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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題突破訓(xùn)練 數(shù)列 文 一、選擇、填空題 1、（虹口區(qū)xx高三二模）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的和為若則 2、（黃浦區(qū)xx高三二模）在等差數(shù)列中，若，， 則正整數(shù) 　　　　　　 3、（靜安、青浦、寶山區(qū)xx高三二模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且，則數(shù)列的公比 4、（浦東新區(qū)xx高三二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和， 則該數(shù)列的通項(xiàng)公式 5、（普陀區(qū)xx高三一模）若無窮等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)和等于公比q，則首項(xiàng)a1的取值范圍是　﹣2＜a1≤且a1≠0　． 6、（徐匯、松江、金山區(qū)xx高三二模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為 7、（閘北區(qū)xx高三一模）已知等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，則下列一定成立的是（　?。? 　 A．若a3＞0，則axx＜0 B． 若a4＞0，則axx＜0 　 C．若a3＞0，則Sxx＞0 D． 若a4＞0，則Sxx＞0 8、（長寧、嘉定區(qū)xx高三二模）設(shè)等差數(shù)列滿足，，的前項(xiàng)和的最大值為，則=__________ 9、（崇明縣xx高三一模）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是　　　　　　　　 10、等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為,則_____. 11、數(shù)列的通項(xiàng),前項(xiàng)和為,則____________. 12、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和是,若和{}都是等差數(shù)列,且公差相等,則________ 13、(文)設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,,若自然數(shù)滿足,且是等比數(shù)列,則=_______________. 二、解答題 1、（xx高考）已知數(shù)列與滿足，. （1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即，求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)； （3）設(shè)，，求的取值范圍，使得對任意，，，且. 2、（xx高考）已知數(shù)列滿足，，． （1）若，求的取值范圍； （2）設(shè)是等比數(shù)列，且，求正整數(shù)的最小值，以及取最小值時(shí)相應(yīng)的公比； （3）若成等差數(shù)列，求數(shù)列的公差的取值范圍． 3、（xx高考）已知函數(shù)，無窮數(shù)列滿足an+1=f(an),n∈N* （1）若a1=0，求a2，a3，a4； （2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值. （3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由. 4、（奉賢區(qū)xx高三二模）設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈． （1）設(shè)，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（6分） （2）設(shè)，若數(shù)列每項(xiàng)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求；（4分） （3）在（2）的條件下，，求符合條件的的個(gè)數(shù)．（6分） 5、（虹口區(qū)xx高三二模）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足： （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè) （3）是否存在大于2的正整數(shù)使得若存在，求出所有符合條件的；若不存在，請說明理由. 6、（黃浦區(qū)xx高三二模）　已知數(shù)列滿足，對任意都有． (1)求數(shù)列()的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列滿足()，求數(shù)列的前項(xiàng)和； (3)設(shè)，求數(shù)列()中最小項(xiàng)的值． 7、（靜安、青浦、寶山區(qū)xx高三二模）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，若中任意兩項(xiàng)之積仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，那么稱是封閉數(shù)列. （1）若，判斷是否為封閉數(shù)列，并說明理由； （2）證明為封閉數(shù)列的充要條件是：存在整數(shù)，使； （3）記是數(shù)列的前項(xiàng)之積，，若首項(xiàng)為正整數(shù)，公比，試問：是否存在這樣的封閉數(shù)列，使，若存在，求的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由． 