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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題突破訓(xùn)練 圓錐曲線 文 一、選擇、填空題 1、（xx高考）拋物線上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則 . 2、（xx高考）拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 ． 3、（xx高考）.設(shè)AB是橢圓的長軸，點(diǎn)C在上，且.若AB=4，BC=，則的兩個焦點(diǎn)之間的距離為 . 4、（奉賢區(qū)xx高三二模）以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． 5、（虹口區(qū)xx高三二模）已知拋物線的焦點(diǎn)在圓上，則________ 6、（黃浦區(qū)xx高三二模）已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個焦點(diǎn)重合，則雙曲線的漸近線方程是 7、（靜安、青浦、寶山區(qū)xx高三二模）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是，則 ． 8、（浦東新區(qū)xx高三二模）若直線與圓沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則過點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)為 ( C ) 0 1 2 1或2 9、（普陀區(qū)xx高三一模）若方程+=1表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是　（﹣2，2）∪（3，+∞）?。? 10、（閘北區(qū)xx高三一模）關(guān)于曲線C：=1，給出下列四個結(jié)論： ①曲線C是橢圓； ②關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱； ③關(guān)于直線y=x軸對稱； ④所圍成封閉圖形面積小于8． 則其中正確結(jié)論的序號是?、冖堋。ㄗⅲ喊涯阏J(rèn)為正確命題的序號都填上） 11、（長寧、嘉定區(qū)xx高三二模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是_____________ 12、（崇明縣xx高三一模）已知雙曲線的一條漸近線的法向量是，那么　　　　　　　 13、已知橢圓內(nèi)有兩點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),則的最大值為_______. 14、若雙曲線:的焦距為,點(diǎn)在的漸近線上,則的方程為_________. 15、若雙曲線的漸近線方程為,它的一個焦點(diǎn)是,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____. 二、解答題 1、（xx高考）已知橢圓，過原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，設(shè)的面積為. （1）設(shè)，，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明； （2）設(shè)，，，求的值； （3）設(shè)與的斜率之積為，求的值，使得無論與如何變動，面積保持不變. 2、（xx高考）在平面直角坐標(biāo)系中，對于直線和點(diǎn)，記 ．若，則稱點(diǎn)被直線分隔．若曲線與直線沒有公共點(diǎn)，且曲線上存在點(diǎn)被直線分隔，則稱直線為曲線的一條分隔線． （1）求證；點(diǎn)被直線分隔； （2）若直線是曲線的分隔線，求實數(shù)的取值范圍； （3）動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．求的方程，并證明軸為曲線的分隔線． 3、（xx高考）如圖，已知雙曲線C1:，曲線C2:.P是平面內(nèi)一點(diǎn).若存在過點(diǎn)P的直線與C1、C2都有共同點(diǎn)，則稱P為“C1-C2型點(diǎn)”. （1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)”時，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）； （2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證＞1，進(jìn)而證明圓點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”； （3）求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”. 4、（奉賢區(qū)xx高三二模）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、，平面內(nèi)任意一點(diǎn)滿足：直線的斜率，直線的斜率，，點(diǎn)的軌跡為曲線．雙曲線以曲線的上下兩頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，是雙曲線上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率． （1）求曲線的方程；(5分) （2）(文)如果，求雙曲線的焦距的取值范圍．(9分) 5、（虹口區(qū)xx高三二模）已知圓：，點(diǎn)(1, 0)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動， 的垂直平分線交于點(diǎn). (1) 求動點(diǎn)的軌跡的方程； (2) 設(shè)分別是曲線上的兩個不同點(diǎn)，且點(diǎn) 在第一象限，點(diǎn)在第三象限，若, 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率； (3)過點(diǎn)的動直線交曲線于兩點(diǎn)， 求證：以為直徑的圓恒過定點(diǎn) 6、（黃浦區(qū)xx高三二模）已知點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系上的一個動點(diǎn)滿足．