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2019-2020年高考數(shù)學大二輪總復(fù)習 增分策略 專題四 數(shù)列 推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題試題 1．(xx湖南)已知a＞0，函數(shù)f(x)＝eaxsin x(x∈[0，＋∞))．記xn為f(x)的從小到大的第n(n∈N*)個極值點，證明：數(shù)列{f(xn)}是等比數(shù)列． 　 　 　 　 　 　 2．(xx課標全國Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)證明{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式； (2)證明＋＋…＋<. 　 　 　 1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實際應(yīng)用問題相結(jié)合，考查數(shù)學建模和數(shù)學應(yīng)用. 熱點一　利用Sn，an的關(guān)系式求an 1．數(shù)列{an}中，an與Sn的關(guān)系： an＝. 2．求數(shù)列通項的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式． (2)在已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an. (3)在已知數(shù)列{an}中，滿足＝f(n)，且f(1)f(2)…f(n)可求，則可用累積法求數(shù)列的通項an. (4)將遞推關(guān)系進行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)． 例1　數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足＝1(n≥2)．求數(shù)列{an}的通項公式． 　 　 　 　 思維升華　給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an. 跟蹤演練1　已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝，則數(shù)列{an}的通項公式是________． 熱點二　數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進行準確的轉(zhuǎn)化．數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題． 例2　已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為f′(x)＝6x－2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn<對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m. 　 　 　 　 思維升華　解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時要特別重視；(2)解題時準確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件；(3)不等關(guān)系證明中進行適當?shù)姆趴s． 跟蹤演練2　(xx安徽)設(shè)n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標． (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥. 　 　 　 　 熱點三　數(shù)列的實際應(yīng)用 用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是合理建立數(shù)學模型——數(shù)列模型，弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型，它的首項是什么，項數(shù)是多少，然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題．求解時，要明確目標，即搞清是求和，還是求通項，還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題，還是解不等式問題，還是最值問題，然后進行合理推算，得出實際問題的結(jié)果． 例3　自從祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)，某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價值為上年年初的75%. (1)求第n年年初M的價值an的表達式； (2)設(shè)An＝，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對M更新，證明：必須在第九年年初對M更新． 　 　 　 思維升華　常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法 (1)產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值y＝N(1＋p)n. (2)銀行儲蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋r)n. (3)銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y＝a(1＋nr)． (4)分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b＝. 跟蹤演練3　某年“十一”期間，北京十家重點公園舉行免費游園活動，北海公園免費開放一天，早晨6時30分有2人進入公園，接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進去1人出來，第二個30分鐘內(nèi)有8人進去2人出來，第三個30分鐘內(nèi)有16人進去3人出來，第四個30分鐘內(nèi)有32人進去4人出來……按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是(　　) A．211－47 B．212－57 C．213－68 D．214－80 已知數(shù)列{an}和{bn}，對于任意的n∈N*，點P(n，an)都在經(jīng)過點A(－1,0)與點B(，3)的直線l上，并且點C(1,2)是函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)的圖象上一點，數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝f(n)－1. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)求證：數(shù)列{}的前n項和Tn<. 　 　 　 提醒：完成作業(yè)　專題四　第3講 二輪專題強化練 專題四 第3講　數(shù)列的綜合問題 A組　專題通關(guān) 1．