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第十二章全等三角形單元測試 一、單選題（共10題；共30分） 1、如圖，將兩根鋼條AA′、BB′的中點O連在一起，使AA′、BB′可以繞著點O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件，由三角形全等得出A′B′的長等于內(nèi)槽寬AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（　?。? A、邊角邊 B、角邊角 C、邊邊邊 D、角角邊 2、如圖所示，八年級某同學(xué)書上的圖形（三角形）不小心被墨跡污染了一部分，但他很快就根據(jù)所學(xué)知識，畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形全等的依據(jù)是（ ） A、SSS　　 B、SAS 　　 C、AAS　　 D、ASA 3、如圖所示，，，，有下列結(jié)論①；②；③；④；其中正確的有（ ） A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 4、△ABC是一個任意三角形，用直尺和圓規(guī)作出∠A、∠B的平分線，如果兩條平分線交于點O，那么下列選項中不正確的是（　?。? A、點O一定在△ABC的內(nèi)部 B、∠C的平分線一定經(jīng)過點O C、點O到△ABC的三邊距離一定相等 D、點O到△ABC三頂點的距離一定相等 5、下列說法不正確的是（　　） A、如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同 B、圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān) C、全等圖形的面積相等，面積相等的兩個圖形是全等圖形 D、全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等 6、如圖，AC平分∠DAB，AD=AC=AB，如下四個結(jié)論：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形，正確的結(jié)論有（　?。? A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 7、如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20，AB上一點D使AD=BC，過點D作DE∥BC且DE=AB，連接EC，則∠DCE的度數(shù)為（　?。? A、80 B、70 C、60 D、45 8、在下列條件下，不能判定△ABC≌△AB′C′（ ） A、∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′ B、∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′ C、∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=A′C′ D、BA=B′A′，BC=B′C′，AC=A′C′ 9、如圖：△ABC中，AC=BC，∠C=90，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AC=6cm，則DE+BD等于（ ） A、5cm B、4cm C、6cm D、7cm 10、如圖，△ABC≌△CDA，若AB=3，BC=4，則四邊形ABCD的周長是（ ） A、14 B、11 C、16 D、12 二、填空題（共8題；共24分） 11、如圖，已知BD=AC，那么添加一個　________　條件后，能得到△ABC≌△BAD（只填一個即可）． 12、如圖，在Rt△ABC中，∠A=90，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=2，BC=9，則△BDC的面積是________ 13、如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90，AD=CD，DP⊥AB于點P，若四邊形ABCD的面積是9，則DP的長是________． 14、如圖，AB=AD，只需添加一個條件________，就可以判定△ABC≌△ADE． 15、如圖，AE∥DF，AB=DC，不再添加輔助線和字母，要使△EAC≌△FDB，需添加的一個條件是________（只寫一個條件即可） 16、如圖，點B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可補(bǔ)充的一個條件是：________．（答案不唯一，寫一個即可） 17、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，分別過點B，C作過點A的直線的垂線BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，則DE=________cm． 18、如圖，在△ABC中，∠C=90，AB=12，AD是△ABC的一條角平分線．若CD=4，則△ABD的面積為________． 三、解答題（共5題；共35分） 19、（2015?重慶）如圖，在△ABD和△FEC中，點B，C，D，E在同一直線上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求證：∠ADB=∠FCE． 20、尺規(guī)作圖：畫出線段AB的垂直平分線（不寫作法，保留作圖痕跡） ? 21、如圖，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45，點P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為D，E，已知DC=2，求BE的長． 22、如圖，△ABC中，∠C=90，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，點F在AC上，BD=DF，求證：CF=BE． 23、如圖，BE=AD，AB=BC，BP為一條射線，AD⊥BP，CE⊥PB，若EC=5．求DB的長． 四、綜合題（共1題；共10分） 24、如圖，在△ABC中，∠ABC=90，AB=CB，點E在邊BC上，點F在邊AB的延長線上，BE=BF． (1)求證：△ABE≌△CBF；(2)若∠CAE=30，求∠ACF的度數(shù)．  答案解析 一、單選題 1、【答案】 A 【考點】全等三角形的判定 【解析】【解答】△OAB與△OA′B′中， ∵AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O， ∴△OAB≌△OA′B′（SAS)． 故選A． 【分析】由于已知O是AA′、BB′的中點O，再加對頂角相等即可證明△OAB≌△OA′B′，所以全等理由就可以知道了． 2、【答案】 D 【考點】全等三角形的應(yīng)用 【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可． 【解答】可以利用“角邊角”畫出一個與書上完全一樣的三角形． 故選D． 