設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線． (1)求曲線的軌跡方程； (2)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，求的取值范圍； (3)（理科）已知點(diǎn)是曲線上的兩個動點(diǎn)，若(是坐標(biāo)原點(diǎn))，試證明：直線與某個定圓恒相切，并寫出定圓的方程． （文科）已知點(diǎn)是曲線上的兩個動點(diǎn)，若(是坐標(biāo)原點(diǎn))，試證明：原點(diǎn)到直線的距離是定值． 7、（靜安、青浦、寶山區(qū)xx高三二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的方程為，設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線，是上與不重合的點(diǎn)． （1）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程； （2）若，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程； （3） 記是與橢圓的交點(diǎn)，若直線的方程為，當(dāng)△的面積為時，求直線的方程． 8、（浦東新區(qū)xx高三二模）已知直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，且滿足、. （1）已知直線的方程為，拋物線的方程為，求的值； （2）已知直線：（），橢圓：，求的取值范圍； （3）已知雙曲線：，，求點(diǎn)的坐標(biāo). 9、（普陀區(qū)xx高三一模）已知P是橢圓+=1上的一點(diǎn)，求P到M（m，0）（m＞0）的距離的最小值． 10、（閘北區(qū)xx高三一模）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓C過點(diǎn)且與拋物線y2=﹣8x有一個公共的焦點(diǎn)． （1）求橢圓C方程； （2）直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F2且斜率為1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長； （3）以第（2）題中的AB為邊作一個等邊三角形ABP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 11、（長寧、嘉定區(qū)xx高三二模）已知橢圓（）的焦距為，且橢圓的短軸的一個端點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)、構(gòu)成等邊三角形． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)為橢圓上上任意一點(diǎn)，求的最大值與最小值； （3）試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得對于橢圓上任意一點(diǎn)，到的距離與到直線的距離之比為定值．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由． 12、（崇明縣xx高三一模）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的兩焦點(diǎn)與橢圓短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線， 使得成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在， 請說明理由. 13、已知拋物線:,直線交此拋物線于不同的兩個點(diǎn)、. (1)當(dāng)直線過點(diǎn)時,證明為定值; (2)當(dāng)時,直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由; (3)記,如果直線過點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為.問是否存在一條直線和一個定點(diǎn),使得點(diǎn)到它們的距離相等?若存在,求出這條直線和這個定點(diǎn);若不存在,請說明理由. 14、動圓過定點(diǎn),且與直線相切. 設(shè)圓心的軌跡方程為 (1)求; (2)曲線上一定點(diǎn),方向向量的直線(不過P點(diǎn))與曲線交與A、B兩點(diǎn),設(shè)直線PA、PB斜率分別為,,計算; (3)曲線上的一個定點(diǎn),過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與曲線交于兩點(diǎn),求證直線的斜率為定值; 15、如圖,已知點(diǎn),直線:,為平面上的動點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線,垂足為點(diǎn),且. (1)求動點(diǎn)的軌跡的方程; (2)(文)過軌跡的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)作方向向量為的直線與軌跡交于不同兩點(diǎn)、,問是否存在實數(shù)使得?若存在,求出的范圍;若不存在,請說明理由; (3)(文)在問題(2)中,設(shè)線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為,求的取值范圍. 參考答案 一、選擇、填空題 1、【答案】2 D B A C 【解析】依題意，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即. 2、解答：知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則其準(zhǔn)線方程為： 3、【答案】 【解析】 如右圖所示。 