(xx成都外國語學校月考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1(a≠0)，則數(shù)列{an}(　　) A．一定是等差數(shù)列 B．一定是等比數(shù)列 C．或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列 D．既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列 2．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 3．(xx日照一模)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－6n，則{|an|}的前n項和Tn等于(　　) A．6n－n2 B．n2－6n＋18 C. D. 4．(xx成都七中高三上學期期中)今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計)共織390尺布，則每天比前一天多織(　　)尺布．(不作近似計算)(　　) A. B. C. D. 5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)、g(x)滿足＝ax，且f′(x)g(x)0)及兩點A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.過A1，A2分別作x軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點，直線B1B2與x軸交于點A3(x3,0)，那么(　　) A．x1，，x2成等差數(shù)列 B．x1，，x2成等比數(shù)列 C．x1，x3，x2成等差數(shù)列 D．x1，x3，x2成等比數(shù)列 12．記數(shù)列{2n}的前n項和為an，數(shù)列{}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝n－8，則bnSn的最小值為________． 13．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若a⊥b，則數(shù)列{}的最大項的值為________． 14．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且對任意正整數(shù)n，點(an＋1，Sn)在直線2x＋y－2＝0上． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λn＋}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由． 學生用書答案精析 第3講　數(shù)列的綜合問題 高考真題體驗 1．證明　f′(x)＝aeaxsin x＋eaxcos x ＝eax(asin x＋cos x) ＝eaxsin(x＋φ)， 其中tan φ＝，0＜φ＜. 令f′(x)＝0，由x≥0得x＋φ＝mπ，即x＝mπ－φ，m∈N*，對k∈N，若2kπ＜x＋φ＜(2k＋1)π， 即2kπ－φ＜x＜(2k＋1)π－φ，則f′(x)＞0； 若(2k＋1)π＜x＋φ＜(2k＋2)π，即(2k＋1)π－φ＜x＜(2k＋2)π－φ，則f′(x)＜0. 因此，在區(qū)間((m－1)π，mπ－φ)與(mπ－φ，mπ)上，f′(x)的符號總相反． 于是當x＝mπ－φ(m∈N*)時，f(x)取得極值，所以xn＝nπ－φ(n∈N*)． 此時，f(xn)＝ea(nπ－φ)sin(nπ－φ) ＝(－1)n＋1ea(nπ－φ)sin φ. 易知f(xn)≠0，而＝＝－eaπ是常數(shù)， 故數(shù)列{f(xn)}是首項為f(x1)＝ea(π－φ)sin φ，公比為－eaπ的等比數(shù)列． 2．(1)解　由an＋1＝3an＋1 得an＋1＋＝3(an＋)． 又a1＋＝， 所以{an＋}是首項為，公比為3的等比數(shù)列． an＋＝，因此{an}的通項公式為an＝. (2)證明　由(1)知＝. 因為當n≥1時，3n－1≥23n－1， 所以≤. 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ＝(1－)<. 所以＋＋…＋<. 熱點分類突破 例1　解　由已知，當n≥2時，＝1， 所以＝1， 即＝1， 所以－＝. 又S1＝a1＝1， 所以數(shù)列{}是首項為1，公差為的等差數(shù)列． 所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝. 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 因此an＝ 跟蹤演練1　an＝2n 解析　Sn＝，當n＝1時，a1＝S1＝，解得a1＝2或a1＝0(舍去)． 當n≥2時，由an＝Sn－Sn－1＝－?a－a＝2(an＋an－1)，因為an>0，所以an＋an－1≠0，則an－an－1＝2， 所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，故an＝2n. 例2　解　(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b. 由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2， 所以f(x)＝3x2－2x. 又因為點(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù) y＝f(x)的圖象上， 所以Sn＝3n2－2n. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5； 當n＝1時，a1＝S1＝312－2＝61－5， 所以an＝6n－5(n∈N*)． (2)由(1)得bn＝＝ ＝， 故Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)． 因此，要使(1－)<對n∈N*恒成立，則m必須且僅需滿足≤，即m≥10.所以滿足要求的最小正整數(shù)為10. 跟蹤演練2　(1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2， 從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)． 令y＝0，解得切線與x軸交點的橫坐標xn＝1－＝. 所以數(shù)列{xn}的通項公式為xn＝. (2)證明　由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知 Tn＝xx…x＝22…2. 當n＝1時，T1＝. 當n≥2時，因為x＝2＝>＝＝. 所以Tn>2…＝. 綜上可得對任意的n∈N*，均有Tn≥. 例3　(1)解　當n≤6時，數(shù)列{an}是首項為120，公差為－10的等差數(shù)列， 故an＝120－10(n－1)＝130－10n， 當n≥7時，數(shù)列{an}從a6開始的項構(gòu)成一個以a6＝130－60＝70為首項，以為公比的等比數(shù)列，故an＝70()n－6， 所以第n年年初M的價值an＝ (2)證明　設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得 當1≤n≤6時，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80， 當n≥7時，由于S6＝570， 故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋704[1－()n－6]＝780－210()n－6. 