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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第四講概率與統(tǒng)計(jì) 第三節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 文 近幾年高考中，概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用題多出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔和中檔偏易為多，難度值在0.5～0.8.命題形式以學(xué)生生活實(shí)踐為背景材料進(jìn)行考查. 考試要求：（1）以大綱為準(zhǔn)則，考查相關(guān)概率在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；（2）理解各種統(tǒng)計(jì)方法；（3）會(huì)分析樣本數(shù)據(jù)，并會(huì)求數(shù)據(jù)的特征數(shù)字（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差）；（4）會(huì)用正確的算法求解概率統(tǒng)計(jì)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯（如三角函數(shù)、框圖、算法、幾何等）問(wèn)題. 題型一 隨機(jī)抽樣方法及其應(yīng)用 例1 （1）用系統(tǒng)抽樣方法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1—160編號(hào)，按編號(hào)順序平均分成20組（1—8號(hào)，9—16號(hào)，…，153—160號(hào)），若第16組抽出的號(hào)碼是126，則第1組用抽簽方法確定的號(hào)碼是 . 50% 20% 30% 40—50歲 40歲以下 50歲以上 圖 點(diǎn)撥：本題考查隨機(jī)抽樣的系統(tǒng)抽樣.三種抽樣方法均為等概率抽樣，系統(tǒng)抽樣是按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取第一個(gè)樣本，再按相同的間隔抽取其他樣本，即抽取號(hào)碼成等差數(shù)列.公式為為間隔長(zhǎng)，為組數(shù)，為第一個(gè)樣本號(hào). 解： 易錯(cuò)點(diǎn)：式中的第幾組的組號(hào)應(yīng)減“1”. 變式與引申1：⑴某單位200名職工的年齡分布情況 如圖所示，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全 體職工隨機(jī)按1－200編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分 為40組（1－5號(hào)，6－10號(hào)，…，196－200號(hào)）. 若第5組抽出的號(hào)碼為22，則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)是 .若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取 人. ⑵從xx名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣從xx人中剔除4人，剩下的xx人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的概率（ ） A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等且為 D. 都相等且為 視力 0.3 0.1 圖 題型二 分析樣本數(shù)據(jù)，并求數(shù)據(jù)的特征數(shù)字（如平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差） 例2 為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名 高三學(xué)生的視力情況，得到頻率直方圖如圖所示，由于 不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組 的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為，視力在4.6到5.0之間的 學(xué)生數(shù)為，求的值. 點(diǎn)撥：（1）此題數(shù)據(jù)是以圖形給出，注意觀察圖中數(shù)據(jù)及變化 情況；（2）看清圖中橫、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義；（3）結(jié)合等差與等比 數(shù)列知識(shí)，本題有一定的綜合性. 解：組距=0.1，~的頻數(shù)，~的頻數(shù). 前4組頻數(shù)成等比數(shù)列，~的頻數(shù)，~的頻數(shù). 又后6組頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，， ，從而~的頻數(shù). . 易錯(cuò)點(diǎn)：要注意1頻數(shù)=樣本容量；2區(qū)別頻數(shù)與頻率，審清題意. 變式與引申2：如圖，樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分 A. B. C. D. 題型三 概率與統(tǒng)計(jì)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)交匯（如三角函數(shù)、框圖算法、幾何等） 例3 如下圖是某公司金融危機(jī)時(shí)員工的月工資條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形表示的員工人數(shù)依次記為（如表示工資為內(nèi)的人數(shù)，（單位：元））. 圖是統(tǒng)計(jì)圖中工資在一定范圍內(nèi)員工人數(shù)的一個(gè)算法流程圖?