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2015-2016學年湖北省十堰市丹江口市九年級（上）期中數(shù)學試卷 　 一、選擇題（每一道小題都給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項符合題目要求，把符合題目要求的選項的代號直接填在答題框內相應題號下的方框中，不填、填錯成一個方框內填寫的代號超過一個，一律得0分；共10小題，每小題3分，共30分） 1．已知關于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一個根是0，則m的值是（　?。? A．0 B．1 C．2 D．2或﹣2 　 2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列變形正確的是（　?。? A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19 　 3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不一定成立的是（　?。? A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC 　 4．下列一元二次方程有實數(shù)根的是（　?。? A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0 　 5．已知關于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（　?。? A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜1 　 6．觀察如下圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照次規(guī)律，第n的圖形中共有210個小棋子，則n等于（　?。? A．20 B．21 C．15 D．16 　 7．若點（﹣1，4），（3，4）是拋物線y=ax2+bx+c上的兩點，則此拋物線的對稱軸是（　?。? A．直線x=﹣ B．直線x=1 C．直線x=3 D．直線x=2 　 8．如圖，⊙C過原點O，且與兩坐標軸分別交于點A、B，點A的坐標為（0，4），點M是第三象限內上一點，∠BMO=120，則⊙O的半徑為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．2 　 9．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，∠ACB的平方線交⊙O于點D，若AB=10，AC=6，則CD的長為（　?。? A．7 B．7 C．8 D．8 　 10．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a的取值范圍為（　?。? A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜ 　 　 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 11．拋物線y=﹣（x+3）2+1的頂點坐標是　　　　　　． 　 12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，則的值為　　　　　?。? 　 13．已知關于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均為常數(shù)，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，則方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是　　　　　?。? 　 14．如圖，AB，AC是⊙O，D是CA延長線上的一點，AD=AB，∠BDC=25，則∠BOC=　　　　　　． 　 15．已知△ABC的三個頂點都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半徑等于10cm，圓心O到BC的距離為6cm，則AB的長等于　　　　　　． 　 16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，圖象與x軸交于A（x1，0）B（x2，0）兩點，點M（x0，y0）是圖象上另一點，且x0＞1．現(xiàn)有以下結論：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0． 其中正確的結論是　　　　　　．（只填寫正確結論的序號） 　 　 三、解答題（本大題共9小題，共72分） 17．解方程： （1）x2+2x﹣15=0 （2）3x（x﹣2）=（2﹣x） 　 18．已知拋物線的頂點是（4，2），且在x軸上截得的線段長為8，求此拋物線的解析式． 　 19．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知x2+mx+n=0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，求m2+n2的值． 　 20．為響應黨中央提出的“足球進校園”號召，我市在今年秋季確定了3所學校為我市秋季確定3所學校誒我市足球基地實驗學校，并在全市開展了中小學足球比賽，比賽采用單循環(huán)制，即組內每兩隊之間進行一場比賽，若初中組共進行45場比賽，問初中共有多少個隊參加比賽？ 　 21．如圖，在⊙O中， =，∠ACB=60． （1）求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）若D是的中點，求證：四邊形OADB是菱形． 　 22．已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根； （2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，且BC=8，當△ABC為等腰三角形時，求m的值． 　 23．如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E． （1）求證：CD是⊙O的切線； （2）若正方形ABCD的邊長為10，求⊙O的半徑． 　 24．