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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 階段性測試題3 新人教B版選修1-1
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．設(shè)橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[答案] B
[解析] ∵拋物線焦點為(2,0)，∴＝2，又＝，∴m＝4，n＝12.
2．以－＝－1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[答案] D
[解析] 雙曲線－＝－1，可化為：－＝1，
焦點為(0，4)，頂點為(0，2)，
∴橢圓方程為：＋＝1.
3．已知拋物線x2＝4y的焦點F和點A(－1,8)，點P為拋物線上一點，則|PA|＋|PF|的最小值為( )
A．16
B．6
C．12
D．9
[答案] D
[解析] 如圖，
過點A作準線的垂線，B為垂足，與拋物線交于一點P，則點P為所求的點，|PA|＋|PF|的最小值為|AB|的長度．
4．已知兩定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則動點P的軌跡是( )
A．橢圓
B．雙曲線
C．拋物線
D．線段
[答案] D
[解析] 依題意知|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2，作圖可知點P的軌跡為線段，故選D.
5．橢圓a2x2－y2＝1的一個焦點是(－2,0)，則a等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 橢圓a2x2－y2＝1可化為＋＝1，
∴a<0，排除C、D.
當(dāng)a＝時，＝6＋2，－＝2(＋1)，
∴6＋2－2－2＝4，∴一個焦點是(－2,0)．
6．(xx廈門模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)，雙曲線－＝1(a>0，b>0)和拋物線y2＝2px(p>0)的離心率分別是e1，e2，e3，則( )
A．e1e2>e3
B．e1e2＝e3
C．e1e2
b>0)的漸近線( )
A．重合
B．不重合，但關(guān)于x軸對稱
C．不重合，但關(guān)于y軸對稱
D．不重合，但關(guān)于直線y＝x對稱
[答案] A
9．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則動圓必過定點( )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－2)
[答案] B
[解析] ∵直線x＋2＝0恰好為拋物線y2＝8x的準線，由拋物線定義知，動圓必過拋物線焦點(2,0)．
10．設(shè)O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正向的夾角為60，則為( )
A.P
B.P
C.P
D.P
[答案] B
[解析] 根據(jù)題意得A點為直線y＝(x－)與拋物線y2＝2px的兩個交點中橫坐標較大的那個，聯(lián)立方程組求出x1＝P，x2＝P，所以A(P，P)，則|OA＝＝P，故選B.
11．圓心在拋物線y2＝2x上，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是( )
A．x2＋y2－x－2y－＝0
B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0
C．x2＋y2－x－2y＋1＝0
D．x2＋y2－x－2y＋＝0
[答案] D
[解析] 拋物線y2＝2x的準線為x＝－，設(shè)圓心為(a，b)，則有b2＝2a，因為圓與x軸及拋物線準線都相切，故|b|＝a＋，兩式聯(lián)立解得a＝，b＝1，此時圓半徑r＝|b|＝1.
12．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是( )
A．直線
B．圓
C．雙曲線
D．拋物線
[答案] D
[解析] ∵點P到直線C1D1的距離等于它到定點C1的距離，
∴動點P到直線BC的距離等于它到定點C1的距離．
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)
13．已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為________．
[答案]
[解析] ∵AB＝2c＝4，∴c＝2.
又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4.
即橢圓的離心率為＝.
14．設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線2x2－2y2＝1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是________．
[答案]?。珁2＝1
[解析] ∵雙曲線2x2－2y2＝1的離心率為，
∴所求橢圓的離心率為，又焦點為(1,0)，
∴所求橢圓的方程為＋y2＝1.
15．拋物線形拱橋的跨度是20米，拱高是4米，每隔4米用一支柱支撐，其中最長支柱的長是________．
[答案] 3.84米
[解析] 如圖，建立如圖所示的平面直角坐標系．
設(shè)拋物線方程為：x2＝－2py(p>0)
點A(10，－4)在拋物線上，
∴100＝8p，p＝，∴x2＝－25y，
其中最長一根長柱與拋物線的交點為B(x0，y0)，
由題意知x0＝2，∴y0＝－，
∴最長的支柱長為4－＝＝3.84(米)．
16．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題：
①設(shè)A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，||－||＝k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若＝(＋)，則動點P的軌跡為橢圓；
③方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線－＝1與橢圓＋y2＝1有相同的焦點．
其中正確命題的序號是________．
[答案] ③④
[解析] 雙曲線的定義是：平面上與兩個定點A，B的距離的差的絕對值為常數(shù)2a，且0<2a<|AB|，那么點P的軌跡為雙曲線，故①錯；
由＝(＋)得點P為弦AB的中點，其軌跡為圓，故②錯；
設(shè)2x2－5x＋2＝0的兩根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝1，由此可知兩根互為倒數(shù)，且均為正，故③正確；
－＝1的焦點坐標為(，0)，＋y2＝1的焦點坐標為(，0)，故④正確．
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)求以橢圓3x2＋13y2＝39的焦點為焦點，以直線y＝為漸近線的雙曲線方程．
[解析] 橢圓3x2＋13y2＝39可化為＋＝1，
其焦點坐標為(，0)，
∴所求雙曲線的焦點為(，0)，
設(shè)雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0)
∵雙曲線的漸近線為y＝x，
∴＝，∴＝＝＝，
∴a2＝，b2＝，
即所求的雙曲線方程為：＋＝1.