8、（浦東新區(qū)xx高三二模）記無窮數(shù)列的前項(xiàng)的最大項(xiàng)為，第項(xiàng)之后的各項(xiàng)的最小項(xiàng)為，令． （1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列遞增，且是等差數(shù)列，求證：為等差數(shù)列； （3）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷是否等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，請說明理由． 9、（普陀區(qū)xx高三一模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+an=4，n∈N*． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）已知cn=2n+3（n∈N*），記dn=cn+logCan（C＞0且C≠1），是否存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，若存在，求出C的值；若不存在，請說明理由． （3）若數(shù)列{bn}，對于任意的正整數(shù)n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 10、（閘北區(qū)xx高三一模）設(shè)數(shù)列{an}滿足：①a1=1；②所有項(xiàng)an∈N*；③1=a1＜a2＜…＜an＜an+1＜…設(shè)集合Am={n|an≤m，m∈N*}，將集合Am中的元素的最大值記為bm．換句話說，bm是數(shù)列{an}中滿足不等式an≤m的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列{bn}為數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3． （1）請寫出數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列； （2）設(shè)an=3n﹣1，求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bn}的前20之和； （3）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+c（其中c常數(shù)），求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Tm． 11、（長寧、嘉定區(qū)xx高三二模）已知函數(shù)，其中．定義數(shù)列如下：，,． （1）當(dāng)時(shí)，求，，的值； （2）是否存在實(shí)數(shù)，使，，構(gòu)成公差不為的等差數(shù)列？若存在，請求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由； （3）求證：當(dāng)時(shí)，總能找到，使得． 12、（崇明縣xx高三一模）　已知等差數(shù)列滿足，． （1）求的通項(xiàng)公式； （2）若，數(shù)列滿足關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)（2）中的數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意的正整數(shù)， 恒成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍． 13、已知復(fù)數(shù),其中,,,是虛數(shù)單位,且,. (1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式; (2)求和:①;②. 14、已知數(shù)列對任意的滿足:,則稱為“Z數(shù)列”. (1)求證:任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”; (2)若正數(shù)列,數(shù)列是“Z數(shù)列”,數(shù)列是否可能是等比數(shù)列,說明理由,構(gòu)造一個(gè)數(shù)列,使得是“Z數(shù)列”; (3)若數(shù)列是“Z數(shù)列”,設(shè)求證 15、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對于任意,總有. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)在與之間插入個(gè)數(shù),使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列,當(dāng)公差滿足時(shí),求的值并求這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和; (3)記,如果(),問是否存在正實(shí)數(shù),使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由. 參考答案 一、選擇、填空題 1、　　　2、　　　3、　　4、　　　 5、解：∵無窮等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)和等于公比q， ∴|q|＜1，且=q， ∴a1=q（1﹣q）=﹣q2+q=﹣（q﹣）2+， 由二次函數(shù)可知a1=﹣（q﹣）2+≤， 又等比數(shù)列的項(xiàng)和公比均不為0， ∴由二次函數(shù)區(qū)間的值域可得： 首項(xiàng)a1的取值范圍為：﹣2＜a1≤且a1≠0 故答案為：﹣2＜a1≤且a1≠0 6、1 7、解答： 解：對于選項(xiàng)A，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列1，﹣1，1，﹣1，…，顯然滿足a3＞0，但axx=1＞0，故錯(cuò)誤； 對于選項(xiàng)B，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a4＞0，但axx=0，故錯(cuò)誤； 對于選項(xiàng)D，可列舉公比q=﹣1的等比數(shù)列﹣1，1，﹣1，1…，顯然滿足a2＞0，但Sxx=0，故錯(cuò)誤； 對于選項(xiàng)C，因?yàn)閍3=a1?q2＞0，所以 a1＞0． 