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2019-2020年高考數學 中等生百日捷進提升系列 專題03 導數（含解析） 【背一背重點知識】 1. 求函數單調區(qū)間的步驟：(1）確定的定義域，(2）求導數，(3）令(或),解出相應的的范圍.當時，在相應區(qū)間上是增函數；當時，在相應區(qū)間上是減函數 2. 求極值常按如下步驟：① 確定函數的定義域；② 求導數；③ 求方程的根及導數不存在的點，這些根或點也稱為可能極值點；④通過列表法, 檢查在可能極值點的左右兩側的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值．. 3. 求函數在上的最大值與最小值的步驟 (1)求函數在內的極值； (2)將函數的各極值與端點處的函數值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 【講一講提高技能】 1.必備技能：函數的單調性是函數在其定義域上的局部性質，函數的單調區(qū)間是函數的定義域的子區(qū)間，求函數的單調區(qū)間時千萬不要忽視函數的定義域．如果一個函數在給定定義域上的單調區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間一般不能用并集符號“∪”連接，只能用“，”或“和”字隔開． 利用導數研究函數最值問題討論思路很清晰，但計算比較復雜，其次有時需要二次求導研究導函數的最值來判斷導函數的正負． 根據函數的導數研究函數的單調性，在函數解析式中若含有字母參數時要進行分類討論，這種分類討論首先是在函數的定義域內進行，其次要根據函數的導數等于零的點在其定義域內的情況進行，如果這樣的點不止一個，則要根據字母參數在不同范圍內取值時，導數等于零的根的大小關系進行分類討論，最后在分類解決問題后要整合一個一般的結論． 2.典型例題： 例1 函數在區(qū)間上的極值點為________． 分析:因為，所以，令，則或,因為，所以，并且在左側，右側，所以函數在區(qū)間上的極值點為1． 例2已知不等式的解集，則函數單調遞增區(qū)間為( ) A. (- B. (-1,3) C.( -3,1) D.( 分析：先由不等式的解集，得到,，得,對求導得，再根據函數單調性和導數正負的關系得到時，，即得答案． 【答案】C 【練一練提升能力】 1.設是定義在上的函數，其導函數為，若+，，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】構造函數，因此，故函數在上是減函數，所以，即，因此的解集，故答案為D． 2. 設，若函數有大于零的極值點，則 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 利用導數探求參數的范圍問題 【背一背重點知識】 1. 由函數的單調性求參數的取值范圍，這類問題一般已知在區(qū)間上單調遞增(遞減)，等價于不等式(或)在區(qū)間上恒成立，通過分離參數求得新函數的最值，從而求出參數的取值范圍． 2.常見結論：(1)若，恒成立，則; 若，恒成立，則 (2)若，使得，則；若，使得，則. (3)設與的定義域的交集為D，若D 恒成立，則有. (4)若對、 ，恒成立，則. (5)若對，，使得,則. (6)若對，，使得，則. (7)已知在區(qū)間上的值域為A,，在區(qū)間上值域為B，若對,，使得=成立，則. (8)若三次函數有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于，極小值小于. (9)證題中常用的不等式:① ； ② ；③ ； ④ ；⑤ ； ⑥ 【講一講提高技能】 1.必備技能：不等式恒成立求參數取值范圍問題經常采用下面兩種方法求解：一是最常使用的方法是分離參數求最值，即要使恒成立，只需x，要使恒成立，只需，從而轉化為求的最值問題．二是，當參數不宜進行分離時，還可直接求最值建立關于參數的不等式求解，例如：要使不等式恒成立，可求得的最小值，令即可求出的范圍． 2.典型例題： 例1設，若對一切恒成立，求的最大值　　　?。? 分析：在對一切恒成立，只需要求出的最小值，最小值大于或等于零，由 ，利用導數求出最小值為，令 ，解出的最大值為． 【答案】 例2已知函數（）．若存在，使得，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 試題分析：，設，若存在，使得，則函數在區(qū)間上存在子區(qū)間使得成立， ，設，則或，即或，得，故選B． 【練一練提升能力】 1. 已知函數，，若至少存在一個，使成立，則實數a的范圍為( ) A．[，+∞) B．(0，+∞) C．[0，+∞) D．(，+∞) 【答案】B 2.已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】由題意可得，存在，滿足， 即有負根， 利用定積分求解平面圖形的面積 【背一背重點知識】 定積分求曲邊梯形面積： 1.由三條直線，軸及一條曲線 ()圍成的曲邊梯的面積. 2.如果圖形由曲線，（不妨設），及直線圍成，那么所求圖形的面積S＝S曲邊梯形AMNB－S曲邊梯形DMNC＝. 3. 如果圖形由曲線以及直線如下圖圍成，那么所求圖形的面積為軸上方的積分值，加上軸下方的積分值的相反數． 【講一講提高技能】 1必備技能： 定積分的應用及技巧：(1)對被積函數，要先化簡，再求定積分．