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《第24章 圓》 　 一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分） 1．如圖，點A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32，∠ACO=38，則∠BOC等于（　?。? A．60 B．70 C．120 D．140 2．如圖，⊙O的直徑AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP：AP=1：5，則CD的長為（　?。? A．4 B．8 C．2 D．4 3．如圖，已知線段OA交⊙O于點B，且OB=AB，點P是⊙O上的一個動點，那么∠OAP的最大值是（　?。? A．90 B．60 C．45 D．30 4．如圖，已知⊙O1的半徑為1cm，⊙O2的半徑為2cm，將⊙O1，⊙O2放置在直線l上，如果⊙O1在直線l上任意滾動，那么圓心距O1O2的長不可能是（　?。? A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm 5．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD切⊙O于點A，點C是的中點，則下列結(jié)論不成立的是（　?。? A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 6．如圖，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點O1，O2，O3，O4分別是OA、OB、OC、OD的中點，若⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為（　?。? A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4 7．將半徑為3cm的圓形紙片沿AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為（　?。? A． B． C． D． 8．如圖，正方形ABCD中，分別以B、D為圓心，以正方形的邊長a為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的周長為（　?。? A．πa B．2πa C． D．3a 　 二、填空題（共4小題，每小題3分，滿分12分） 9．如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數(shù)是　　度． 10．如圖，△ABC和△A′B′C是兩個完全重合的直角三角板，∠B=30，斜邊長為10cm．三角板A′B′C繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A′落在AB邊上時，CA′旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長為　　cm． 11．已知一個扇形的半徑為60cm，圓心角為150，用它圍成一個圓錐的側(cè)面，那么圓錐的底面半徑為　　cm． 12．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫，連結(jié)AF，CF，則圖中陰影部分面積為　?。? 　 三、解答題（共3小題，滿分0分） 13．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為點E，AO=1． （1）求∠C的大??； （2）求陰影部分的面積． 14．如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點C作DA的平行線與AF相交于點F，CD=，BE=2．求證： （1）四邊形FADC是菱形； （2）FC是⊙O的切線． 15．如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經(jīng)過圓心O，交⊙O于C、D兩點，直徑AB⊥CD，點M是直線CD上異于點C、O、D的一個動點，AM所在的直線交于⊙O于點N，點P是直線CD上另一點，且PM=PN． （1）當(dāng)點M在⊙O內(nèi)部，如圖一，試判斷PN與⊙O的關(guān)系，并寫出證明過程； （2）當(dāng)點M在⊙O外部，如圖二，其它條件不變時，（1）的結(jié)論是否還成立？請說明理由； （3）當(dāng)點M在⊙O外部，如圖三，∠AMO=15，求圖中陰影部分的面積． 　  《第24章 圓》 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分） 1．如圖，點A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32，∠ACO=38，則∠BOC等于（　?。? A．60 B．70 C．120 D．140 【考點】圓周角定理． 【分析】過A、O作⊙O的直徑AD，分別在等腰△OAB、等腰△OAC中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出θ=2α+2β． 【解答】解：過A作⊙O的直徑，交⊙O于D； 在△OAB中，OA=OB， 則∠BOD=∠OBA+∠OAB=232=64， 同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=238=76， 故∠BOC=∠BOD+∠COD=140． 故選D 【點評】本題考查了圓周角定理，涉及了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠COD及∠BOD的度數(shù)． 　 2．如圖，⊙O的直徑AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP：AP=1：5，則CD的長為（　?。? A．4 B．8 C．2 D．4 【考點】垂徑定理；勾股定理． 【專題】探究型． 【分析】先根據(jù)⊙O的直徑AB=12求出OB的長，再由BP：AP=1：5求出BP的長，故可得出OP的長，連接OC，在Rt△OPC中利用勾股定理可求出PC的長，再根據(jù)垂徑定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵⊙O的直徑AB=12， ∴OB=AB=6， ∵BP：AP=1：5， ∴BP=AB=12=2， ∴OP=OB﹣BP=6﹣2=4， ∵CD⊥AB， ∴CD=2PC． 