某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元． （1）求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍； （2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？ （3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？ 　 25．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）． （1）求拋物線的解析式； （2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由； （3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標． 　 　  2015-2016學年湖北省十堰市丹江口市九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每一道小題都給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項符合題目要求，把符合題目要求的選項的代號直接填在答題框內相應題號下的方框中，不填、填錯成一個方框內填寫的代號超過一個，一律得0分；共10小題，每小題3分，共30分） 1．已知關于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一個根是0，則m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．2或﹣2 【考點】一元二次方程的解． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即把0代入方程求解可得m的值． 【解答】解：把x=0代入方程程x2+x+m2﹣4=0得到m2﹣4=0， 解得：m=2， 故選D． 【點評】本題考查的是一元二次方程解的定義．能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，同時，考查了一元二次方程的概念． 　 2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列變形正確的是（　?。? A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】計算題． 【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程左邊寫成完全平方形式即可． 【解答】解：x2﹣8x=﹣3， x2﹣8x+16=13， （x﹣4）2=13． 故選C． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法． 　 3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不一定成立的是（　?。? A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC 【考點】垂徑定理． 【分析】先根據(jù)垂徑定理得CM=DM，，，得出BC=BD，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACD=∠ADC，而OM與BM的關系不能判斷． 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB， ∴CM=DM，，， ∴BC=BD，∠ACD=∠ADC． 故選：B． 【點評】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關系定理，圓周角定理；熟練掌握垂徑定理，由垂徑定理得出相等的弧是解決問題的關鍵． 　 4．下列一元二次方程有實數(shù)根的是（　?。? A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0 【考點】根的判別式． 【分析】根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根判斷即可． 【解答】解：A、∵△=（﹣2）2﹣41（﹣2）＞0， ∴原方程有兩個不相等實數(shù)根； B、∵△=22﹣412＜0， ∴原方程無實數(shù)根； C、∵△=（﹣2）2﹣412＜0， ∴原方程無實數(shù)根； D、∵△=﹣412＜0， ∴原方程無實數(shù)根； 故選A． 【點評】此題考查了根的判別式與方程解的關系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2﹣4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2﹣4ac＜0時，方程無解． 　 5．已知關于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（　?。? A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜1 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)關于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，可得出判別式大于0，再求得k的取值范圍． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根， ∴△=4+4（k﹣2）＞0， 解得k＞﹣1， ∵k﹣2≠0， ∴k≠2， ∴k的取值范圍k＞﹣1且k≠2， 故選C． 【點評】本題考查了根的判別式，總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 6．觀察如下圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照次規(guī)律，第n的圖形中共有210個小棋子，則n等于（　?。? A．20 B．21 C．15 D．16 【考點】規(guī)律型：圖形的變化類． 【分析】由題意可知：排列組成的圖形都是三角形，第一個圖形中有1個小棋子，第二個圖形中有1+2=3個小棋子，第三個圖形中有1+2+3=6個小棋子，…由此得出第n個圖形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1），由此聯(lián)立方程求得n的數(shù)值即可． 