，F(xiàn)要 統(tǒng)計(jì)月工資在元（含元，不含元）的員工人數(shù)， 那么在流程圖中 的判斷框內(nèi)應(yīng)填 2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 2800 2850 2900 2950 人數(shù)/人 工資/元 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 圖 圖 輸入,,, 否 是 開(kāi)始 寫的條件是（ ） A. B. C. D. 點(diǎn)撥：（1） 要認(rèn)真讀題，明 確每個(gè)變量表示 的實(shí)際意義；（2） 可以把選項(xiàng)逐一 放入判斷框理解. 解：現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)的是月工資在元之間的員工人數(shù)，即是要計(jì)算的和，所以流程圖中空白框應(yīng)是，當(dāng)時(shí)就會(huì)返回進(jìn)行疊加運(yùn)算，當(dāng)將數(shù)據(jù)直接輸出，不再進(jìn)行任何的返回疊加運(yùn)算，此時(shí)已把數(shù)據(jù)疊加起來(lái)送到中輸出，故選B. 易錯(cuò)點(diǎn)：本題在統(tǒng)計(jì)中的條形圖與算法流程圖的交匯處命題，有一定的綜合性，若不認(rèn)真讀圖和審題容易出錯(cuò). 變式與引申3：某班班主任為了解班上女生的月消費(fèi)情況， 隨機(jī)抽查了5名本班女生，她們近兩周的消費(fèi)金額如下表所示： 女 生 1 2 3 4 5 消費(fèi)金額 圖是統(tǒng)計(jì)該5名女生近兩周消費(fèi)金額總數(shù)的程序框圖，則 判斷框中應(yīng)填 , . 題型四 線性回歸方程與相關(guān)系數(shù)實(shí)際應(yīng)用 例4某地戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表： 年收入（萬(wàn)元） 年飲食支出（萬(wàn)元） （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系； （2）如果某家庭年收入為萬(wàn)元，預(yù)測(cè)其年飲食支出． 點(diǎn)撥：通過(guò)所給數(shù)據(jù)，判斷變量間的線性關(guān)系；若線性相關(guān)，用最小二乘思想求出線性回歸方程. 解：（1）由題意知，年收入為解釋變量，年飲食支出為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖（如圖所示）． 從圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，年收入和年飲食支出有比較好的 線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系． 答圖 ，，，，， ，． 從而得到回歸直線方程為． （2）萬(wàn)元． 易錯(cuò)點(diǎn)：此題對(duì)計(jì)算能力的要求較高，若計(jì)算不慎，失分很嚴(yán)重. 變式與引申4：（1）（xx年高考山東卷。文）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表 廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元） 4 2 3 5 銷售額y（萬(wàn)元） 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程中的為9．4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為 A．63．6萬(wàn)元 B．65．5萬(wàn)元 C．67．7萬(wàn)元 D．72．0萬(wàn)元 （2）某企業(yè)上半年產(chǎn)品的產(chǎn)量與單位成本資料如下： 月 份 1 2 3 4 產(chǎn)量（千件） 2 3 4 3 單位成本（元） 73 72 71 73 ① 求線性回歸方程； ② 指出產(chǎn)量每增加1000件時(shí)，單位成本平均變動(dòng)多少？ ③ 假定產(chǎn)量為6000件時(shí)，單位成本為多少元？ 本節(jié)主要考查：（1）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法及其應(yīng)用；考查在應(yīng)用問(wèn)題中構(gòu)造抽樣模型，識(shí)別模型，收集數(shù)據(jù)等能力和方法.（2）用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想，以考查頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差為主，用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，了解一些基本的統(tǒng)計(jì)思想.（3）作兩個(gè)相關(guān)變量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量的線性相關(guān)性，了解最小二乘法的思想，會(huì)求給出公式下的相關(guān)系數(shù)及線性回歸方程；考查看圖、作圖和運(yùn)算求解等基本數(shù)學(xué)能力.（4）利用古典概型解決統(tǒng)計(jì)中的某些問(wèn)題. 點(diǎn)評(píng)：（1）概率與統(tǒng)計(jì)中的部分內(nèi)容是實(shí)施新課標(biāo)后新增內(nèi)容，也是高考考點(diǎn)之一.主要考查隨機(jī)抽樣方法的應(yīng)用（如例1），數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（如例2，習(xí)題2、3），概率統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)（算法、不等式）綜合應(yīng)用（如例3，習(xí)題5）相關(guān)系數(shù)與線性回歸及獨(dú)立性檢驗(yàn)（如例4）.