如圖，連接OC，在Rt△OPC中， ∵OC=6，OP=4， ∴PC===2， ∴CD=2PC=22=4． 故選D． 【點評】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 3．如圖，已知線段OA交⊙O于點B，且OB=AB，點P是⊙O上的一個動點，那么∠OAP的最大值是（　?。? A．90 B．60 C．45 D．30 【考點】切線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】當(dāng)AP與⊙O相切時，∠OAP有最大值，連結(jié)OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得OP⊥AP，由OB=AB得OA=2OP，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到此時∠OAP的度數(shù)． 【解答】解：當(dāng)AP與⊙O相切時，∠OAP有最大值，連結(jié)OP，如圖， 則OP⊥AP， ∵OB=AB， ∴OA=2OP， ∴∠PAO=30． 故選D． 【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 　 4．如圖，已知⊙O1的半徑為1cm，⊙O2的半徑為2cm，將⊙O1，⊙O2放置在直線l上，如果⊙O1在直線l上任意滾動，那么圓心距O1O2的長不可能是（　?。? A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm 【考點】圓與圓的位置關(guān)系． 【分析】根據(jù)在滾動的過程中兩圓的位置關(guān)系可以確定圓心距的關(guān)系． 【解答】解：∵⊙O1的半徑為1cm，⊙O2的半徑為2cm， ∴當(dāng)兩圓內(nèi)切時，圓心距為1， ∵⊙O1在直線l上任意滾動， ∴兩圓不可能內(nèi)含， ∴圓心距不能小于1， 故選D． 【點評】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，本題中兩圓不可能內(nèi)含． 　 5．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD切⊙O于點A，點C是的中點，則下列結(jié)論不成立的是（　?。? A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 【考點】切線的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理． 【專題】計算題． 【分析】由C為弧EB的中點，利用垂徑定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AE垂直于BE，即可確定出OC與AE平行，選項A正確； 由C為弧BE中點，即弧BC=弧CE，利用等弧對等弦，得到BC=EC，選項B正確； 由AD為圓的切線，得到AD垂直于OA，進(jìn)而確定出一對角互余，再由直角三角形ABE中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，選項C正確； AC不一定垂直于OE，選項D錯誤． 【解答】解：A、∵點C是的中點， ∴OC⊥BE， ∵AB為圓O的直徑， ∴AE⊥BE， ∴OC∥AE，本選項正確； B、∵=， ∴BC=CE，本選項正確； C、∵AD為圓O的切線， ∴AD⊥OA， ∴∠DAE+∠EAB=90， ∵∠EBA+∠EAB=90， ∴∠DAE=∠EBA，本選項正確； D、AC不一定垂直于OE，本選項錯誤， 故選D 【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及圓心角，弧及弦之間的關(guān)系，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 6．如圖，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點O1，O2，O3，O4分別是OA、OB、OC、OD的中點，若⊙O的半徑為2，則陰影部分的面積為（　?。? A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4 【考點】扇形面積的計算；圓與圓的位置關(guān)系． 【分析】首先根據(jù)已知得出正方形內(nèi)空白面積，進(jìn)而得出扇形COB中兩空白面積相等，進(jìn)而得出陰影部分面積． 【解答】解：如圖所示： 可得正方形EFMN，邊長為2， 正方形中兩部分陰影面積為：22﹣π12=4﹣π， ∴正方形內(nèi)空白面積為：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4， ∵⊙O的半徑為2， ∴O1，O2，O3，O4的半徑為1， ∴小圓的面積為：π12=π， 扇形COB的面積為： =π， ∴扇形COB中兩空白面積相等， ∴陰影部分的面積為：π22﹣2（2π﹣4）=8． 故選A． 【點評】此題主要考查了扇形的面積公式以及正方形面積公式，根據(jù)已知得出空白面積是解題關(guān)鍵． 　 7．將半徑為3cm的圓形紙片沿AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，用圖中陰影部分的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的高為（　　） A． B． C． D． 【考點】圓錐的計算． 【分析】過O點作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點C，由折疊的性質(zhì)可知OD為半徑的一半，而OA為半徑，可求∠A=30，同理可得∠B=30，在△AOB中，由內(nèi)角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的長，利用弧長公式求得圍成的圓錐的底面半徑，最后利用勾股定理求得其高即可． 