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正確理解儲蓄及利息的計(jì)算方法． 了解并掌握購房貸款中的相關(guān)知識． 明確現(xiàn)行銀行的還款方式．,4 數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用,【課標(biāo)要求】,【核心掃描】,能夠利用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決一些實(shí)際問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 了解“零存整取”，“定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存”及“分期付款”等日常經(jīng)濟(jì)行為的含義．(重點(diǎn)),1．,2．,3．,1．,2．,自學(xué)導(dǎo)引,試一試：什么情況下建立數(shù)列模型？ 提示 根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)應(yīng)用問題中的變量的取值范圍是正整數(shù)時(shí)，該問題通常是數(shù)列問題，這時(shí)常常建立數(shù)列模型來解決．例如存款、貸款、購物(房、車)分期付款、保險(xiǎn)、資產(chǎn)折舊等問題都屬于數(shù)列問題模型． 有關(guān)儲蓄的計(jì)算 儲蓄與人們的日常生活密切相關(guān)，計(jì)算儲蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金存期利率． 根據(jù)國家規(guī)定，個(gè)人取得儲蓄存款利息，應(yīng)依法納稅，計(jì)算公式為：應(yīng)納稅額＝利息全額稅率． (1)整存整取定期儲蓄 一次存入本金金額為A，存期為n，每期利率為p，稅率為q，則到期時(shí)，所得利息為：_____，應(yīng)納稅為______，實(shí)際取出金額為：_____________.,2．,nAp,nApq,nAp(1－q)＋A,想一想：單利和復(fù)利分別與等差數(shù)列和等比數(shù)列中的哪一種數(shù)列對應(yīng)？ 提示 單利和復(fù)利分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列為模型，即單利的實(shí)質(zhì)是等差數(shù)列，復(fù)利的實(shí)質(zhì)是等比數(shù)列．,解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟 (1)審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意． (2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征，要求什么． (3)求解——求出該問題的數(shù)學(xué)解． (4)還原——將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中． 具體解題步驟為下框圖：,名師點(diǎn)睛,1．,數(shù)列應(yīng)用問題的常見模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的具體量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常數(shù))． 例如：銀行儲蓄單利公式 利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋xr)．,2．,例如：①銀行儲蓄復(fù)利公式 按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y＝a(1＋r)x. ②產(chǎn)值模型 原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時(shí)間x的總產(chǎn)值y＝N(1＋p)x. (3)混合模型：在一個(gè)問題中，同時(shí)涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型． (4)生長模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少)，稱該模型為生長模型，如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等．,題型一 等差數(shù)列模型(單利問題),用分期付款購買價(jià)格為25萬元的住房一套，如果購買時(shí)先付5萬元，以后每年付2萬元加上欠款利息．簽訂購房合同后1年付款一次，再過1年又付款一次，直到還完后為止．商定年利率為10%，則第5年該付多少元？購房款全部付清后實(shí)際共付多少元？ [思路探索] 先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這是一個(gè)等差數(shù)列問題，用等差數(shù)列來解決．,【例1】,解 購買時(shí)先付5萬元，余款20萬元按題意分10次分期還清，每次付款數(shù)組成數(shù)列{an}， 則a1＝2＋(25－5)10%＝4(萬元)； a2＝2＋(25－5－2)10%＝3.8(萬元)； a3＝2＋(25－5－22)10%＝3.6(萬元)； …；,31＋5＝36(萬元)，因此第5年該付3.2萬元，購房款全部付清后實(shí)際共付36萬元． 規(guī)律方法 按單利分期付款的數(shù)學(xué)模型是等差數(shù)列，解決該類問題的關(guān)鍵是弄清楚： (1)規(guī)定多少時(shí)間內(nèi)付清全部款額； (2)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)分幾期付款，并且規(guī)定每期所付款額相同； (3)規(guī)定多長時(shí)間段結(jié)算一次利息，并且在規(guī)定時(shí)間段內(nèi)利息的計(jì)算公式．,一個(gè)水池有若干出水量相同的水龍頭，如果所有水龍頭同時(shí)放水，那么24 min可注滿水池．如果開始時(shí)全部放開，以后每隔相等的時(shí)間關(guān)閉一個(gè)水龍頭，到最后一個(gè)水龍頭關(guān)閉時(shí)，恰好注滿水池，而且最后一個(gè)水龍頭放水的時(shí)間恰好是第一個(gè)水龍頭放水時(shí)間的5倍，問最后關(guān)閉的這個(gè)水龍頭放水多少時(shí)間？ 解 設(shè)共有n個(gè)水龍頭，每個(gè)水龍頭放水時(shí)間從小到大依次為x1，x2，…，xn. 由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1， ∴數(shù)列{xn}成等差數(shù)列，,【訓(xùn)練1】,陳老師購買工程集資房92 m2，單價(jià)為1 000元/m2，一次性國家財(cái)政補(bǔ)貼28 800元，學(xué)校補(bǔ)貼14 400元，余款由個(gè)人負(fù)擔(dān)．房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實(shí)行分期付款(注①)，經(jīng)過一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按復(fù)利計(jì)算(注②)，那么每年應(yīng)付款多少元？(注③) 注 ①分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時(shí)所生的利息合計(jì)，應(yīng)等于個(gè)人負(fù)擔(dān)的購房余額的現(xiàn)價(jià)及這個(gè)房款現(xiàn)價(jià)到最后一次付款時(shí)所生的利息之和． ②每年按復(fù)利計(jì)算，即本年利息計(jì)入次年的本金生息． ③必要時(shí)參考下列數(shù)據(jù)：1.0759≈1.971,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216.,【例2】,題型二 等比數(shù)列模型(復(fù)利問題),[思路探索] 按復(fù)利分期付款，各期所付的款以及最后一次付款時(shí)所生的利息合計(jì)，應(yīng)等于個(gè)人負(fù)擔(dān)的購房余額的現(xiàn)價(jià)及這個(gè)款現(xiàn)價(jià)到最后一次付款時(shí)所生的利息之和． 