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2019-2020年高考數(shù)學 中等生百日捷進提升系列 專題04 三角函數(shù)（含解析） 【背一背重點知識】 1.的圖像變換后得到的圖像，可通過“先平移后伸縮”和“先伸縮后平移”兩種途徑得到，一定要注意順序，平移時兩種平移的單位長度不同. 2.對于左右平移時，要記住相對軸而言，一定要在的基礎(chǔ)上進行加減. 3.確定三角函數(shù)解析式，主要有如下結(jié)論：由特殊點（優(yōu)先選最值點）確定. 【講一講提高技能】 1.必備技能：三角函數(shù)的圖像變換時常用到逆推的思想，“左正右負”口訣適用對象是函數(shù)中的周期的確定較靈活，如相鄰最大值點與最小值點之間相差半個周期. 2.典型例題： 例1如圖是函數(shù)的圖象的一部分,則=（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由正弦函數(shù)的對稱性和圖象可知：，即，所以 ，故選D． 例2將函數(shù)的圖象向右平移個單位后,所得圖象對應(yīng)的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：將函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得函數(shù)為＝，故選C． 【練一練提升能力】 1.若動直線與函數(shù)的圖象分別交于兩點，則的最大值為 ． 【答案】2 2.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象 A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 【答案】A 【解析】 三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性和周期性 【背一背重點知識】 1.“五點作圖法”揭示了研究三角函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性和周期性等性質(zhì)的方法. 2.求三角函數(shù)的單調(diào)性時首先要熟練掌握基本三角函數(shù)性質(zhì)，對較復雜的三角函數(shù)要會將處理后的整體當做一個角，再利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性來求. 3.正余弦函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，正切函數(shù)的圖像只是中心對稱圖形，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 【講一講提高技能】 1.必備技能：整體思想和等價轉(zhuǎn)化是研究三角函數(shù)性質(zhì)必備思想方法.首先將研究的對象化為形如，或或，再將看做一個角，這樣就等價轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)，以下套用基本三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)即可. 2.典型例題： 例1設(shè)函數(shù)的圖象為，下面結(jié)論中正確的是（ ） A．函數(shù)的最小正周期是 B．圖象關(guān)于點對稱 C．圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到 D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) 【答案】B 【解析】 例2已知函數(shù)． ( I ) 求函數(shù)的最小正周期； (Ⅱ) 當時，求函數(shù)的最大值及取得最大值時的值． 【答案】( I ) ; (Ⅱ) 當時，即時，所以有最大值. 【解析】 試題分析：( I ) 首先利用三角函數(shù)二倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)公式將函數(shù) 的解析式化成只含一個角的三角函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求它的最小正周期; (Ⅱ) (II)由（I）得：，利用求出的范圍，進而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值及取得最大值時的值． 試題解析：解：（Ⅰ）因為 ………… 5分 所以 ，故的最小正周期為.　　 ………… 7分 （Ⅱ）因為 ， 所以． …………9分 當時，即時， …………11分 所以有最大值. …………13分 【練一練提升能力】 1.已知函數(shù) （Ⅰ）求最小正周期； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）在上的最大值為，最小值為0． 【解析】 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 當時， ； 所以當，即時， 取的最大值， 當，即時， 取的最小值0． 所以， 在上的最大值為，最小值為0． 2.若函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對稱，則θ = ． 【答案】 【解析】研究三角函數(shù)的對稱性，可從圖像理解.因為三角函數(shù)的對稱軸經(jīng)過最值點，所以當時，取最值，即，又所以 三角函數(shù)式的化簡與求值 【背一背重點知識】 1.給角求值的關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù). 2.給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異，代入或變換，從而達到解題目的. 3.給值求角的關(guān)鍵是先求出該角的某一三角函數(shù)的值，其次判斷該角對應(yīng)的區(qū)間，從而達到解題目的. 【講一講提高技能】 1.必備技能：靈活運用“倍角”的相對關(guān)系，善于采用切弦互化、升冪降次、常值代換、化異為同等手段進行有效轉(zhuǎn)化. 2.典型例題： 例1角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則的值是 ． 【答案】 【解析】 試題分析：∵角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點， ∴，. 例2已知，，則的值為 ． 【答案】3 【解析】 試題分析： 【練一練提升能力】 1.已知，，則= ． 【答案】 【解析】由，得 從而所以 2.為銳角，若，則________． 【答案】 【解析】 正弦定理與余弦定理 【背一背重點知識】 1.正余弦定理及面積公式 2.正余弦定理的選用，一般為已知兩角時，選用正弦定理，已知一角求邊時，選用余弦定理 3.判定三角形形狀時，有兩種途徑，一是化邊，二是化角. 【講一講提高技能】 1.