【解答】解：過O點作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點C， 由折疊的性質(zhì)可知，OD=OC=OA， 由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30， 同理可得∠B=30， 在△AOB中，由內(nèi)角和定理， 得∠AOB=180﹣∠A﹣∠B=120 ∴弧AB的長為=2π 設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為r， 則2πr=2π ∴r=1cm ∴圓錐的高為=2 故選A． 【點評】本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，特殊直角三角形的判斷．關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得出含30的直角三角形． 　 8．如圖，正方形ABCD中，分別以B、D為圓心，以正方形的邊長a為半徑畫弧，形成樹葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的周長為（　?。? A．πa B．2πa C． D．3a 【考點】弧長的計算． 【分析】由圖可知，陰影部分的周長是兩個圓心角為90、半徑為a的扇形的弧長，可據(jù)此求出陰影部分的周長． 【解答】解：∵四邊形ABCD是邊長為a正方形， ∴∠B=∠D=90，AB=CB=AD=CD=a， ∴樹葉形圖案的周長=2=πa． 故選A． 【點評】本題考查了弧長的計算．解答該題時，需要牢記弧長公式l=（R是半徑）． 　 二、填空題（共4小題，每小題3分，滿分12分） 9．如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數(shù)是　48　度． 【考點】垂徑定理． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)點D是弦AC的中點，得到OD⊥AC，然后根據(jù)∠DOC=∠DOA即可求得答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴OA=OC ∵∠A=42 ∴∠ACO=∠A=42 ∵D為AC的中點， ∴OD⊥AC， ∴∠DOC=90﹣∠DCO=90﹣42=48． 故答案為：48． 【點評】本題考查了垂徑定理的知識，解題的關(guān)鍵是根的弦的中點得到弦的垂線． 　 10．如圖，△ABC和△A′B′C是兩個完全重合的直角三角板，∠B=30，斜邊長為10cm．三角板A′B′C繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A′落在AB邊上時，CA′旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長為　　cm． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；弧長的計算． 【分析】根據(jù)Rt△ABC中的30角所對的直角邊是斜邊的一半、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知△AA′C是等邊三角形，所以根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)利用弧長公式來求CA′旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30，AB=10cm， ∴AC=AB=5cm． 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，A′C=AC， ∴A′C=AB=5cm， ∴點A′是斜邊AB的中點， ∴AA′=AB=5cm， ∴AA′=A′C=AC， ∴∠A′CA=60， ∴CA′旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的扇形的弧長為： =（cm）． 故答案是：． 【點評】本題考查了弧長的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．解題的難點是推知點A′是斜邊AB的中點，同時，這也是解題的關(guān)鍵． 　 11．已知一個扇形的半徑為60cm，圓心角為150，用它圍成一個圓錐的側(cè)面，那么圓錐的底面半徑為　25　cm． 【考點】圓錐的計算． 【分析】首先利用扇形的弧長公式求得扇形的弧長，然后利用圓的周長公式即可求解． 【解答】解：扇形的弧長是： =50πcm， 設(shè)底面半徑是rcm，則2πr=50π， 解得：r=25． 故答案是：25． 【點評】考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長． 　 12．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫，連結(jié)AF，CF，則圖中陰影部分面積為　4π?。? 【考點】正方形的性質(zhì)；整式的混合運(yùn)算． 【專題】壓軸題． 【分析】設(shè)正方形EFGB的邊長為a，表示出CE、AG，然后根據(jù)陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF，列式計算即可得解． 【解答】解：設(shè)正方形EFGB的邊長為a，則CE=4﹣a，AG=4+a， 陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF =+a2+a（4﹣a）﹣a（4+a） =4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2 =4π． 故答案為：4π． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，整式的混合運(yùn)算，扇形的面積計算，引入小正方形的邊長這一中間量是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共3小題，滿分0分） 13．（2013?威海）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為點E，AO=1． （1）求∠C的大??； （2）求陰影部分的面積． 