角；②對(duì)角線相等. 　平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系 例3 (2018，臨沂)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．下列說(shuō)法：①若AC＝BD，則四邊形EFGH為矩形；②若AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等．其中正確的個(gè)數(shù)是(A) 例3題圖 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 由三角形中位線定理可知四邊形的四邊中點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．本題中，當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是矩形；當(dāng)AC＝BD且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH是正方形．反之，四邊形EFGH是正方形時(shí)，AC與BD互相垂直且相等．只有說(shuō)法④正確. 針對(duì)訓(xùn)練3 (2018，鹽城鹽都區(qū)模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，E，F(xiàn)，G，H分別為AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)，順次連接E，G，F(xiàn)，H. (1)求證：四邊形EGFH是菱形； (2)當(dāng)∠ABC與∠DCB滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形EGFH為正方形，并說(shuō)明理由； (3)猜想：∠GFH，∠ABC，∠DCB三個(gè)角之間的關(guān)系．(直接寫(xiě)出結(jié)果) 訓(xùn)練3題圖 【思路分析】 (1)根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到EG＝12AB，EH＝12CD，HF＝12AB，GF＝12CD.根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB.根據(jù)平角的定義得到∠GFH＝90，于是得到結(jié)論．(3)由平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB.根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論． (1)證明：∵E，F(xiàn)，G，H分別為AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)， ∴EG＝12AB，EH＝12CD，HF＝12AB，GF＝12CD. ∵AB＝CD， ∴EG＝EH＝HF＝GF. ∴四邊形EGFH是菱形． (2)解：當(dāng)∠ABC＋∠DCB＝90時(shí)，四邊形EGFH為正方形． 理由：∵E，F(xiàn)，G，H分別為AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)， ∴HF∥AB，GF∥CD. ∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB. ∵∠ABC＋∠DCB＝90， ∴∠HFC＋∠GFB＝90. ∴∠GFH＝90. ∴菱形EGFH是正方形． (3)解：∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180. 一、選擇題 1. (2018，石家莊二模)如圖，從正方形紙片的頂點(diǎn)沿虛線剪開(kāi)，則∠1的度數(shù)可能是(A) 第1題圖 A. 44 B. 45 C. 46 D. 47 【解析】 如答圖．∵四邊形為正方形，∴∠2＝45.∵∠1＜∠2，∴∠1＜45. 第1題答圖 2. (2018，宜昌)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，EG⊥AB，EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J，則圖中陰影部分的面積為(B) 第2題圖 A. 1 B. 12 C. 13 D. 14 【解析】 根據(jù)對(duì)稱性，可知四邊形EFHG的面積與四邊形EFJI的面積相等．∴S陰影＝ 12S正方形ABCD＝12. 3. (2018，梧州)如圖，在正方形ABCD中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)．將正方形ABCD向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后點(diǎn)D的坐標(biāo)是(B) 第3題圖 A. (－6，2) B. (0，2) C. (2，0) D. (2，2) 【解析】 ∵在正方形ABCD中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1，2)，(－1，0)，(－3，0)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－3，2)．∴將正方形ABCD向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，2)． 4. (2018，湘西州)下列說(shuō)法中，正確的有(B) ①對(duì)頂角相等；②兩直線平行，同旁內(nèi)角相等；③對(duì)角線互相垂直的四邊形為菱形； ④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形． A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 【解析】 ①對(duì)頂角相等，故①正確．②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故②錯(cuò)誤．③對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形，故③錯(cuò)誤．④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形，故④正確． 5. (2018，湘潭)如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是(B) 第5題圖 A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四邊形 【解析】 由菱形對(duì)角線的性質(zhì)和三角形中位線定理可得四邊形EFGH是矩形． 6. 如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，連接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為(A) 第6題圖 A. 2－1 B. 22 C. 1 D. 1－22 【解析】 如答圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DC于點(diǎn)F.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE平分∠ACD，∴EO＝EF.∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴AC＝2.∴CO＝12AC＝22.∴CF＝CO＝22.∴EF＝DF＝DC－CF＝1－22.∴DE＝2DF＝2－1. 第6題答圖 7. 