（2）在隨機(jī)抽樣中，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣都是等概率抽樣，但這三種方法適用范圍各不相同，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣適用于總體個(gè)數(shù)較少的，系統(tǒng)抽樣適用于總體個(gè)數(shù)較多的，而分層抽樣適用于總體由差異比較明顯的幾部分組成的.（3）平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)的波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的分散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的分散程度越小，越穩(wěn)定.（4）求回歸方程時(shí)，先判定變量的相關(guān)性，若變量不線性相關(guān)，求出回歸方程也毫無(wú)意義.（5）概率與統(tǒng)計(jì)實(shí)際應(yīng)用中，很多數(shù)據(jù)都是圖、表的形式給出的，背景有考生共有的生活氣息.題目篇幅長(zhǎng)，要善于看圖、作圖、理解圖所傳遞的信息，對(duì)數(shù)據(jù)的精確處理要求有較強(qiáng)的計(jì)算能力. 習(xí)題4-3 1．某中學(xué)有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生302人，高三學(xué)生250人，現(xiàn)在按年級(jí)分層抽樣方法從所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為190人得到樣本，應(yīng)該剔除 人，每個(gè)年級(jí)依次應(yīng)抽取 人. 丙的成績(jī) 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 4 6 6 4 甲的成績(jī) 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 5 5 5 5 2．甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射箭20次，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚? 乙的成績(jī) 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 6 4 4 6 分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（　　） A. B. C. D. 3．若這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為方差為0.20，則數(shù)據(jù)，這21個(gè)數(shù)據(jù)的方差是 . 4．某中學(xué)高一（2）班甲、乙兩名同學(xué)自高中以來(lái)每場(chǎng)數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下： 甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107； 乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. （Ⅰ）完成所附的莖葉圖； （Ⅱ）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？ （Ⅲ）通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)兩人的成績(jī)進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論. 5．有甲乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下列聯(lián)表，已知在全部105人中隨機(jī)抽取，抽到1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 乙班 30 合計(jì) 105 ① 請(qǐng)完成上面的22列聯(lián)表； ② 根據(jù)22列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”？ ③ 若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生抽取1人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取的序號(hào)。試求抽到6或10號(hào)的概率. 【答案】 又因A中數(shù)據(jù)均小于等于10，B中數(shù)據(jù)不小于10，所以. 法二：直接法.（略） 變式與引申3： 解： 變式與引申4： 解：（1）B. ，把故選B. （2）① 又 ②每增加1000件時(shí)，單位成本減少1元. ③單位成本為69.25元. 習(xí)題4-3 1. 2，80,60,50. 2. B. 解：觀察法.丙的環(huán)數(shù)集中在8環(huán)和9環(huán)，較穩(wěn)定，而乙的集中在7環(huán)和10環(huán)，不穩(wěn)定，甲的7、8、9、10環(huán)的次數(shù)各均等，故. 3. ，解：依題意有 , 即，的平均數(shù)也是 乙 甲 9 3 6 8 3 8 8 9 1 6 7 8 9 10 11 5 1 5 6 1 6 8 9 1 4 5 7 0 這21個(gè)數(shù)據(jù)的方差 4. 解：（Ⅰ）莖葉圖如右圖所示： （Ⅱ）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不僅可以看出數(shù)據(jù)的分布狀況，而且可以看出每組中的具體數(shù)據(jù). （Ⅲ）通過(guò)觀察莖葉圖，甲的成績(jī)主要集中在分，乙的成績(jī)主要集中在分，乙的成績(jī)相對(duì)較好。