當(dāng)公比q＞0時(shí)，任意an＞0，故有Sxx＞0；當(dāng)公比q＜0時(shí)，qxx＜0，故1﹣q＞0，1﹣qxx＞0，仍然有Sxx =＞0，故C正確， 故選C． 8、2 9、 10、 12; 11、 7; 12、 13、 二、解答題 1、【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）. （3）因?yàn)?，所以? 當(dāng)時(shí)， ， 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值為，最小值為， 由題意，的最大值及最小值分別是及， 由及，解得， 綜上所述，的取值范圍是. 2、解答： （1）由條件得且，解得．所以的取值范圍是． （2）設(shè)的公比為．由，且，得． 因?yàn)?，所以．從而，，解得? 時(shí)，．所以，的最小值為，時(shí)，的公比為． （3）設(shè)數(shù)列的公差為．由，得，． ①當(dāng)時(shí)，，所以，即． ②當(dāng)時(shí)，，符合條件． ③ 當(dāng)時(shí)，，所以，，又，所以． 綜上，的公差的取值范圍為． 3、【答案】 （1） （2） （3） 【解析】 （1） （2） 分情況討論如何： （3） 討論如下: 4、解：（1）因是公比為的等比數(shù)列， 從而 1分 由， 2分 故解得或（舍去） 3分 因此，又 ，解得 4分 從而當(dāng)時(shí)， 5分 當(dāng)時(shí)，由是公比為的等比數(shù)列得 6分 因此 6分 （2）由題意 7分 得, 8分 9分 依此類推 10分 （3）猜想： ，一共有335 11分 得 又，④故有 12分 .⑤ 13分 若不然，設(shè) 若取即，則由此得， 而由③得 得 14分 由②得 而此推得（）與題設(shè)矛盾 15分 同理若P=2，3，4，5均可得（）與題設(shè)矛盾, 因此為6的倍數(shù). 16分 5、解：（1）由及 兩式相減，得 ……3分 由于各項(xiàng)均為正數(shù)，故由上式，可得 于是數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為： ……6分 （2）因?yàn)? ……8分 故……10分 于是 ……12分 （3）假設(shè)存在大于2的正整數(shù)使得 由（1），可得 從而 ……14分 由于正整數(shù)均大于2，知 ……16分 故由得 因此，存在大于2的正整數(shù)使得 ……18分 6、解(1) 對任意都有成立，， ∴令，得． ∴數(shù)列()是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列． ∴． 　(2) 由()，得 ()． 故． 當(dāng)時(shí)，． 于是， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 又時(shí)，， 綜上，有 　(3)，， 　　∴，． 　　 　　∴數(shù)列()是單調(diào)遞增數(shù)列，即數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是，其值為3． 7、解：（1）不是封閉數(shù)列，因?yàn)?，…………………………………?1分 對任意的，有，…………………………………… 2分 若存在，使得，即，，該式左邊為整數(shù)，右邊是無理數(shù)，矛盾．所以該數(shù)列不是封閉數(shù)列…………………………………… 4分 （2）證明：（必要性）任取等比數(shù)列的兩項(xiàng)，若存在使，則，解得.故存在，使，…… 6分 下面證明整數(shù)． 對，若，則取，對，存在使， 即，，所以，矛盾， 故存在整數(shù)，使．…………………………………… 8分 （充分性）若存在整數(shù)，使，則， 對任意，因?yàn)椋? 所以是封閉數(shù)列. …………………………………… 10分 （3）由于，所以，……………11分 因?yàn)槭欠忾]數(shù)列且為正整數(shù),所以，存在整數(shù)，使， 若，則，此時(shí)不存在．所以沒有意義…12分 若，則，所以，………………… 13分 若，則，于是， 所以，…………………………………… 16分 若，則，于是， 所以，…………………………………… 17分 綜上討論可知：，，該數(shù)列是封閉數(shù)列．……… 18分 8、解：因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，， 所以；；……………………………………2分 當(dāng)時(shí)， 數(shù)列的通項(xiàng)公式 ………………………………4分 （2）數(shù)列遞增，即，令數(shù)列公差為 …………………………………6分 所以為等差數(shù)列.………………………………………………………10分 （3）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，遞減且.…………12分 由定義知，………………………………………………14分 ，數(shù)列遞增，即…………16分 ………………18分 9、解答： （1）解：∵且Sn+an=4，n∈N*．∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1+an﹣1=4，∴an+an﹣an﹣1=0，即． 當(dāng)n=1時(shí)，2a1=4，解得a1=2． ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an==22﹣n． （2）解：dn=cn+logCan=2n+3+=2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2， 假設(shè)存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列， 則2﹣logC2=0，解得C=． ∴存在這樣的常數(shù)C=，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，dn=3+=7． （3）證明：∵對于任意的正整數(shù)n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立（*）， ∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=．