【考點】垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；扇形面積的計算． 【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得=，∠C=∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度數(shù)． （2）連接OB，根據(jù)（1）可求出∠AOB=120，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根據(jù)S陰影=S扇形OAB﹣S△OAB，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵CD是圓O的直徑，CD⊥AB， ∴=， ∴∠C=∠AOD， ∵∠AOD=∠COE， ∴∠C=∠COE， ∵AO⊥BC， ∴∠C=30． （2）連接OB， 由（1）知，∠C=30， ∴∠AOD=60， ∴∠AOB=120， 在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60， ∴AF=，OF=， ∴AB=， ∴S陰影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣=π﹣． 【點評】本題考查了垂徑定理及扇形的面積計算，解答本題的關(guān)鍵是利用解直角三角形的知識求出∠C、∠AOB的度數(shù)，難度一般． 　 14．（2013?聊城）如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點C作DA的平行線與AF相交于點F，CD=，BE=2．求證： （1）四邊形FADC是菱形； （2）FC是⊙O的切線． 【考點】切線的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）首先連接OC，由垂徑定理，可求得CE的長，又由勾股定理，可求得半徑OC的長，然后由勾股定理求得AD的長，即可得AD=CD，易證得四邊形FADC是平行四邊形，繼而證得四邊形FADC是菱形； （2）首先連接OF，易證得△AFO≌△CFO，繼而可證得FC是⊙O的切線． 【解答】證明：（1）連接OC， ∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=4=2， 設(shè)OC=x， ∵BE=2， ∴OE=x﹣2， 在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2， ∴x2=（x﹣2）2+（2）2， 解得：x=4， ∴OA=OC=4，OE=2， ∴AE=6， 在Rt△AED中，AD==4， ∴AD=CD， ∵AF是⊙O切線， ∴AF⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴AF∥CD， ∵CF∥AD， ∴四邊形FADC是平行四邊形， ∵AD=CD， ∴平行四邊形FADC是菱形； （2）連接OF，AC， ∵四邊形FADC是菱形， ∴FA=FC， ∴∠FAC=∠FCA， ∵AO=CO， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA， 即∠OCF=∠OAF=90， 即OC⊥FC， ∵點C在⊙O上， ∴FC是⊙O的切線． 【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 15．（2013?萊蕪）如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經(jīng)過圓心O，交⊙O于C、D兩點，直徑AB⊥CD，點M是直線CD上異于點C、O、D的一個動點，AM所在的直線交于⊙O于點N，點P是直線CD上另一點，且PM=PN． （1）當(dāng)點M在⊙O內(nèi)部，如圖一，試判斷PN與⊙O的關(guān)系，并寫出證明過程； （2）當(dāng)點M在⊙O外部，如圖二，其它條件不變時，（1）的結(jié)論是否還成立？請說明理由； （3）當(dāng)點M在⊙O外部，如圖三，∠AMO=15，求圖中陰影部分的面積． 【考點】圓的綜合題． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）根據(jù)切線的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA進(jìn)而求出即可； （2）根據(jù)已知得出∠PNM+∠ONA=90，進(jìn)而得出∠PNO=180﹣90=90即可得出答案； （3）首先根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠AON=30進(jìn)而利用扇形面積公式得出即可． 【解答】（1）PN與⊙O相切． 證明：連接ON， 則∠ONA=∠OAN， ∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN． ∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO． ∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠OAN=90． 即PN與⊙O相切． （2）成立． 證明：連接ON， 則∠ONA=∠OAN， ∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN． 在Rt△AOM中， ∵∠OMA+∠OAM=90， ∴∠PNM+∠ONA=90． ∴∠PNO=180﹣90=90． 即PN與⊙O相切． （3）解：連接ON，由（2）可知∠ONP=90． ∵∠AMO=15，PM=PN，∴∠PNM=15，∠OPN=30， ∴∠PON=60，∠AON=30． 作NE⊥OD，垂足為點E， 則NE=ON?sin60=1=． S陰影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON =OC?OA+CO?NE =11+π﹣1 =+π﹣． 【點評】此題主要考查了扇形面積公式以及切線的判定等知識，熟練根據(jù)切線的判定得出對應(yīng)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵． 　 第21頁（共21頁）