【解答】解：∵第一個圖形中有1個小棋子， 第二個圖形中有1+2=3個小棋子， 第三個圖形中有1+2+3=6個小棋子， … ∴第n個圖形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1）， ∴n（n+1）=210， 解得：n=20． 故選：A． 【點評】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出點的排列規(guī)律，利用規(guī)律解決問題． 　 7．若點（﹣1，4），（3，4）是拋物線y=ax2+bx+c上的兩點，則此拋物線的對稱軸是（　?。? A．直線x=﹣ B．直線x=1 C．直線x=3 D．直線x=2 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 【分析】因為兩點的縱坐標都為4，所以可判此兩點是一對對稱點，利用公式x=求解即可． 【解答】解：∵兩點的縱坐標都為4， ∴此兩點是一對對稱點， ∴對稱軸x===1． 故選B． 【點評】本題考查了如何求二次函數(shù)的對稱軸，對于此類題目可以用公式法也可以將函數(shù)化為頂點式或用公式x=求解． 　 8．如圖，⊙C過原點O，且與兩坐標軸分別交于點A、B，點A的坐標為（0，4），點M是第三象限內上一點，∠BMO=120，則⊙O的半徑為（　　） A．4 B．5 C．6 D．2 【考點】圓內接四邊形的性質；含30度角的直角三角形；圓周角定理． 【分析】連接OC，由圓周角定理可知AB為⊙C的直徑，再根據(jù)∠BMO=120可求出∠BAO的度數(shù)，證明△AOC是等邊三角形，即可得出結果． 【解答】解：連接OC，如圖所示： ∵∠AOB=90， ∴AB為⊙C的直徑， ∵∠BMO=120， ∴∠BCO=120，∠BAO=60， ∵AC=OC，∠BAO=60， ∴△AOC是等邊三角形， ∴⊙C的半徑=OA=4． 故選：A． 【點評】本題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質、等邊三角形的判定與性質；熟練掌握圓內接四邊形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵． 　 9．如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點，∠ACB的平方線交⊙O于點D，若AB=10，AC=6，則CD的長為（　?。? A．7 B．7 C．8 D．8 【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質；勾股定理． 【分析】作DF⊥CA，交CA的延長線于點F，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB．由CD平分∠ACB，根據(jù)角平分線的性質得出DF=DG，由HL證明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD． 【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延長線上，作DG⊥CB于點G，連接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴DF=DG，弧AD=弧BD， ∴DA=DB． 在Rt△AFD和Rt△BGD中， ， ∴△AFD≌△BGD（HL）， ∴AF=BG． 在△CDF和△CDG中， ， ∴△CDF≌△CDG（AAS）， ∴CF=CG． ∵AC=6，AB=10， ∴BC==8， ∴AF=1， ∴CF=7， ∵△CDF是等腰直角三角形， ∴CD=7． 故選B． 【點評】本題主要考查了圓周角的性質，圓心角、弧、弦的對等關系，全等三角形的判定，角平分線的性質等知識點的運用．關鍵是正確作出輔助線． 　 10．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a的取值范圍為（　?。? A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜ C．0＜a＜ D．＜a＜ 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系． 【分析】根據(jù)開口判斷a的符號，根據(jù)y軸的交點判斷c的符號，根據(jù)對稱軸b用a表示出的代數(shù)式，進而根據(jù)當x=2時，得出4a+2b+c=0，用a表示c＞﹣1得出答案即可． 【解答】解：拋物線開口向上，a＞0 圖象過點（2，4），4a+2b+c=4 則c=4﹣4a﹣2b， 對稱軸x=﹣=﹣1，b=2a， 圖象與y軸的交點﹣1＜c＜0， 因此﹣1＜4﹣4a﹣4a＜0， 實數(shù)a的取值范圍是＜a＜． 故選：D． 【點評】此題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，對于函數(shù)圖象的描述能夠理解函數(shù)的解析式的特點，是解決本題的關鍵． 　 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 11．拋物線y=﹣（x+3）2+1的頂點坐標是　（﹣3，1）　． 【考點】二次函數(shù)的性質． 【分析】已知拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標． 【解答】解：∵拋物線y=﹣（x+3）2+1， ∴頂點坐標是（﹣3，1）． 故答案為：（﹣3，1）． 【點評】此題考查二次函數(shù)的性質，掌握頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h，是解決問題的關鍵． 　 12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，則的值為　﹣1或4　． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】把a2﹣3ab﹣4b2=0看作關于a的一元二次方程，利用因式分解法解得a=4b或a=﹣b，然后利用分式的性質計算的值． 【解答】解：（a﹣4b）（a+b）=0， a﹣4b=0或a+b=0， 所以a=4b或a=﹣b， 當a=4b時， =4； 當a=﹣b時， =﹣1， 所以的值為﹣1或4． 故答案為﹣1或4． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）． 　 13．