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2015年?yáng)|北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷（三）理科數(shù)學(xué)試卷 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1、已知全集 ? 2、若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則 3、執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的等于 42　　 56 72 90 4、設(shè)，，，則 　　 5、已知（）的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 36　　 　 45 55 120 6、已知為等差數(shù)列且公差，其首項(xiàng)，且成等比數(shù)列，為的前項(xiàng)和，，則的值為(　　) 7、某拋物線的通徑與圓的半徑相等，則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為 2 4 6 8 8、某數(shù)學(xué)教師一個(gè)上午有3個(gè)班級(jí)課，每班一節(jié)。如果上午只能排4節(jié)課，并且不能連上3節(jié)課，則這位教師上午的課表有（ ）種可能的排法 6 8 12 16 9、函數(shù)的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2），相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間的距離為2，則= 1 -1 10、偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的大小關(guān)系是 不能確定 11、為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，（）滿足，則雙曲線的離心率為 2 12. 定義在R上的函數(shù)，時(shí)，，令，,則 函 數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 6 7 8 9 二填空題：本大題共4小題，每小題5分 13、邊長(zhǎng)為2的正方形，對(duì)角線的交點(diǎn)為，則= . 14．如右圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖（俯視圖外框?yàn)檎叫危?，則這個(gè)幾何體的表面積為 . 15、甲乙兩位同學(xué)約定早上7點(diǎn)至12點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去。設(shè)兩人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響，則二人能會(huì)面的概率為 . 16、棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論： ① ⊥ ② 直線與平面所成角的正弦值為 ③ ⊥ ④ 四面體的體積為 則正確結(jié)論的序號(hào)為 . 17. （本小題滿分12分） 已知，的三邊對(duì)應(yīng)的角分別為，其中. (1) 求角的大?。? （2）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值. 18. （本小題滿分12分） 全國(guó)學(xué)生的體質(zhì)健康調(diào)研最新數(shù)據(jù)表明，我國(guó)小學(xué)生近視眼發(fā)病率為22.78％，初中生為55.22％，高中生為70.34％.。影響青少年近視形成的因素有遺傳因素和環(huán)境因素。主要原因是環(huán)境因素，學(xué)生長(zhǎng)時(shí)期近距離的用眼狀態(tài)，加上不注意用眼衛(wèi)生、不合理的作息時(shí)間安排很容易引起近視。除了學(xué)習(xí)，學(xué)生平時(shí)日常愛(ài)看電視、上網(wǎng)、玩電子游戲，不喜歡參加戶外體育活動(dòng)都是造成近視情況日益嚴(yán)重的原因。為了解情況現(xiàn)從哈市某中學(xué)隨機(jī)抽取18名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對(duì)數(shù)視力表檢查得到每個(gè)學(xué)生的視力狀況的莖葉圖(以 小數(shù)點(diǎn)的前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)如下： (1) 求這18名學(xué)生視力的平均數(shù)（精確到0.1）和中位數(shù)； （2）若視力測(cè)試結(jié)果不低于5.0，則稱為“正常視力”， ①求校醫(yī)從這18人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“正常視力”的概率； P A B C D ②以這18人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽 到“正常視力”學(xué)生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 19. （本小題滿分12分） 如圖：四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面⊥底面，且. (1) 求證：⊥； （2）若二面角的大小為，求的值 . 20. （本小題滿分12分） 已知橢圓，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于點(diǎn).直線交橢圓于另一點(diǎn). （1）當(dāng)時(shí)是否存在使得? （2）若，求的面積的最大值. 21. （本小題滿分12分） 已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）證明：（）. 請(qǐng)考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑． 請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22. （本小題滿分10分） 如圖，是的高，是的外接圓的直徑，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn). （1） 求證： ∽； （2） 若，求的外接圓的半徑. 23. （本小題滿分10分） 直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程為. （1）求曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，若恰好為線段的三等分點(diǎn)，求直線的斜率. 24. （本小題滿分10分） 已知且. (1)求的最大值； （2）求證：. 2015年?yáng)|北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷（三） 理科數(shù)學(xué)答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C B A D A C D A C C 13、 6 14、 15、 16、①③④ 17.（1）……………（1分） ，……………（3分） 又……………（4分） ，……………（5分） ……………（6分） （2） ……………（8分） 又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）……………（9分） 面積……………（10分） 所以面積的最大值為……………（12分） 18.（1）由莖葉圖這18名學(xué)生視力的平均數(shù)為 ； ……………（2分） 中位數(shù)為4.65……………（4分） （2）①“正常視力”人數(shù)為4人，設(shè)事件A為至多1人是“正常視力”， 則P(A)=,故在18人中隨機(jī)抽3人， 至多1人為“正常視力”的概率為.……………（6分） ②由題可知，故， ……………（8分） 的分布列為： 0 1 2 3 P ……………（10分） ……………（12分） 19.（1）⊥，=， 且，⊥ 所以 ⊥， ……………（2分） ⊥……………（4分）[來(lái)源:Z#xx#k.Com] （2）取的中點(diǎn)為，連接 ⊥，，=， 且，⊥ 所以⊥……………（6分） 以為原點(diǎn)，射線方向?yàn)檩S，射線方向?yàn)檩S，平行于的方向?yàn)檩S建立空間坐標(biāo)系，，設(shè) 的法向量為……………（7分） 的法向量為……………（8分） ……………（10分） ……………（11分） ……………（12分） 20.(1)設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得 將代入得……………（1分） 則的中點(diǎn)坐標(biāo)為……………（2分） ，……………（3分） ……………（4分） 解得……………（5分） 所以存在使得……………（6分） （2）由（1）得， ……………（7分） 的面積……………（8分） 令， 當(dāng)時(shí)，，在[1,2]上單調(diào)遞減，所以當(dāng) 時(shí) 的面積的最大值為……………（10分） 當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為……………（12分） 21. （1）解：，……………（1分） 依題知，故，則。……………（2分） 令， ①，此時(shí)，故，而，所以符合題意?！?分） ②，而對(duì)稱軸，故在單調(diào)遞增且，則，故，而，所以符合題意。……………（6分） 綜上，?！?分） （2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，， 即?！?分） 令，則，（10分） 裂項(xiàng)累加 所以。（12分） 22. （1）是直徑，……………（1分） 又……………（2分） ∽……………（4分） （2） ，……………（5分） ……………（7分） ……………（8分） ，……………（9分） 由（1）得 所以的外接圓的半徑為……………（10分） 23.（1）由 曲線的參數(shù)方程為， 得……………（2分） 所以曲線的直角坐標(biāo)方程為……………（4分） （2）設(shè)直線的傾斜角為 直線的參數(shù)方程為，……………（5分） 代入曲線的直角坐標(biāo)方程得 ……………（6分） ……………（7分） 由題意可知，……………（8分） 代入上式得 即……………（9分） 所以直線的斜率為……………（10分） 24.（1）由題意可知，……………（1分） 即……………（2分） （當(dāng)且僅當(dāng)） 的最大值為……………（4分） (2) 要證： 即證：……………（5分） 由于則 即證：……………（7分） 已知，則 即證：……………（9分） 由（1）知成立 ，所以原不等式成立 ……………（10分）