【點評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵． 3、【答案】 C 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【分析】由，，可證得，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)依次分析各小題即可。 【解答】∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ 正確的有①③④共3個，故選C。 【點評】全等三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.。 4、【答案】D 【考點】角平分線的性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵三角形角平分線的性質(zhì)為：三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)部且相交于一點，到三角形三條邊的距離相等， ∴A、B、C三個選項均正確，D選項錯誤． 故選D． 【分析】根據(jù)角平分線的定義與性質(zhì)即可判斷． 5、【答案】C 【考點】全等圖形 【解析】【解答】解：A．如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同，正確，不合題意； B．圖形全等，只與形狀、大小有關(guān)，而與它們的位置無關(guān)，正確，不合題意； C．全等圖形的面積相等，但是面積相等的兩個圖形不一定是全等圖形，故此選項錯誤，符合題意； D．全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，正確，不合題意； 故選：C． 【分析】直接利用全等圖形的定義與性質(zhì)分別分析得出答案． 6、【答案】 B 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵AB=AC，AC=AD， ∴AB=AD ∵AC平分∠DAB ∴AC⊥BD，BE=DE，①正確； ∴DC=CB， ∵DC＞DE， ∴BC＞DE，②錯誤； D、C、B可看作是以點A為圓心的圓上， 根據(jù)圓周角定理，得∠DBC=∠DAC，③正確； 當(dāng)△ABC是正三角形時，∠CAB=60 那么∠DAB=120， 故④是不一定成立的，所以錯誤． 正確的有2個． 故選：B． 【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出①正確；由線段垂直平分線的性質(zhì)得出②錯誤；由圓周角定理得出③正確；由正三角形的性質(zhì)得出④錯誤，即可得出結(jié)論． 7、【答案】 B 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【解答】解：如圖所示，連接AE． ∵AE=DE， ∴∠ADE=∠DAE， ∵DE∥BC， ∴∠DAE=∠ADE=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=20， ∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80， 在△ADE與△CBA中， ， ∴△ADE≌△CBA（ASA）， ∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20， ∵∠CAE=∠DAE﹣∠BAC=80﹣20=60， ∴△ACE是等邊三角形， ∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60， ∴△DCE是等腰三角形， ∴∠CDE=∠DCE， ∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED=40， ∴∠DCE=∠CDE=（180﹣40）2=70． 故選B． 【分析】連接AE．根據(jù)ASA可證△ADE≌△CBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20，根據(jù)等邊三角形的判定可得△ACE是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角的和差關(guān)系即可求解． 8、【答案】 A 【考點】全等三角形的判定 【解析】【解答】解：A、若AB=AB，BC=BC，∠B=∠B，根據(jù)SAS推出△ABC≌△AB′C′，故本選項正確； B、根據(jù)ASA即可推出△ABC≌△AB′C′，故本選項錯誤； C、根據(jù)AAS即可推出△ABC≌△AB′C′，故本選項錯誤； D、根據(jù)SSS即可推出△ABC≌△AB′C′，故本選項錯誤． 故選A． 【分析】關(guān)鍵全等三角形的判定SSS，AAS，ASA，SAS判斷即可． 9、【答案】 C 【考點】角平分線的性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵∠C=90，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB， ∴CD=DE， ∴DE+BD=CD+BD=BC， ∵AC=BC， ∴DE+BD=AC=6cm． 故選C． 【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD=DE，然后求出DE+BD=AC． 10、【答案】 A 【考點】全等三角形的性質(zhì) 【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDA， ∴AB=CD，AD=BC， ∵AB=3，BC=4， ∴四邊形ABCD的周長AB+BC+CD+DA=3+3+4+4=14， 故選A 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=CD，AD=BC，進(jìn)而求出四邊形ABCD的周長． 二、填空題 11、【答案】BC=AD 【考點】全等三角形的判定 【解析】【解答】解：添加BC=AD， ∵在△ABC和△BAD中 ? ∴△ABC≌△BAD（SSS）， 故答案為：BC=AD． 　【分析】添加BC=AD可利用SSS定理判定△ABC≌△BAD． 12、【答案】 9 【考點】角平分線的性質(zhì) 【解析】【解答】解：如圖，過點D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90，BD是∠ABC的平分線， ∴DE=AD=2， ∴△BDC的面積=BC?DE=92=9． 故答案為：9． 【分析】過點D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=AD，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解． 13、【答案】 3 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【解答】解：作DE⊥BC，交BC延長線于E，如圖， ∵DP⊥AB，ABC=90， ∴四邊形BEDP為矩形， ∴∠PDE=90，即∠CDE+∠PDC=90， ∵∠ADC=90，即∠ADP+∠PDC=90， ∴∠ADP=∠CDE， 在△ADP和△CDE中 ， ∴△ADP≌△CDE， ∴DP=DE，S△ADP=S△CDE ， ∴四邊形BEDP為正方形，S四邊形ABCD=S矩形BEDP ， ∴DP2=9， ∴DP=3． 