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2019/12/2,魯東大學(xué),信息學(xué)院,投 影 變 換,2019/12/2,魯東大學(xué),2,7.4 投影變換 7.4.1 基本概念,投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。 分類(lèi)： 平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過(guò)這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測(cè)圖。 觀察投影是指在觀察空間下進(jìn)行的圖形投影變換。,2019/12/2,魯東大學(xué),3,7.4 投影變換 7.4.1 基本概念,投影中心與投影平面之間的距離為無(wú)限,投影中心與投影平面之間的距離為有限,,,根據(jù)投影方向與投影平面的夾角,,根據(jù)投影平面與坐標(biāo)軸的夾角,,2019/12/2,魯東大學(xué),4,7.4 投影變換 7.4.1 基本概念,一、平面幾何投影 投影中心、投影面、投影線(xiàn)：,2019/12/2,魯東大學(xué),5,7.4 投影變換 7.4.1 基本概念,平面幾何投影可分為兩大類(lèi)： 透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的 平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無(wú)限的,2019/12/2,魯東大學(xué),6,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,平行投影可分成兩類(lèi)：正投影和斜投影。,2019/12/2,魯東大學(xué),7,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,一、正投影 正投影又可分為：三視圖和正軸測(cè)。 當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測(cè)圖。,2019/12/2,魯東大學(xué),8,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,三視圖：正視圖、側(cè)視圖和俯視圖,2019/12/2,魯東大學(xué),9,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,把三維空間的圖形在三個(gè)方向上所看到的棱線(xiàn)分別投影到三個(gè)坐標(biāo)面上。再經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換放置到同一平面上。,2019/12/2,魯東大學(xué),10,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,1、正平行投影（三視圖） 工程制圖中常用到的三視圖，是由空間一物體向三個(gè)互相垂直的投影面作正投影得到的。這三個(gè)投影面分別稱(chēng)為：正投影面V（ZOX)，側(cè)投影面W（YOZ），水平投影面H（XOY）。,V,O,U,Z,X,Y,Y,,2019/12/2,魯東大學(xué),11,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,正投影視圖 ①正投影是將立體向xoz面投影得到，投影結(jié)果為： x’ = x; y’=0; z’=z 為將點(diǎn)(x y z) 變換為(x’ y’ z’)，只需將點(diǎn)(x y z)作 如下變換即可：,三視圖,2019/12/2,魯東大學(xué),12,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,② 將該投影向左角移動(dòng)dx=tx,dy=tz; ③ 將x軸反向與U軸保持一致； ④ 將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到點(diǎn)(a,b)。,三視圖,2019/12/2,魯東大學(xué),13,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,俯投影視圖 1）將立體向xoy面作正投影，此時(shí)Z坐標(biāo)取0;,三視圖,2019/12/2,魯東大學(xué),14,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,2）使水平投影面繞X軸旋轉(zhuǎn)-90，使與正投影面處于同一平面； 3）最后讓圖形沿Z軸平移dx=tx , dy=ty; 將x軸、y軸反向以與U、V兩坐標(biāo)軸方向一致； 5）將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至點(diǎn)O,2019/12/2,魯東大學(xué),15,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,側(cè)投影視圖 先將立體向YOZ面作正投影（X坐標(biāo)取為0）；,2019/12/2,魯東大學(xué),16,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,2）使水平投影面繞Z軸旋轉(zhuǎn)90，使與正投影面處于同一平面； 3）最后讓圖形沿Z軸平移dx=ty , dy=tz; 4）將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至點(diǎn)O,2019/12/2,魯東大學(xué),17,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,1、正軸測(cè)圖: 當(dāng)投影方向不取坐標(biāo)軸方向，投影平面不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，產(chǎn)生的正投影稱(chēng)為正軸測(cè)投影。 正軸測(cè)投影分類(lèi)： 正等測(cè)：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等。沿三個(gè)軸線(xiàn)具有相同的變形系數(shù)。