解 設(shè)每年應(yīng)付款x元，那么到最后一次付款時(shí)(即購房十年后)，第一年付款及所生利息之和為x1.0759元，第二年付款及所生利息之和為x1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和為x1.075元，第十年付款為x元，而所購房余款的現(xiàn)價(jià)及其利息之和為[1 00092－(28 800＋14 400)]1.07510＝48 8001.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48 8001.07510(元)，,規(guī)律方法 求解此類問題應(yīng)先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，在建立等比數(shù)列模型后，運(yùn)算中往往要運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算等，要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，對于近似計(jì)算問題，答案要符合題設(shè)中實(shí)際問題的需要．,某家庭打算以一年定期的方式存款，計(jì)劃從2012年起，每年年初到銀行新存入a元，年利率p保持不變，并按復(fù)利計(jì)算，到2022年年初將所有存款和利息全部取出，共取回多少元？,【訓(xùn)練2】,解 從2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元，設(shè)第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，則有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p)．將之變形為,(本題滿分12分)假設(shè)某市2012年新建住房400萬 m2，其中有250萬 m2是中、低價(jià)房．預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上年增長8%.另外，每年新建住房中，中、低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬 m2.那么，到哪一年底， (1)該市歷年所建中、低價(jià)房的累計(jì)面積(以2012年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4 750萬 m2? (2)到哪年，當(dāng)年建造的中、低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%? 審題指導(dǎo) 第(1)問是等差數(shù)列求和問題；第(2)問由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出bn表達(dá)式，解不等式an0.85bn，求得n的最小正整數(shù)解．,【例3】,題型三 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,【解題流程】 [規(guī)范解答] (1)設(shè)中、低價(jià)房面積形成數(shù)列{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，,令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10.(4分) ∴到2021年底，該市歷年所建中、低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4 750萬 m2.(5分),(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列， 其中b1＝400，q＝1.08，則bn＝400(1.08)n－1，(8分) 由題意可知an0.85bn，有250＋(n－1)50400(1.08)n－10.85.(10分) 由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n＝6， ∴到2015年底，當(dāng)年建造的中、低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.(12分) 【題后反思】 解答等差、等比數(shù)列綜合應(yīng)用問題的關(guān)系是通過審題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識解決問題，因此在做題過程中必須明確建立的是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型，明確是求n，還是求an，或是求Sn.,據(jù)美國學(xué)者詹姆斯馬丁的測算，在近十年，人類知識總量已達(dá)到每三年翻一番，2020年甚至?xí)_(dá)到每73天翻一番的空前速度．因此，基礎(chǔ)教育的任務(wù)已不是教會一個(gè)人一切知識，而是讓一個(gè)人學(xué)會學(xué)習(xí)．已知2000年底，人類知識總量為a，假如從2000年底到2009年底是每三年翻一番，從2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．試回答： (1)2009年底人類知識總量是多少？ (2)2019年底人類知識總量是多少？ (3)2020年按365天計(jì)算，2020年底人類知識總量是多少？,【訓(xùn)練3】,解 由于翻一番是在原來的基礎(chǔ)上乘以2，翻兩番是在原來的基礎(chǔ)上乘以22，…，翻n番是在原來的基礎(chǔ)上乘以2n.于是 (1)從2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基礎(chǔ)上，2009年底人類知識總量為23a＝8a. (2)從2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人類知識總量為8a210＝8 192a. (3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天計(jì)算，共翻五番，所以2020年底人類知識總量為8 192a25＝262 144a.,要在一段公路上每隔100米豎一塊路程牌，共需豎60塊路程牌，并依次將它們編號為1,2,3，…，60，為完成豎牌的任務(wù)，要求先用一輛汽車把60塊路程牌全部集中到n(1≤n≤60， n∈N＋)號牌處，再由一個(gè)工人從n號牌處出發(fā)，用自行車每次運(yùn)一塊路程牌到規(guī)定地點(diǎn)豎牌，n應(yīng)取多少時(shí)，才能使工人豎牌時(shí)所行的路程最少？最少路程是多少？ [錯(cuò)解] 找不到解決問題的思路．,誤區(qū)警示 找不到應(yīng)用題對應(yīng)的數(shù)列模型而致錯(cuò),【示例】,樹立解應(yīng)用題的自信心，應(yīng)用所學(xué)知識進(jìn)行解決．本例運(yùn)用數(shù)列的知識求出從n號到每一號所行路程，它們分別組成兩個(gè)等差數(shù)列，之后運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出所行的路程，再用二次函數(shù)的有關(guān)知識計(jì)算出最少路程．,[正解] 路程牌集中到n號牌處時(shí)，該工人所行路程為Sn＝2100(n－1)＋2100(n－2)＋…＋21001＋21001＋21002＋…＋2100(60－n) ＝200[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋2＋…＋(60－n)],因?yàn)閚∈N＋，所以當(dāng)n＝30或n＝31時(shí)，(Sn)最?。?00(302－6130＋1 830)＝180 000(米)． 即n取30或31時(shí)，才能使工人豎牌時(shí)所行的路程最少，最少路程是180 000米．,一般地，解決數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題首先要讀懂題意，分析題中條件，理順其中的數(shù)量關(guān)系；其次要將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)字語言，建立數(shù)列模型(建立模型時(shí)注意運(yùn)用推理、歸納等方法)；然后求解數(shù)列模型，得出相關(guān)結(jié)論；最后將結(jié)論還原到實(shí)際問題中．,