已知關于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均為常數(shù)，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，則方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是　x1=﹣2，x2=3?。? 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】把后面一個方程中的x﹣1看作整體，相當于前面一個方程中的x，從而可得x﹣1=﹣3或x﹣1=2，再求解即可． 【解答】解：∵關于x的方程a（x+m）2+c=0的解是x1=﹣3，x2=2（a，m，c均為常數(shù)，a≠0）， ∴方程a（x+m﹣1）2+c=0變形為a[（x﹣1）+m]2+c=0，即此方程中x﹣1=﹣3或x﹣1=2， 解得x=﹣2或x=3． 故方程a（x+m﹣1）2+c=0的解為x1=﹣2，x2=3． 故答案是：x1=﹣2，x2=3． 【點評】此題主要考查了方程解的定義．注意由兩個方程的特點進行簡便計算． 　 14．如圖，AB，AC是⊙O，D是CA延長線上的一點，AD=AB，∠BDC=25，則∠BOC=　100?。? 【考點】圓周角定理． 【分析】由AD=AB，∠BDC=25，可求得∠ABD的度數(shù)，然后由三角形外角的性質，求得∠BAC的度數(shù)，又由圓周角定理，求得答案． 【解答】解：∵AD=AB，∠BDC=25， ∴∠ABD=∠BDC=25， ∴∠BAC=∠ABD+∠BDC=50， ∴∠BOC=2∠BAC=100． 故答案為：100． 【點評】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質．注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 　 15．已知△ABC的三個頂點都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半徑等于10cm，圓心O到BC的距離為6cm，則AB的長等于　8或4?。? 【考點】垂徑定理；等腰三角形的性質；勾股定理． 【專題】分類討論． 【分析】此題分情況考慮：當三角形的外心在三角形的內部時，根據(jù)勾股定理求得BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AB的長；當三角形的外心在三角形的外部時，根據(jù)勾股定理求得BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AB的長． 【解答】解：如圖1，當△ABC是銳角三角形時，連接AO并延長到BC于點D， ∵AB=AC，O為外心， ∴AD⊥BC， 在Rt△BOD中， ∵OB=10，OD=6， ∴BD===8． 在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB===8（cm）； 如圖2，當△ABC是鈍角或直角三角形時，連接AO交BC于點D， 在Rt△BOD中， ∵OB=10，OD=6， ∴BD===8， ∴AD=10﹣6=4， 在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB===4（cm）． 故答案為：8或4． 【點評】本題考查的是垂徑定理，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解． 　 16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，圖象與x軸交于A（x1，0）B（x2，0）兩點，點M（x0，y0）是圖象上另一點，且x0＞1．現(xiàn)有以下結論：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0． 其中正確的結論是?、佟ⅱ堋。ㄖ惶顚懻_結論的序號） 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系． 【專題】推理填空題；數(shù)形結合． 【分析】由拋物線的開口方向可確定a的符號，由拋物線的對稱軸相對于y軸的位置可得a與b之間的符號關系，由拋物線與y軸的交點位置可確定c的符號；根據(jù)拋物線的對稱軸與x=﹣1的大小關系可推出2a﹣b的符號；由于x=1時y=a+b+c，因而結合圖象，可根據(jù)x=1時y的符號來確定a+b+c的符號，根據(jù)a、x0﹣x1、x0﹣x2的符號可確定a（x0﹣x1）（x0﹣x2）的符號． 【解答】解：由拋物線的開口向下可得a＜0， 由拋物線的對稱軸在y軸的左邊可得x=﹣＜0，則a與b同號，因而b＜0， 由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上可得c＞0， ∴abc＞0，故①正確； 由拋物線的對稱軸x=﹣＞﹣1（a＜0），可得﹣b＜﹣2a，即b＞2a，故②錯誤； 由圖可知當x=1時y＜0，即a+b+c＜0，故③錯誤； ∵a＜0，x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故④正確． 綜上所述：①、④正確． 故答案為①、④． 【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，其中a決定于拋物線的開口方向，b決定于拋物線的開口方向及拋物線的對稱軸相對于y軸的位置，c決定于拋物線與y軸的交點位置，2a與b的大小決定于a的符號及﹣與﹣1的大小關系，運用數(shù)形結合的思想準確獲取相關信息是解決本題的關鍵． 　 三、解答題（本大題共9小題，共72分） 17．解方程： （1）x2+2x﹣15=0 （2）3x（x﹣2）=（2﹣x） 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先把方程變形得到3x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）（x+5）（x﹣3）=0， x+5=0或x﹣3=0， x+5=0或x﹣3=0， 所以x1=﹣5，x2=3； （2）3x（x﹣2）+（x﹣2）=0， （x﹣2）（3x+）=0， x﹣2=0或3x+=0， 所以x1=2，x2=﹣． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）． 　 18．已知拋物線的頂點是（4，2），且在x軸上截得的線段長為8，求此拋物線的解析式． 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的兩交點坐標為（0，0），（8，0），則可設交點式y(tǒng)=ax（x﹣8），然后把頂點坐標代入求出a即可． 