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九年級(jí)數(shù)學(xué)下第二章二次函數(shù)單元測(cè)試題 北師大版含答案 第二章　二次函數(shù)　　 一、選擇題(本大題共7小題，共28分) 1．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－3)，那么該拋物線有(　　) A．最小值－3　 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2 2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1 則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為(　　) A．y軸　 B．直線x＝52 C．直線x＝2　 D．直線x＝32 3．若二次函數(shù)y＝(m－1)x2－mx－m2＋1的圖象過(guò)原點(diǎn)，則m的值為(　　) A．1 B．0 C．1 D．－1 圖8－Z－1 4．一次函數(shù)y＝ax＋b和反比例函數(shù)y＝cx在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖8－Z－1所示，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象大致為(　　) 圖8－Z－2 5．國(guó)家決定對(duì)某藥品價(jià)格分兩次降價(jià)，若設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，該藥品原價(jià)為18元，降價(jià)后的價(jià)格為y元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為(　　) A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x) C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2) 圖8－Z－3 6．如圖8－Z－3是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，對(duì)稱軸為直線x＝－1，給出四個(gè)結(jié)論：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④若點(diǎn)B－52，y1，C－12，y2為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2.其中正確的是(　　) A．②④ B．①④ C．①③ D．②③ 圖8－Z－4 7．如圖8－Z－4，Rt△OAB的頂點(diǎn)A(－2，4)在拋物線y＝ax2上，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(2，2) B．(2，2) C．(2，2) D．(2，2) 二、填空題(本大題共5小題，共25分) 8．函數(shù)y＝(x－2)(3－x)取得最大值時(shí)，x＝________． 9．將拋物線y＝2(x－1)2＋2向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，那么得到的拋物線的表達(dá)式為____________． 10．如圖8－Z－5，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為8 m，以隧道底部寬AB所在直線為x軸，以AB垂直平分線為y軸建立如圖2－Z－7所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線的表達(dá)式為y＝－12x2＋b，則隧道底部寬AB為________m. 圖8－Z－5　　　 圖8－Z－6 11．如圖8－Z－6所示，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為－2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線y＝a1x2＋b1x＋c1，則下列結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) ①b>0；②a－b＋c<0；③陰影部分的面積為4；④若c＝－1，則b2＝4a. 12．二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象如圖8－Z－7所示，若線段AB在x軸上，且AB為2 3個(gè)單位長(zhǎng)度，以AB為邊作等邊三角形ABC，使點(diǎn)C落在該函數(shù)y軸右側(cè)的圖象上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________________． 圖8－Z－7 三、解答題(共47分) 13．(14分)如圖8－Z－8，已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為12，E，F(xiàn)，G，H為矩形ABCD的各邊中點(diǎn)，若AB＝x，四邊形EFGH的面積為y. (1)請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)根據(jù)(1)中的函數(shù)關(guān)系式，計(jì)算當(dāng)x為何值時(shí)，y最大，并求出最大值． 14．(16分)大學(xué)畢業(yè)生小王響應(yīng)國(guó)家“自主創(chuàng)業(yè)”的號(hào)召，利用銀行小額無(wú)息貸款開辦了一家飾品店．該店購(gòu)進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行銷售，飾品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元，每月可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：調(diào)整價(jià)格時(shí)，售價(jià)每漲1元，每月要少賣10件；售價(jià)每下降1元，每月要多賣20件．為了獲得更大的利潤(rùn)，現(xiàn)將飾品售價(jià)調(diào)整為(60＋x)元/件(x＞0即售價(jià)上漲，x＜0即售價(jià)下降)，每月飾品銷量為y件，月利潤(rùn)為w元． (1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)如何確定銷售價(jià)格才能使月利潤(rùn)最大？求最大月利潤(rùn)； (3)為了使每月利潤(rùn)不少于6000元，應(yīng)如何控制銷售價(jià)格？ 15．(17分)如圖8－Z－9，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三點(diǎn)，P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)． (1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式． (2)是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (3)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC的面積最大，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PBC的最大面積． 