故答案為3． 【分析】作DE⊥BC，交BC延長線于E，如圖，則四邊形BEDP為矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，則可利用“AAS”證明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE ， 所以四邊形BEDP為正方形，S四邊形ABCD=S矩形BEDP ， 根據(jù)正方形的面積公式得到DP2=9，易得DP=3． 14、【答案】 ∠B=∠D 【考點】全等三角形的判定 【解析】【解答】解：添加條件∠B=∠D， ∵在△ABC和△ADE中 ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， 故答案為：∠B=∠D． 【分析】添加條件∠B=∠D，再由條件∠A=∠A，AB=AD，可利用ASA定理證明△ABC≌△ADE，答案不惟一． 15、【答案】 ∠E=∠F或AE=DF 【考點】全等三角形的判定 【解析】【解答】解：添加∠E=∠F，理由如下： ∵AE∥FD， ∴∠A=∠D， ∵AB=CD， ∴AC=BD， 在△AEC和△DFB中， ， ∴△EAC≌△FDB（ASA）． 故答案是：∠E=∠F． 當(dāng)添加AE=DF時，利用SAS即可證得． 故答案是：∠E=∠F或AE=DF． 【分析】添加條件AB=CD可證明AC=BD，然后再根據(jù)AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用ASA定理證明△EAC≌△FDB即可，或AE=DF利用SAS定理證明△EAC≌△FDB． 16、【答案】∠CBE=∠DBE 【考點】全等三角形的判定 【解析】【解答】解：根據(jù)判定方法，可填A(yù)C=AD（SAS）；或∠CBA=∠DBA（ASA）；或∠C=∠D（AAS）；∠CBE=∠DBE（ASA）． 【分析】△ABC和△ABD已經(jīng)滿足一條邊相等（公共邊AB）和一對對應(yīng)角相等（∠CAB=∠DAB），只要再添加一邊（SAS）或一角（ASA、AAS）即可得出結(jié)論． 17、【答案】 7 【考點】全等三角形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ADB=∠AEC=90 ∴∠BAD+∠EAC=90，∠BAD+∠B=90 ∴∠EAC=∠B ∵AB=AC ∴△ABD≌△ACE（AAS） ∴AD=CE，BD=AE ∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm． 故填7． 【分析】用AAS證明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm． 18、【答案】24 【考點】角平分線的性質(zhì) 【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵AD是△ABC的一條角平分線，∠C=90，DE⊥AB，CD=4， ∴DE=CD=4， ∴△ABD的面積= ABDE=24， 故答案為：24． 【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=CD=4，根據(jù)三角形的面積公式計算即可． 三、解答題 19、【答案】 證明：∵BC=DE， ∴BC+CD=DE+CD， 即BD=CE， 在△ABD與△FEC中， ， ∴△ABD≌△FEC（SAS）， ∴∠ADB=∠FCE． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出BD=CE，再利用SAS得出：△ABD與△FEC全等，進(jìn)而得出∠ADB=∠FCE． 20、【答案】解：如圖所示：EF即為所求． ? 【考點】作圖—基本作圖 【解析】【分析】利用線段的垂直平分線的作法得出符合題意的圖形即可． 21、【答案】解：∵∠ABC=∠BAC=45， ∴∠ACB=90，AC=BC， ∵∠DAC+∠ACD=90，∠BCE+∠ACD=90， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ACD和△CEB中， ? ∴△ACD≌△CEB（AAS）， ∴BE=CD=2． 【考點】直角三角形全等的判定 【解析】【分析】已知了CD的長，求BE的長，可通過證明三角形BEC和ACD全等來得出．這兩個三角形中已知的條件只有一組直角，根據(jù)∠ABC=∠BAC=45，因此∠ACB=90，AC=BC，我們發(fā)現(xiàn)∠DAC和∠BCE同為∠ACD的余角，因此∠DAC=∠BCE，這樣就構(gòu)成了三角形ACD和BCE全等的條件，兩三角形全等．這樣就能求出BE、CD的關(guān)系就能得出BE的長． 22、【答案】 證明：∵∠C=90， ∴DC⊥AC． ∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB， ∴DC=DE． 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）， ∴CF=EB． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì) 【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得出DC=DE，由HL證明△DCF≌△DEB，得出對應(yīng)邊相等即可． 23、【答案】解：∵AD⊥BP，CE⊥PB， ∴∠ADB=∠BEC=90， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（HL）， ∴DB=EC=5 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【分析】根據(jù)垂直的定義可得∠ADB=∠BEC=90，再根據(jù)同角的余角相等求出∠A=∠CBE，然后利用“HL”證明△ABD和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DB=EC． 四、綜合題 24、【答案】 （1）證明：∵∠ABC=90， ∴∠ABC=∠CBF=90． 在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF（SAS） （2）解：∵△ABE≌△CBF， ∴∠BAE=∠BCF． ∵∠ABC=90，AB=CB， ∴∠BCA=∠BAC=45． ∵∠CAE=30， ∴∠BAE=15， ∴∠BCF=15． ∵∠ACF=∠BCF+∠ACB， ∴∠ACF=15+45=60． 答：∠ACF的度數(shù)為60 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì) 【解析】【分析】（1）由∠ABC=90就可以求出∠CBF=90，由SAS就可以得出△ABE≌△CBF；（2）由∠CAE=30就可以求出∠BAE=15，就可以得出∠BCF=15，由條件可以求出∠ACB=45，進(jìn)而可以求出∠ACF的度數(shù)．