【解答】解：根據(jù)題意得拋物線的對稱軸為直線x=4， 而拋物線在x軸上截得的線段長為8， 所以拋物線與x軸的兩交點坐標為（0，0），（8，0）， 設拋物線解析式為y=ax（x﹣8）， 把（4，2）代入得a?4?（﹣4）=2，解得a=﹣， 所以拋物線解析式為y=﹣x（x﹣8），即y=﹣x2+x． 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．本題的關鍵是利用對稱性確定拋物線與x軸的交點坐標． 　 19．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知x2+mx+n=0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，求m2+n2的值． 【考點】根的判別式；一元二次方程的解． 【專題】新定義． 【分析】根據(jù)x2+mx+n=0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，列出方程組，求出m，n的值，再代入計算即可． 【解答】解：根據(jù)題意得： 解得：， 則m2+n2=（﹣2）2+12=5． 【點評】本題考查了一元二次方程的解，根的判別式，關鍵是根據(jù)已知條件列出方程組，用到的知識點是一元二次方程根的情況與判別式△的關系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 20．為響應黨中央提出的“足球進校園”號召，我市在今年秋季確定了3所學校為我市秋季確定3所學校誒我市足球基地實驗學校，并在全市開展了中小學足球比賽，比賽采用單循環(huán)制，即組內每兩隊之間進行一場比賽，若初中組共進行45場比賽，問初中共有多少個隊參加比賽？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），每個小組x個球隊比賽總場數(shù)=x（x﹣1），由此可得出方程． 【解答】解：設初中組共有x個隊參加比賽，依題意列方程 x（x﹣1）=45， 解得：x1=10，x2=﹣19（不合題意，舍去）， 答：初中組共有10個隊參加比賽． 【點評】此題考查一元二次方程的實際運用，解決本題的關鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)與球隊之間的關系． 　 21．如圖，在⊙O中， =，∠ACB=60． （1）求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）若D是的中點，求證：四邊形OADB是菱形． 【考點】圓心角、弧、弦的關系；菱形的判定；圓周角定理． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關系，由=得AB=AC，加上∠ACB=60，則可判斷△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA，于是根據(jù)圓心角、弧、弦的關系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）連接OD，如圖，由D是的中點得=，則根據(jù)圓周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60，易得△OAD和△OBD都是等邊三角形，則OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以OA=AD=DB=BO，于是可判斷四邊形OADB是菱形． 【解答】證明：（1）∵=， ∴AB=AC， ∵∠ACB=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=CA， ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC； （2）連接OD，如圖， ∵D是的中點， ∴=， ∴∠AOD=∠BOD=∠ACB=60， 又∵OD=OA，OD=OB， ∴△OAD和△OBD都是等邊三角形， ∴OA=AD=OD，OB=BD=OD， ∴OA=AD=DB=BO， ∴四邊形OADB是菱形． 【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．也考查了菱形的判定、等邊三角形的判定與性質和圓周角定理． 　 22．已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根； （2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，且BC=8，當△ABC為等腰三角形時，求m的值． 【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關系；等腰三角形的性質． 【分析】（1）先根據(jù)題意求出△的值，再根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關系即可得出答案； （2）根據(jù)△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，設AB=x1=8，得出82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）=1＞0， ∴不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根． （2）由于無論m為何值，方程恒有兩個不等實根，故若要△ABC為等腰三角形，那么必有一個解為8； 設AB=x1=8，則有： 82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，即：m2﹣15m+56=0， 解得：m1=7，m2=8． 則當△ABC為等腰三角形時，m的值為7或8． 【點評】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 23．如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E． （1）求證：CD是⊙O的切線； （2）若正方形ABCD的邊長為10，求⊙O的半徑． 【考點】切線的判定；正方形的性質． 【分析】（1）首先連接OE，并過點O作OF⊥CD，由OA長為半徑的⊙O與BC相切于點E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC為正方形ABCD的對角線，根據(jù)角平分線的性質，可證得OF=OE=OA，即可判定CD是⊙O的切線； （2）由正方形ABCD的邊長為10，可求得其對角線的長，然后由設OA=r，可得OE=EC=r，由勾股定理求得OC=r，則可得方程r+r=10，繼而求得答案． 