如圖，正方形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D(5，3)在邊AB上．以點(diǎn)C為中心，把△CDB旋轉(zhuǎn)90，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)是(C) 第7題圖 A. (－2，0) B. (－2，10) C. (2，10)或(－2，0) D. (10，2)或(－2，10) 【解析】 因?yàn)辄c(diǎn)D(5，3)在邊AB上，所以AB＝BC＝5，BD＝5－3＝2.①若把△CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，則點(diǎn)D′在x軸上，OD′＝2，所以D′(－2，0)．②若把△CDB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，則點(diǎn)D′到x軸的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為2，所以D′(2，10)．綜上，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(－2，0)或(2，10)． 8. 如圖，邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是(D) 第8題圖 A. 12 B. 33 C. 1－33 D. 2－1 【解析】 ∵繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，∴∠D′CE＝45，∠CD′E＝90.∴CD′＝D′E.∵AC＝12＋12＝2，∴CD′＝2－1.∴正方形重疊部分的面積是1211－12(2－1)(2－1)＝2－1. 二、填空題 9. 如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接EC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥EC，交AB于點(diǎn)F，則tan∠ECF＝（ 12） . 第9題圖 【解析】 ∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠A＝∠D＝90.∵AE＝ED，∴CD＝AD＝2AE.∵∠FEC＝90，∴∠AEF＋∠DEC＝90.∵∠DEC＋∠DCE＝90，∴∠AEF＝∠DCE.∵∠A＝∠D，∴△AEF∽△DCE.∴EFEC＝AEDC＝12.∴tan∠ECF＝EFEC＝12. 10. 如圖，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，AE＝AD，∠ADE＝75，則∠AEB＝ 30 . 第10題圖 【解析】 ∵AE＝AD，∠ADE＝75，∴∠DAE＝180－2∠ADE＝180－275＝ 30.∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90＋30＝120.∵AB＝AD，∴AB＝AE.∴∠AEB＝ 12(180－∠BAE)＝12(180－120)＝30. 11. (2018，武漢)以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE，則∠BEC的度數(shù)是 30或150. 【解析】 如答圖①.∵四邊形ABCD為正方形，△ADE為等邊三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60.∴∠BAE＝∠CDE＝150.∴∠AEB＝∠CED＝15.∴∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠CED＝ 30.如答圖②.同理∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90－60＝30.∴∠CED＝∠ECD＝12(180－30)＝75.∴∠BEC＝360－752－60＝150. 第11題答圖 12. (2018，咸寧)如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為 (－1，5) ． 第12題圖 【解析】 如答圖，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線EH，垂足為H，過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線GM，垂足為M，連接GE，F(xiàn)O相交于點(diǎn)O′.∵四邊形OEFG是正方形，∴OG＝EO.易證∠GOM＝ ∠OEH，∠OGM＝∠EOH.∴△OGM≌△EOH(ASA)．∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3.∴G(－3，2)．∴O′－12，52.∵點(diǎn)F與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)O′對(duì)稱，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－1，5)． 第12題答圖 三、 解答題 13. (2018，寧夏)如圖，已知E為正方形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BE，垂足為M，交AB于點(diǎn)N. (1)求證：△ABE≌△BCN； (2)若N為AB的中點(diǎn)，求tan∠ABE. 第13題圖 【思路分析】 (1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明即可．(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可． (1)證明：如答圖．∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠CBN＝90，∠1＋∠2＝90. ∵CM⊥BE， ∴∠2＋∠3＝90. ∴∠1＝∠3. 在△ABE和△BCN中，∠A＝∠CBN，AB＝BC，∠1＝∠3， ∴△ABE≌△BCN(ASA)． (2)解：∵N為AB的中點(diǎn)， ∴BN＝12AB. ∵△ABE≌△BCN， ∴AE＝BN＝12AB. 在Rt△ABE中，tan∠ABE＝AEAB＝12ABAB＝12. 第13題答圖 14. (2018，鹽城)如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線BD所在的直線上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)滿足BE＝DF，連接AE，AF，CE，CF. (1)求證：△ABE≌△ADF； (2)試判斷四邊形AECF的形狀，并說(shuō)明理由． 第14題圖 【思路分析】 (1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明即可．(2)四邊形AECF是菱形，根據(jù)對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形即可判斷． (1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD. ∴∠ABD＝∠ADB. ∴∠ABE＝∠ADF. 在△ABE和△ADF中，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)． (2)解：四邊形AECF是菱形． 理由：如答圖，連接AC. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF. ∴OB＋BE＝OD＋DF. ∴OE＝OF. ∴四邊形AECF是菱形． 