① （*）兩邊同乘以可得：b1an+1+b2an+…+bna2=﹣．②． ①﹣②可得bn+1a1==， ∴，∴，（n≥3）． 又2b1=，解得b1=． b1a2+b2a1=， ∴+b22=﹣，解得b2=． 當(dāng)n=1，2時(shí)，，也適合． ∴，（n∈N*）是等差數(shù)列． 10、解答： 解：（1）數(shù)列1，4，7的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算對）， （2）由，得 ∴當(dāng)1≤m≤2，m∈N*時(shí)，b1=b2=1， 當(dāng)3≤m≤8，m∈N*時(shí)，b3=b4=…=b8=2， 當(dāng)9≤m≤20，m∈N*時(shí)，b9=b28=…=b20=3， ∴b1+b2+…+b20=12+26+312=50， （3）∵a1=S1=1+c=1，∴c=0， 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1， ∴， 由an=2n﹣1≤m得： 因?yàn)槭沟胊n≤m成立的n的最大值為bm， 所以， 當(dāng)m=2t﹣1（t∈N*）時(shí)：， 當(dāng)m=2t（t∈N*）時(shí)：， 所以． 11、（1）因?yàn)?，故? ………………………………（1分） 因?yàn)椋?，…………?分） ， …………（3分） ． …………（4分） （2）解法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，，構(gòu)成公差不為的等差數(shù)列． 則得到，，．…（2分） 因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以， …………3分 所以，，化簡得， 解得（舍）,． …………………………………（5分） 經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)的公差不為0， 所以存在，使得，，構(gòu)成公差不為的等差數(shù)列． …………（6分） 方法二：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以， 即， …………………………………………（2分） 所以，即． 因?yàn)楣?，故，所以解得?………（5分） 經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，，的公差不為0． 所以存在，使得，，構(gòu)成公差不為的等差數(shù)列． …………（6分） （3）因?yàn)? …………（2分） 又 , 所以令 …………………………（3分） 由，，……，， 將上述不等式全部相加得，即， …………………（5分） 因此要使成立，只需， 所以，只要取正整數(shù)，就有． 綜上，當(dāng)時(shí)，總能找到，使得． 12、解：（1）等差數(shù)列滿足 得 所以， （2） 由上時(shí)， 由于當(dāng)時(shí)，，所以 （3）由 得對一切恒成立， 由于為減函數(shù)，所以，取值范圍是。 13、解:(1),,. 由得, 數(shù)列是以1為首項(xiàng)公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列是以1為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列,, (2)由(1)知,. ① ②令, (Ⅰ) 將(Ⅰ)式兩邊乘以3得 (Ⅱ) 將(Ⅰ)減(Ⅱ)得. , 14、解:(1)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng),公差, 所以任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列” 或者根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì): 所以任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列” (2)假設(shè)是等比數(shù)列,則 是“Z數(shù)列”,所以 ,所以不可能是等比數(shù)列, 等比數(shù)列只要首項(xiàng)公比 其他的也可以: 等比數(shù)列的首項(xiàng),公比,通項(xiàng)公式 恒成立, 補(bǔ)充說明:分析:, 根據(jù)幾何意義只要的一階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減就可以 (3)因?yàn)? ,,,, 同理: 因?yàn)閿?shù)列滿足對任意的 所以 15、(1)當(dāng)時(shí),由已知,得. 當(dāng)時(shí),由,,兩式相減得, 即,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列. 所以,() (2)由題意,,故,即, 因?yàn)?所以,即,解得, 所以.所以所得等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差為,共有項(xiàng) 所以這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和 所以,, (3)由(1)知,所以 由題意,,即對任意成立, 所以對任意成立 因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的,所以的最小值為. 所以.由得的取值范圍是. 所以,當(dāng)時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列