必備技能：一是方程思想的運用，余弦定理中隱含代數(shù)關(guān)系式：，這可和數(shù)列、基本不等式等綜合應(yīng)用，二是等價轉(zhuǎn)化的意識，三角形中內(nèi)角和為，且各內(nèi)角為正角，這一限制條件會影響三角函數(shù)值的取法，進而影響三角函數(shù)的性質(zhì). 2.典型例題： 例1在中為內(nèi)角的對邊，且． （1）求的大?。? （2）若，試判斷的形狀． 【答案】（1）；（2）等腰三角形． 【解析】 （2）由（1）根據(jù)正弦定理得， 即①，又∵②，聯(lián)立①，②， 得， 又∵，∴，∴， 故是等腰三角形． 例2如圖所示，在四邊形中，，且. （Ⅰ）求△的面積； （Ⅱ）若，求的長. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ） 【解析】 所以 △的面積. ……………… 7分 （Ⅱ）在△中，. 所以 . ……………… 9分 因為 ，， ……………… 11分 所以 . 所以 . ……………… 13分 【練一練提升能力】 1.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且滿足． （1）求角的大??； （2）求的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （2）解法1：由余弦定理得， 由正弦定理得，所以 當且僅當時，取得最大值． 解法2： ,當即時取得最大值． 2.在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且 （1）求角； （2）若，求面積S的最大值. 【答案】（1）；（2）. （一） 選擇題（12*5=60分） 1. 已知，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：因為，，可得出，則，，所以，故正確選項為A. 2.函數(shù)，的圖象上所有點向左平移個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，則所得圖象對應(yīng)解析式為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 3. 已知且，則 （ ） A． B． C． D．不能確定 【答案】B 【解析】 試題分析：因為，又，所以，所以，故選B． 4.已知，，且，，則的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 5.已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R)，給出下面四個命題： ①函數(shù)f(x)的最小正周期為π；②函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱；④函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)．其中正確命題的個數(shù)是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】函數(shù)f(x)＝sin＝－cos 2x，則其最小正周期為π，故①正確；易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，②正確；由f(x)＝－cos 2x的圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝對稱，③錯誤；由f(x)的圖象易知函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，故④正確．綜上可知，選C. 6.在中，分別為角A,B,C的對邊），則為（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】 試題分析：，即，所以，即，又 ，， ，所以為直角三角形，故選B． 7. 函數(shù)y＝2cos x(sin x＋cos x)的最大值和最小正周期分別是(　　)． A．2，π B.＋1，π C．2,2π D. ＋1,2π 【答案】B 【解析】y＝2cos xsin x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，所以當2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)時取得最大值＋1，最小正周期T＝＝π. 8.在中，、、的對邊分別為、、，且，，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 9. 已知f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)的表達式為 (　　)． A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin 【答案】B 【解析】由函數(shù)的部分圖象可知T＝－，則T＝，結(jié)合選項知ω>0，故ω＝＝，排除選項C，D；又因為函數(shù)圖象過點，代入驗證可知只有選項B滿足條件． 10. 已知函數(shù)，且是它的最大值，（其中、為常數(shù)且） 給出下列命題： ①是偶函數(shù)； ②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱； ③是函數(shù)的最小值； ④． 其中真命題有（ ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．②④ 【答案】D 【解析】 11. 在中，，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 12.要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、 乙兩觀測點，在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得電視塔與甲地連 線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是(　　)． A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m 【答案】D 【解析】由題意畫出示意圖，設(shè)塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h500，解得h＝500(m)． （二） 填空題（4*5=20分） 13. 已知，，則的值為 . 【答案】 【解析】 試題分析：∵，∴，，∴，∴，∴．故答案為：． .14. 如圖，在水平地面上有兩座直立的相距60 m的鐵塔和.已知從塔的底部看塔頂部的仰角是從塔的底部看塔頂部的仰角的2倍，從兩塔底部連線中點分別看兩塔頂部的仰角互為余角.則從塔的底部看塔頂部的仰角的正切值為 ；塔的高為 m. 第14題圖 【答案】 【解析】 15.函數(shù)的最小正周期T為_______． 【答案】 【解析】 試題分析： 所以函數(shù)的最小正周期 16. 圓O的半徑為1，P為圓周上一點，現(xiàn)將如圖裝置的邊長為1的正方形（實線所示，正方形的頂點A與點P重合）沿圓周順時針滾動，經(jīng)過若干次滾動，點A第一次回到點P的位置，則點A走過的路徑的長度為____________. 【答案】 【解析】 .