第14題答圖 15. (2018，白銀)如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)，G，H分別是BC，BE，CE的中點(diǎn)． (1)求證：△BGF≌△FHC； (2)設(shè)AD＝a，當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí)，求矩形ABCD的面積． 第15題圖 【思路分析】 (1)根據(jù)三角形中位線定理和全等三角形的判定證明即可．(2)利用正方形的性質(zhì)和矩形的面積公式解答即可． (1)證明：∵F，G，H分別是BC，BE，CE的中點(diǎn)， ∴FH∥BE，F(xiàn)H＝12BE，GE＝BG＝12BE，BF＝FC. ∴∠CFH＝∠CBG，F(xiàn)H＝BG. ∴△BGF≌△FHC. (2)解：如答圖，連接EF，GH.當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí)，得EF⊥GH且EF＝GH. ∵在△BEC中，G，H分別是BE，CE的中點(diǎn)， ∴GH＝12BC＝12AD＝12a，且GH∥BC. ∴EF⊥BC. ∵四邊形ABCD為矩形， ∴AB＝EF＝GH＝12a. ∴矩形ABCD的面積為AB?AD＝12a?a＝12a2. 第15題答圖 16. (2018，遵義)如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90，OE，DA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，OF，AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，連接MN. (1)求證：OM＝ON； (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為OM的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．(結(jié)果保留根號(hào)) 第16題圖 【思路分析】 (1)證△OAM≌△OBN即可得．(2)作OH⊥AD，由正方形的邊長(zhǎng)為4且E為OM的中點(diǎn)知OH＝HA＝2，HM＝4，再根據(jù)勾股定理得OM＝25.由等腰直角三角形的性質(zhì)知MN＝2OM. (1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝∠OBA＝45. ∴∠OAM＝∠OBN＝135. ∵∠EOF＝90，∠AOB＝90， ∴∠AOM＝∠BON. ∴△OAM≌△OBN(ASA)．∴OM＝ON. (2)解：如答圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H. ∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4， ∴OH＝HA＝2. ∵E為OM的中點(diǎn)， ∴HM＝4. ∴OM＝22＋42＝25. ∴MN＝2OM＝210. 第16題答圖 1. (2018，無(wú)錫)如圖，已知E是矩形ABCD的對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，正方形EFGH的頂點(diǎn)G，H都在邊AD上．若AB＝3，BC＝4，則tan∠AFE的值為(A) 第1題圖 A. 37 B. 33 C. 34 D. 隨點(diǎn)E位置的變化而變化 【解析】 ∵EF∥AD，∴∠AFE＝∠FAG.∴HE∥CD.∴△AEH∽△ACD.∴EHAH＝CDAD＝34.設(shè)EH＝3x，AH＝4x，∴HG＝GF＝3x.∴tan∠AFE＝tan∠FAG＝GFAG＝3x3x＋4x＝37. 2. (2018，青島)如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)G，H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為 （342）.(結(jié)果保留根號(hào)) 第2題圖 【解析】 ∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAE＝∠D＝90，AB＝AD.∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF(SAS)．∴∠ABE＝∠DAF.∵∠ABE＋∠BEA＝90，∴∠DAF＋∠BEA＝90.∴∠BGF＝∠AGE＝90.∵H為BF的中點(diǎn)，∴GH＝12BF.∵BC＝5，CF＝CD－DF＝5－2＝3，∴BF＝BC2＋CF2＝34.∴GH＝12BF＝342. 3. (2018，臺(tái)州，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2∶3，則△BCG的周長(zhǎng)為15＋3.(結(jié)果保留根號(hào)) 第3題圖 【解析】 ∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2∶3，∴陰影部分的面積為239＝6.∴空白部分的面積為9－6＝3.由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為123＝32.易證∠BGC＝90.設(shè)BG＝a，CG＝b，則12ab＝32.又∵a2＋b2＝32，∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15，即(a＋b)2＝15.∴a＋b＝15，即BG＋CG＝15.∴△BCG的周長(zhǎng)為15＋3. 4. (2018，北京，導(dǎo)學(xué)號(hào)5892921)如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH. (1)求證：GF＝GC； (2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明． 第4題圖 【思路分析】 (1)連接DF，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，得△ADE≌△FDE，再由HL證明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得結(jié)論．(2)作輔助線，構(gòu)建AM＝AE，先證明∠EDG＝45，得DE＝EH，證明△DME≌△EBH，則EM＝BH，根據(jù)勾股定理得EM＝2AE，得結(jié)論． (1)證明：如答圖，連接DF. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90. ∵點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為F， ∴△ADE≌△FDE. ∴DA＝DF，∠DFE＝∠A＝90. ∴DF＝DC，∠DFG＝90. 在Rt△DFG和Rt△DCG中，DG＝DG，DF＝DC， ∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)． ∴GF＝GC. (2)解：BH＝2AE. 證明：如答圖，在線段AD上截取AM，使AM＝AE. ∵AD＝AB， ∴DM＝BE. 由(1)知∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠ADC＝90， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90. ∴∠2＋∠3＝45，即∠EDG＝45. ∵EH⊥DE， ∴∠DEH＝90. ∴∠AED＋∠BEH＝∠AED＋∠1＝90，△DEH是等腰直角三角形． ∴∠1＝∠BEH，DE＝EH. ∴△DME≌△EBH. ∴EM＝BH. 在Rt△AEM中，∠A＝90，AM＝AE， ∴EM＝2AE. ∴BH＝2AE. 第4題答圖