因為{an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列． 因為An＝＝， A8＝≈82.734>80， A9＝≈76.823<80， 所以必須在第九年年初對M更新． 跟蹤演練3　B　[由題意，可知從早晨6時30分開始，接下來的每個30分鐘內(nèi)進入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，出來的人數(shù)構(gòu)成以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，記第n個30分鐘內(nèi)進入公園的人數(shù)為an，第n個30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn，則an＝42n－1，bn＝n，則上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)為S＝2＋－＝212－57.] 高考押題精練 (1)解　直線l的斜率為k＝＝2， 故直線l的方程為y＝2[x－(－1)]，即y＝2x＋2. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2. 把點C(1,2)代入函數(shù)f(x)＝ax，得a＝2， 所以數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝f(n)－1＝2n－1. 當n＝1時，b1＝S1＝1； 當n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1， 當n＝1時也適合， 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1. (2)證明　設(shè)cn＝， 由(1)知cn＝＝＝＝(－)， 所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)． 因為>0，所以Tn<. 二輪專題強化練答案精析 第3講　數(shù)列的綜合問題 1．C　[a1＝S1＝a－1，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1(n>0)．當a＝1時，Sn＝0，是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列；當a≠1時是等比數(shù)列．故選C.] 2．A　[記bn＝3n－2，則數(shù)列{bn}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝53＝15.] 3．C　[由Sn＝n2－6n可得，當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7. 當n＝1時，S1＝－5＝a1，也滿足上式， ∴an＝2n－7，n∈N*. ∴n≤3時，an<0；n>3時，an>0. ∴Tn＝] 4．C　[由題意可知，該女每天的織布量成等差數(shù)列，首項是5，公差為d，前30項和為390.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，有390＝305＋d，解得d＝.] 5．A　[令h(x)＝，則h′(x)＝<0，故函數(shù)h(x)為減函數(shù)， 即00， 所以函數(shù)f(x)min＝f()， 但6<<7，且f(6)＝－48，f(7)＝－49， 因為－48>－49，所以最小值為－49. 8．2n＋1－2 解析　∵an＋1－an＝2n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n. ∴Sn＝＝2n＋1－2. 9．(1)解　當n∈N*時，Sn＝2an－2n， 則當n≥2時，Sn－1＝2an－1－2(n－1)， 兩式相減得an＝2an－2an－1－2，即an＝2an－1＋2， ∴an＋2＝2(an－1＋2)，∴＝2， 當n＝1時，S1＝2a1－2，則a1＝2， ∴{an＋2}是以a1＋2＝4為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴an＋2＝42n－1，∴an＝2n＋1－2. (2)證明　bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1， ∴＝，則Tn＝＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得Tn＝＋＋＋…＋－ ＝＋－＝＋－－ ＝－，∴Tn＝－， 當n≥2時，Tn－Tn－1＝－＋＝>0， ∴{Tn}為遞增數(shù)列，∴Tn≥T1＝. 10．解　(1)∵bn＋1－bn＝－ ＝－ ＝－＝2(常數(shù))， ∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． ∵a1＝1，∴b1＝2， 因此bn＝2＋(n－1)2＝2n， 由bn＝得an＝. (2)由cn＝，an＝ 得cn＝， ∴cncn＋2＝＝2(－)， ∴Tn＝2(1－＋－＋－＋…＋－)＝2(1＋－－)<3， 依題意要使Tn<對于n∈N*恒成立， 只需≥3， 即≥3， 解得m≥3或m≤－4，又m為正整數(shù)， 所以m的最小值為3. 11．A　[由題意，得B1，B2兩點的坐標分別為(x1，)，(x2，)， 所以直線B1B2的方程為y＝－(x－x1)＋， 令y＝0，得x＝x1＋x2， 所以x3＝x1＋x2， 因此，x1，，x2成等差數(shù)列．] 12．－4 解析　根據(jù)已知，可得an＝n(n＋1)， 所以＝－， 所以Sn＝，所以bnSn＝＝n＋1＋－10≥－4， 當且僅當n＋1＝， 即n＝2時等號成立，所以bnSn的最小值為－4. 13. 解析　依題意得ab＝0，即2Sn＝n(n＋1)，Sn＝. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝n； 又a1＝S1＝＝1， 因此an＝n，＝＝＝≤，當且僅當n＝，n∈N*，即n＝2時取等號，因此數(shù)列{}的最大項的值為. 14．解　(1)由題意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.① 當n≥2時，2an＋Sn－1－2＝0.② ①－②，得2an＋1－2an＋an＝0， 所以＝(n≥2)． 因為a1＝1,2a2＋a1＝2，所以a2＝. 所以{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝()n－1. (2)由(1)知，Sn＝＝2－. 若{Sn＋λn＋}為等差數(shù)列，則S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差數(shù)列， 則2(S2＋)＝S1＋＋S3＋， 即2(＋)＝1＋＋＋，解得λ＝2. 又λ＝2時，Sn＋2n＋＝2n＋2， 顯然{2n＋2}成等差數(shù)列，故存在實數(shù)λ＝2， 使得數(shù)列{Sn＋λn＋}為等差數(shù)列．