(2)求被積函數是分段函數的定積分，依據定積分的性質，分段求定積分再求和．(3)對含有絕對值符號的被積函數，要去掉絕對值符號才能求定積分．(4)應用定積分求曲邊梯形的面積，解題的關鍵是利用兩條曲線的交點確定積分區(qū)間以及結合圖形確定被積函數．求解兩條曲線圍成的封閉圖形的面積一般是用積分區(qū)間內上方曲線減去下方曲線對應的方程、或者直接作差之后求積分的絕對值，否則就會求出負值． [易錯提示]　在使用定積分求兩曲線圍成的圖形的面積時，要注意根據曲線的交點判斷這個面積是怎樣的定積分，既不要弄錯積分的上下限，也不要弄錯被積函數． 用微積分基本定理求定積分時，要掌握積分與導數的互逆關系及求導公式的逆向形式． 2典型例題： 例1由直線，曲線及軸所圍圖形的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 例2如圖是函數在一個周期內的圖象，則陰影部分的面積是（ ） A． B． C． D． xO y O 分析：由函數圖像可得，陰影的最右的端點坐標為，將陰影分為兩部分與，利用定積分計算公式加以運算即可得到本題答案． 【答案】B 【練一練提升能力】 1. 函數的最小值為，則等于 （ ） A．2 B． C．6 D．7 【答案】B 【解析】由題，最小值為即，故 2. 若，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由，，所以，解得，故選C． （一） 選擇題（12*5=60分） 1. 函數的圖象在點處的切線方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由函數知，，所以，在點處的切線方程是，化簡得． 2. 如圖，陰影部分的面積是（ ） A．2 B．－2 C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析： 3. 將的圖象繞坐標原點逆時針旋轉角后第一次與y軸相切，則角滿足的條件是( ) A． B． C． D． 【答案】B 4. 知函數在處取得極值，若過點作曲線的切線，則切線方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5. 函數的定義域是R，，對任意，則不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】構造函數g(x)＝exf(x)－ex，因為g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝exf(x)－ex為R上的增函數．又因為g(0)＝e0f(0)－e0＝1，所以原不等式轉化為g(x)>g(0)，解得x>0. 6. 已知函數的圖像為曲線，若曲線存在與直線垂直的切線，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意可知 ，存在使得有解，則有解， ，知成立,選B． 7.已知函數的導函數圖象如圖所示，那么函數的圖象最有可能的是（） 【答案】A 8. 對于上可導的任意函數，若滿足，則必有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：因為，所以當時，；當時，；所以在為增函數，在上為減函數，所以，所以，故應選． 9. 已知 為R上的連續(xù)可導函數，當x≠0時 ，則函數 的零點個數為（ ） A.1 B.2 C.0 D.0或2 【答案】C 【解析】∵當x≠0時，，∴，要求關于x的方程的根的個數可轉化成 的根的個數，令 當 時，即 ，∴F（x）在（0，+∞）上單調遞增；當x＜0時， 即 ，∴ 在（-∞，0）上單調遞減而 為R上的連續(xù)可導的函數∴ 無實數根，故選C． 10.設點是曲線（為實常數）上任意一點，點處切線的傾斜角為，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：設點（x,y）,所以,所以,則，[0，)∪．故選D． 11. 將邊長為2的等邊沿軸正方向滾動，某時刻與坐標原點重合（如圖），設頂點的軌跡方程是，關于函數的有下列說法：①的值域為；②是周期函數；③；④，其中正確的個數是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 12. 在區(qū)間上有極值點,則實數的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 填空題（4*5=20分） 13.若函數在定義域內是增函數，則實數的取值范圍是__ ． 【答案】 【解析】 試題分析：函數的定義域為，因為其為定義域上的增函數，所以滿足在上恒成立，整理得，因為，所以實數的取值范圍是． 14. 設函數的根都在區(qū)間[-2，2]內，且函數在區(qū)間（0，1）上單調遞增，則b的取值范圍是 . 【答案】 15.若函數在其定義域內的一個子區(qū)間內存在極值，則實數的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】 試題分析：根據題意，，所以函數有一個極值點，所以有，解得，所以實數的取值范圍是． 16. 已知函數，若恒成立，則的最大值為 【答案】 【解析】由題意若,則在上恒成立，若恒成立， 則, 此時；若,則f(x)>0,函數單調遞增，此不可能恒有；若則得極小值點, 由，得 現求的最大值： 由，得極大值點 所以的最大值為