18．(本題滿分12分)若已知橢圓＋＝1與雙曲線x2－＝1有相同的焦點，又橢圓與雙曲線交于點P，求橢圓及雙曲線的方程．
[解析] 由橢圓與雙曲線有相同的焦點得
10－m＝1＋b，即m＝9－b，①
由點P在橢圓、雙曲線上，得
y2＝m，②
y2＝，③
解由①、②、③組成的方程組得m＝1，b＝8，
∴橢圓方程為＋y2＝1，雙曲線方程為x2－＝1.
19．(本題滿分12分)已知拋物線方程為y2＝2x，
(1)設(shè)點A的坐標為(，0)，求拋物線上距點A最近的點P的坐標及相應(yīng)的距離|PA|；
(2)設(shè)點A的坐標為(a,0)(a∈R)，求拋物線上的點到點A距離的最小值d，并寫出d＝f(a)的函數(shù)表達式．
[解析] (1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標為(x，y)，
則|PA|2＝(x－)2＋y2＝(x－)2＋2x
＝(x＋)2＋，
∵x≥0，且在此區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝0時，|PA|min＝，故距A最近的點的坐標為(0,0)．
(2)由(1)知|PA|2＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)，當(dāng)a－1≥0時，即a≥1時，此時當(dāng)x＝a－1時，
dmin＝；
當(dāng)a－1<0時，即a<1時，此時當(dāng)x＝0時，dmin＝|a|.
綜上，d＝.
20．(本題滿分12分)汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點處，已知燈口的直徑是24 cm，燈深10 cm，那么燈泡與反射鏡頂點的(即截得拋物線頂點)距離是多少？
[解析] 取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點為坐標原點，建立直角坐標系xOy，如右圖所示．因燈口直徑|AB|＝24，燈深|OP|＝10，所以點A的坐標是(10,12)．
設(shè)拋物線的方程是y2＝2px(p>0)．
由點A(10,12)在拋物線上，得122＝2p10，
∴p＝7.2.
拋物線的焦點F的坐標為(3.6,0)．
因此燈泡與反射鏡頂點的距離是3.6 cm.
21．(本題滿分12分)已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，其準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點；又拋物線與雙曲線的一個交點為M，求拋物線和雙曲線的方程．
[解析] ∵拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個交點為M，∴設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，
將點M坐標代入得p＝2，
∴y2＝4x，其準線為x＝－1，
∵拋物線的準線過雙曲線的一個焦點，
∴雙曲線的焦點為(1,0)且點M在雙曲線上，∴a2＝，b2＝，
則雙曲線的方程為4x2－＝1.
22．(本題滿分14分)如圖，點A是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸位于x軸下方的端點，過A作斜率為1的直線交橢圓于B點，P點在y軸上，且BP∥x軸，＝9.
(1)若P的坐標為(0,1)，求橢圓C的方程；
(2)若P的坐標為(0，t)，求t的取值范圍．
[解析] (1)A(0，－b)，l的方程為y＋b＝x，P(0,1)，則B(1＋b,1)，＝(1＋b,1＋b)，＝(0，b＋1)，
又∵＝9，
∴(1＋b,1＋b)(0，b＋1)＝9，
即(b＋1)2＝9，∴b＝2，∴點B(3,1)在橢圓上，
∴＋＝1，∴a2＝12，
所求的橢圓方程為＋＝1.
(2)P(0，t)，A(0，－b)，B(t＋b，t)，
＝(t＋b，t＋b)，＝(0，t＋b)，＝9，
∴(t＋b)2＝9，∴b＝3－t，B(3，t)，
代入橢圓＋＝1，∴a2＝，
∵a2>b2，∴>(3－t)2，∴0
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