4、　　　5、6　　6、　　　 7、4 8、C 9、解答： 解：∵程+=1表示雙曲線， ∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0， 解得k＞3或﹣2＜k＜2， ∴實數(shù)k的取值范圍是（﹣2，2）∪（3，+∞）． 故答案為：（﹣2，2）∪（3，+∞）． 10、解答： 解：對于①，∵曲線C：=1，不是橢圓方程，∴曲線C不是橢圓，∴①錯誤； 對于②，把曲線C中的（x，y ）同時換成（﹣x，﹣y ），方程不變，∴曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱，②正確； 對于③，把曲線C中的（x，y ）同時換成（y，x ），方程變?yōu)?x4=1，∴曲線C不關(guān)于直線y=x對稱，③錯誤； 對于④，∵|x|≤2，|y|≤1，∴曲線C：=1所圍成的封閉面積小于42=8，∴④正確． 綜上，正確的命題是②④． 故答案為：②④． 11、4 12、 13、 ; 14、 15、; 二、解答題 1、【答案】（1）詳見解析；（2）或；（3）. 由（1）得 由題意知， 解得或. （3）設(shè)，則，設(shè)，， 由，的， 同理， 由（1）知， ， 整理得， 由題意知與無關(guān)， 則，解得. 所以. 2、解答： （1）證明：因為，所以點(diǎn)被直線分隔． （2）解：直線與曲線沒有公共點(diǎn)的充要條件是方程組無解，即．當(dāng)時，對于直線，曲線上的點(diǎn)和滿足，即點(diǎn)和被分隔．故實數(shù)的取值范圍是． （3）證明：設(shè)的坐標(biāo)為，則曲線的方程為． 對任意的，不是上述方程的解，即軸與曲線沒有公共點(diǎn)． 又曲線上的點(diǎn)和對于軸滿足，即點(diǎn)和被軸分隔．所以軸為曲線的分隔線． 3、【答案】 （1） 【解析】 （1） 顯然，由雙曲線的幾何圖像性質(zhì)可知，過.從曲線圖像上取點(diǎn)P(0,1),則直線。這時直線方程為 （2） 先證明“若直線y=kx與有公共點(diǎn)，則＞1”. 雙曲線 . . 所以直線y=kx與有公共點(diǎn)，則＞1 . （證畢） 。 所以原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”；（完） （3）設(shè)直線過圓內(nèi)一點(diǎn)，則直線斜率不存在時與曲線無交點(diǎn)。 設(shè)直線方程為：y = kx + m，則： 假設(shè)直線與曲線相交上方，則 4、（1） 5分 （2）設(shè)雙曲線方程為 6分 在雙曲線上，所以 8分 9分 10分 （理）雙曲線漸近線的方程 11分 設(shè)傾斜角為，則 或者 12分 所以一條漸近線的傾斜角的取值范圍是 13分 另一條漸近線的傾斜角的取值范圍是 14分 （文）焦距是 12分 14分 5、解：(1) 因為的垂直平分線交于點(diǎn). 所以，從而 所以，動點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓. ……3分 設(shè)橢圓的方程為，則，， 故動點(diǎn)的軌跡的方程為 ……5分 (2) 設(shè)，則 ① 因為，則 ② 由①、② 解得 ……8分 所以直線的斜率 . ……10分 (3)設(shè)直線的方程為則由，得 由題意知，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以直線與橢圓必有兩個交點(diǎn)，設(shè) ，則 ……12分 假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)滿足題設(shè)，則 因為以為直徑的圓恒過點(diǎn), 所以即 ……14分 因為故可化為 由于對于任意的,恒成立，故 解得 . 因此，在軸上存在滿足條件的定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. …… 16分 6、解(1)依據(jù)題意，動點(diǎn)滿足. 又， 因此，動點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且． 所以，所求曲線的軌跡方程是． (2) 設(shè)是曲線上任一點(diǎn)．依據(jù)題意，可得． 是直徑， ．又， 　　　?。剑? 　由，可得，即． 　　． 　　的取值范圍是． (另解：結(jié)合橢圓和圓的位置關(guān)系，有(當(dāng)且僅當(dāng)共線時，等號成立)，于是有．) (3)證明　設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，且是曲線上滿足的兩個動點(diǎn)． 若點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)也在坐標(biāo)軸上，有，即． 若點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，可設(shè)． 由 得 設(shè)點(diǎn)，同理可得， 于是，，， ． 利用，得． 綜合可知，總有，即原點(diǎn)到直線的距離為定值． (方法二：根據(jù)曲線關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸都對稱的特點(diǎn)，以及，求出的一組坐標(biāo)，再用點(diǎn)到直線的距離公式求解，也可以得出結(jié)論) 7、解：（1）橢圓一個焦點(diǎn)和頂點(diǎn)分別為，………………………1分 所以在雙曲線中，，，， 因而雙曲線方程為．……………………………………………………4分 （2）設(shè)，，則由題設(shè)知：，． 即………………………………………………………………5分 解得……………………………………………………………………7分 因為點(diǎn)在橢圓C上，所以，即…， 亦即．所以點(diǎn)M的軌跡方程為．…………………9分 （3）（文）因為AB所在直線方程為． 解方程組 得，， 所以，. 又 解得，，所以．………… 11分 由于……………14分 解得即 又，所以直線方程為或………………………………… 16分 8、解：（1）將，代入，求得點(diǎn)，， 又因為，，……………………………………………………2分 由 得到，，， 同理由得，.所以=.