【解答】（1）證明：連接OE，并過點O作OF⊥CD． ∵BC切⊙O于點E， ∴OE⊥BC，OE=OA， 又∵AC為正方形ABCD的對角線， ∴∠ACB=∠ACD， ∴OF=OE=OA， 即：CD是⊙O的切線． （2）解：∵正方形ABCD的邊長為10， ∴AB=BC=10，∠B=90，∠ACB=45， ∴AC==10， ∵OE⊥BC， ∴OE=EC， 設OA=r，則OE=EC=r， ∴OC==r， ∵OA+OC=AC， ∴r+r=10， 解得：r=20﹣10． ∴⊙O的半徑為：20﹣10． 【點評】此題考查了切線的判定、正方形的性質、角平分線的性質以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵． 　 24．某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元． （1）求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍； （2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？ （3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？ 【考點】二次函數(shù)的應用． 【專題】綜合題． 【分析】（1）根據(jù)題意可知y與x的函數(shù)關系式． （2）根據(jù)題意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，當x=5.5時y有最大值． （3）設y=2200，解得x的值．然后分情況討論解． 【解答】解：（1）由題意得：y=（50+x﹣40） =﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x為整數(shù)）； （2）由（1）中的y與x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5． ∵a=﹣10＜0，∴當x=5.5時，y有最大值2402.5． ∵0＜x≤15，且x為整數(shù)， 當x=5時，50+x=55，y=2400（元），當x=6時，50+x=56，y=2400（元） ∴當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元． （3）當y=2200時，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10． ∴當x=1時，50+x=51，當x=10時，50+x=60． ∴當售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元． 當售價不低于51或60元，每個月的利潤為2200元． 當售價不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于2200元（或當售價分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時，每個月的利潤不低于2200元）． 【點評】本題考查二次函數(shù)的實際應用，借助二次函數(shù)解決實際問題，是一道綜合題． 　 25．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）． （1）求拋物線的解析式； （2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最?。咳舸嬖?，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由； （3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可； （2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D； （3）根據(jù)直線AC的解析式，設出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標，并求出該直線與x軸的交點F的坐標，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解． 【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），點C（4，3）， ∴， 解得， 所以，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3； （2）∵點A、B關于對稱軸對稱， ∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小， 設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）， 則， 解得， 所以，直線AC的解析式為y=x﹣1， ∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴拋物線的對稱軸為直線x=2， 當x=2時，y=2﹣1=1， ∴拋物線對稱軸上存在點D（2，1），使△BCD的周長最??； （3）如圖，設過點E與直線AC平行線的直線為y=x+m， 聯(lián)立， 消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0， △=（﹣5）2﹣41（3﹣m）=0， 解得：m=﹣， 即m=﹣時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大， 此時x=，y=﹣=﹣， ∴點E的坐標為（，﹣）， 設過點E的直線與x軸交點為F，則F（，0）， ∴AF=﹣1=， ∵直線AC的解析式為y=x﹣1， ∴∠CAB=45， ∴點F到AC的距離為AF?sin45==， 又∵AC==3， ∴△ACE的最大面積=3=，此時E點坐標為（，﹣）． 【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用軸對稱確定最短路線問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，利用平行線確定點到直線的最大距離問題． 　  2016年3月10日 第24頁（共24頁）