詳解詳析 1．B　[解析] 因?yàn)閽佄锞€開口向下，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－3)，所以該拋物線有最大值－3.故選B. 2．D　[解析] 觀察表格可知，點(diǎn)(0，1)與點(diǎn)(3，1)、點(diǎn)(1，－1)與點(diǎn)(2，－1)的縱坐標(biāo)分別相等，所以可知它們分別關(guān)于圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，進(jìn)而可求得對(duì)稱軸為直線x＝0＋32(或1＋22)＝32.故選D. 3．D　4.C　5.C 6．B　[解析] ①由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，得b2－4ac＞0，所以①正確；②因?yàn)閷?duì)稱軸為直線x＝－1，則－b2a＝－1，即2a－b＝0，所以②錯(cuò)誤；③因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3，0)，對(duì)稱軸為直線x＝－1，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(1，0)，于是有a＋b＋c＝0，所以③錯(cuò)誤；④點(diǎn)B－52，y1在對(duì)稱軸左側(cè)1.5個(gè)單位長(zhǎng)度處，點(diǎn)C－12，y2在對(duì)稱軸右側(cè)0.5個(gè)單位長(zhǎng)度處，找出相應(yīng)的點(diǎn)，顯然y1＜y2，所以④正確．故選B. 7．C　8.52 9．y＝2(x＋2)2－2(或y＝2x2＋8x＋6) 10．8　[解析] 由題意可知拋物線y＝－12x2＋b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，8)， ∴b＝8，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－12x2＋8. 當(dāng)y＝0時(shí)，0＝－12x2＋8，解得x＝4或－4， ∴水面寬AB＝4＋4＝8(m)．故答案為8. 11．③④　[解析] 由題圖知，拋物線開口向上， ∴a>0.又對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)， ∴x＝－b2a>0， ∴b<0，①錯(cuò)誤．當(dāng)x＝－1時(shí)，拋物線在x軸上方， ∴y＝a－b＋c>0，②錯(cuò)誤．設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為E，與x軸右邊的交點(diǎn)為D，則陰影部分的面積與平行四邊形CEDB的面積相同． ∵平移了2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是－2，∴S＝22＝4，③正確．由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，得yC＝－2， ∴4ac－b24a＝－2. ∵c＝－1，解得b2＝4a，④正確．故填③④. 12．(1＋7，3)或(2，－3) 13．解：(1)∵矩形ABCD的周長(zhǎng)為12，AB＝x， ∴BC＝1212－x＝6－x. ∵E，F(xiàn)，G，H為矩形ABCD的各邊中點(diǎn)， ∴y＝12x(6－x)＝－12x2＋3x， 即y＝－12x2＋3x. (2)y＝－12x2＋3x＝－12(x－3)2＋4.5， ∵a＝－12＜0， ∴y有最大值， 當(dāng)x＝3時(shí)，y有最大值，為4.5. 14．解：(1)由題意可得： y＝300－10x（0≤x≤30），300－20x（－20≤x<0）. (2)由題意可得： w＝（20＋x）（300－10x）（0≤x≤30），（20＋x）（300－20x）（－20≤x<0）， 化簡(jiǎn)得： w＝－10x2＋100x＋6000（0≤x≤30），－20x2－100x＋6000（－20≤x<0）， 即w＝－10（x－5）2＋6250（0≤x≤30），－20（x＋52）2＋6125（－20≤x<0）. 由題意可知x應(yīng)取整數(shù)，所以當(dāng)x＝－2或x＝－3時(shí)，w＜6125＜6250， 故當(dāng)銷售價(jià)格為每件65元時(shí)，月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為6250元． (3)由題意得w≥6000，如圖，令w＝6000， 即6000＝－20(x＋52)2＋6125，6000＝－10(x－5)2＋6250， 解得x1＝－5，x2＝0，x3＝10， ∴－5≤x≤10， 故將銷售價(jià)格控制在55元到70元之間(含55元和70元)，才能使每月利潤(rùn)不少于6000元． 15．解：(1)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c， 把A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入可得a－b＋c＝0，16a＋4b＋c＝0，c＝－4，解得a＝1，b＝－3，c＝－4， ∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2－3x－4. (2)作OC的垂直平分線DP，交OC于點(diǎn)D，交BC下方拋物線于點(diǎn)P，連接OP，CP，如圖①， ∴PO＝PC，此時(shí)點(diǎn)P即為滿足條件的點(diǎn)． ∵C(0，－4)， ∴D(0，－2)， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為－2. 當(dāng)y＝－2時(shí)，即x2－3x－4＝－2， 解得x1＝3－172(不合題意，舍去)，x2＝3＋172. ∴存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(3＋172，－2)． (3)∵點(diǎn)P在拋物線上， ∴可設(shè)P(t，t2－3t－4)． 過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖②， ∵B(4，0)，C(0，－4)， ∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x－4， ∴F(t，t－4)， ∴PF＝(t－4)－(t2－3t－4)＝－t2＋4t， ∴S△PBC＝S△PFC＋S△PFB＝12PFOE＋12PFBE＝12PF(OE＋BE)＝12PFOB＝12(－t2＋4t)4＝－2(t－2)2＋8， ∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△PBC最大，且最大值為8， 此時(shí)t2－3t－4＝－6， ∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－6)時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積為8.