………………………4分 （2）聯(lián)立方程組： 得， ，又點(diǎn)， 由 得到，， 同理由 得到，， =，即，…6分 , ………………………………8分 因為，所以點(diǎn)在橢圓上位于第三象限的部分上運(yùn)動，由分點(diǎn)的性質(zhì)可知 ，所以.………………………………10分 （3）直線的方程為，代入方程 得到:. , (1) 而由、得到： (2) (3) …………………………………………………………………12分 由（1）（2）（3）得到：，， 所以點(diǎn)，………………………………………………………………14分 當(dāng)直線與軸重合時，，或者，， 都有也滿足要求， 所以在軸上存在定點(diǎn).……………………………………………16分 9、考點(diǎn)： 橢圓的簡單性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 設(shè)P（x，y），則，所以，﹣2≤x≤2，所以得到|PM|=，二次函數(shù)的對稱軸為x=2m，所以討論2m和區(qū)間[﹣2，2]的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)及在區(qū)間[﹣2，2]上的單調(diào)性即可求出該二次函數(shù)的最小值，從而求出|PM|的最小值． 解答： 解：設(shè)P（x，y），則x，y滿足：； ∴； ∴|PM|====； ∴①若0＜2m＜2，即0＜m＜1時，x=2m時，函數(shù)取最小值2﹣m2； ∴此時|PM|的最小值為； ②若2m≥2，即m≥1時，二次函數(shù)在[﹣2，2]上單調(diào)遞減； ∴x=2時，函數(shù)取最小值（m﹣2）2； ∴此時|PM|的最小值為|m﹣2|． 10、解答： 解：（1）由題意得 F1（﹣2，0），c=2…（2分） 又， 得a4﹣8a2+12=0，解得a2=6或a2=2（舍去），…（2分） 則b2=2，…（1分） 故橢圓方程為．…（1分） （2）直線l的方程為y=x﹣2．…（1分） 聯(lián)立方程組，消去y并整理得2x2﹣6x+3=0．…（3分） 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）． 故x1+x2=3，．…（1分） 則|AB|=|x1﹣x2|==．…（2分） （3）設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x0，y0）． ∵x1+x2=3=2x0，∴，…（1分） ∵y0=x0﹣2，∴．…（1分） 線段AB的中垂線l1斜率為﹣1，所以l1：y=﹣x+1 設(shè)P（t，1﹣t）…（1分） 所以．…（1分） 當(dāng)△ABP為正三角形時，|MP|=|AB|， 得，解得t=0或3．…（2分） 即P（0，1），或P（3，﹣2）．…（1分） 11、（1）已知，，， ……………………（2分） 所以， ……………………………………（3分） 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ……………………（4分） （2），，設(shè)，則，，（）， ……………………（2分） 因為，所以，，…（4分） 由，得的最大值為，最小值為． …………………………（6分） （3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，到的距離與到直線的距離之比為定值，則有， ………………………………………………（1分） 整理得， ……………………………………（2分） 由，得對任意的都成立． ………………………………………………………………（3分） 令， 則由得 ① 由得 ② 由，得 ③ 由①②③解得得，． …………………………（5分） 所以，存在滿足條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為． ………………………（6分） 12、解（1）設(shè)橢圓C的方程為，半焦距為， 則 解得： 所以，，橢圓方程為 （2）解：存在直線，使得成立。 由得 由得。 設(shè)，則 由得， 所以 化簡得 所以 由得， 因此， 13、解:(1)過點(diǎn)與拋物線有兩個交點(diǎn),可知其斜率一定存在,設(shè),其中(若時不合題意),由得, 注:本題可設(shè),以下同. (2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè),其中(若時不合題意). 由得. ,從而 假設(shè)直線過定點(diǎn),則,從而,得,即,即過定點(diǎn) 當(dāng)直線的斜率不存在,設(shè),代入得,,,從而,即,也過. 綜上所述,當(dāng)時,直線過定點(diǎn) (3)依題意直線的斜率存在且不為零,由(1)得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,代入得,即 設(shè),則消得 由拋物線的定義知存在直線,點(diǎn),點(diǎn)到它們的距離相等 14、(1)過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,由題意知:, 即動點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等, 由拋物線的定義知,點(diǎn)的軌跡為拋物線 其中為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線,所以軌跡方程為; (2)證明:設(shè) A()、B() 由題得直線的斜率 過不過點(diǎn)P的直線方程為 由得 則. == ==0 (3)設(shè), == (***) 設(shè)的直線方程為 由 , 則 15分 同理,得 代入(***)計算得: 15、(文)(1)設(shè),由題意,,,, ,, 由,得, 化簡得.所以,動點(diǎn)的軌跡的方程為 (2)軌跡為拋物線,準(zhǔn)線方程為,即直線,所以, 當(dāng)時,直線的方程為,與曲線只有一個公共點(diǎn),故 所以直線的方程為,由 得,由△,得 設(shè),,則,, 所以,, 若,則,即, ,, 解得.所以 (3)由(2),得線段的中點(diǎn)為,線段的垂直平分線的一個法向量為,所以線段的垂直平分線的方程為, 令,, 因為,所以. 所以的取值范圍是