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工程矩陣理論試卷樣卷10a 一、假如。 1、記。證明：是的子空間。 2、若A是單位矩陣，求。 3、若，。求這里V（A）的一組基及其維數(shù)。 4、假如。問：對上一題中的和，是否為直和？說明理由。 解： 1、證明子空間，即為證明該空間關于加法和數(shù)乘封閉。即若有，，。 設，， ， ， 是的子空間。 2、若A是單位矩陣，則，因為對單位陣I來說，恒成立，故，。 3、若，，設，有，即， ，→ 有，故= 故X的一組基為，維數(shù)為2。 4、，即，其基為。 下面計算 ，若 ，則是直和。。 =（、基的極大線性無關組）， 為極大線性無關組（可以不求，從上式即可看出）， +不是直和。 二、假如，，在上定義變換如下：。 1、證明：是上的線性變換。 2、求在的基下的矩陣M。 3、試求M的jordan標準形，并寫出的最小多項式。 4、問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？ 解： 1、 有： ，有←加法封閉 ，有←數(shù)乘封閉 是上的線性變換。 2、 3、 M的若當標準形為，的最小多項式為 4、，，基礎解系為，， ，，基礎解系為 這四個基礎解系所對應的基均線性無關，故能找到找到的基，使得的矩陣為對角陣。 三、設的子空間，，求，使得。 解： 思路：求V的基→由該基生成； V 的含義是指在V中找一向量，使得的距離最短，即尋找在V中的正投影。作圖如右側。 由，得V的基為， 則，， 或 四、設，求及矩陣函數(shù)。 解： （2重根） 時，，故A的jordan標準形為，A的最小多項式為。 令， （計算略） 令 ， (太麻煩了，不算啦！) 五、已知矩陣A的特征多項式及最小多項式都等于，并且矩陣。 1、分別給出A和B的jordan標準形； 2、問：A與B是否相似？為什么？ 解： A的特征多項式及最小多項式都等于，故A的jordan標準形為： ， A和B有相同的jordan標準形，故A、B相似。 六、已知矩陣，求A的廣義逆矩陣。 解：對A進行分塊： 對進行滿秩分解， 對進行滿秩分解， 七、證明題： 1、假如是歐幾里德空間V中單位向量，V上的線性變換如下：對任意，（鏡像變換）。證明：是V上的正交變換。 證明：要證是V上的正交變換，只要證明下的矩陣是一個正交矩陣即可。 將擴充V上的一組標準正交基， 可看出，下的矩陣中，所有的行向量或列向量均為單位正交向量，故是V上的正交變換。 2、設H陣A，B均是正定的，并且AB=BA，證明：AB是正定矩陣。 證明： A，B均是正定的H陣，故，，且酉矩陣P、Q，st., 要證明AB是正定矩陣，首先要證AB是H陣。 AB是H陣。 即∽，是正定矩陣，故的特征值均大于0，所認特征值也大于0，故AB正定。 7