,2019/12/2,魯東大學(xué),18,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,正二測(cè)：投影平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等。沿兩個(gè)軸線(xiàn)具有相同的變形系數(shù)。,2019/12/2,魯東大學(xué),19,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,正三測(cè)：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不相等。沿三個(gè)軸線(xiàn)具有各不相同的變形系數(shù)。,2019/12/2,魯東大學(xué),20,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,正等測(cè)圖(等軸測(cè)),分析：對(duì)于正等測(cè)圖OA=OB=OC,正二測(cè)圖,分析：對(duì)于正二測(cè)圖OA、OB、OC有兩個(gè)相等，但與另一個(gè)不等,2019/12/2,魯東大學(xué),22,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,一、斜投影 斜投影圖，即斜軸測(cè)圖，是將三維形體向一個(gè)單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。（通常選擇投影面平行于某個(gè)主軸） 常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。,2019/12/2,魯東大學(xué),23,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,斜等測(cè)投影 投影平面與一坐標(biāo)軸垂直 投影線(xiàn)與投影平面成45角 與投影平面垂直的線(xiàn)投影后長(zhǎng)度不變 斜二測(cè)投影 投影平面與一坐標(biāo)軸垂直 投影線(xiàn)與該軸夾角成 arcctg(1/2)角 該軸軸向變形系數(shù)為 。即與投影平面垂直的線(xiàn)投影后長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半。,2019/12/2,魯東大學(xué),24,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,OP = OP’,α = ARCTG(2) OP = 2OP’,2019/12/2,魯東大學(xué),25,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,1． 已知投影方向矢量為（xp,yp,zp） 設(shè)形體被投影到XOY平面上 形體上的一點(diǎn)(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys) ∵投影方向矢量為(xp,yp,zp) ∴投影線(xiàn)的參數(shù)方程為：,2019/12/2,魯東大學(xué),26,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,因?yàn)?所以 若令,2019/12/2,魯東大學(xué),27,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,則矩陣式為：,2019/12/2,魯東大學(xué),28,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,2．設(shè)（xe,ye,ze）為任一點(diǎn)，（xs,ys）為（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影 設(shè)立方體上一點(diǎn) P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影P (lcosα,lsinα,0),投影方向?yàn)镻P,PP與投影面的夾角為β, α為投影與x軸的夾角，則投影方向矢量為(lcosα,lsinα,-1),2019/12/2,魯東大學(xué),29,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,現(xiàn)考慮任一點(diǎn)（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影（xs,ys） ∵投影方向與投影線(xiàn)PP’平行 所以,2019/12/2,魯東大學(xué),30,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,矩陣形式為：,斜等側(cè)中：l=1,β=45? 斜二側(cè)中：l=1/2, β=arctgα=63.4? 正平行投影：l=0, β=90?,2019/12/2,魯東大學(xué),31,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 透視的基本知識(shí),透視投影是一種中心投影法，在日常生活中，我們觀察外界的景物時(shí)，常會(huì)看到一些明顯的透視現(xiàn)象。 如：我們站在筆直的大街上，向遠(yuǎn)處看去，會(huì)感到街上具有相同高度的路燈柱子，顯得近處的高，遠(yuǎn)處的矮，越遠(yuǎn)越矮。這些路燈柱子，即使它們之間的距離相等，但是視覺(jué)產(chǎn)生的效果則是近處的間隔顯得大，遠(yuǎn)處的間隔顯得小，越遠(yuǎn)越密。觀察道路的寬度，也會(huì)感到越遠(yuǎn)越窄，最后匯聚于一點(diǎn)。這些現(xiàn)象，稱(chēng)之為透視現(xiàn)象。 產(chǎn)生透視的原因，可用下圖來(lái)說(shuō)明：,2019/12/2,魯東大學(xué),32,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 透視的基本知識(shí),圖中，AA,BB,CC為一組高度和間隔都相等，排成一條直線(xiàn)的電線(xiàn)桿，從視點(diǎn)E去看，發(fā)現(xiàn) ∠AEA?∠BEB?∠CEC? 若在視點(diǎn)E與物體間設(shè)置一個(gè)透明的畫(huà)面P,讓P通過(guò)AA‘，則在畫(huà)面上看到的各電線(xiàn)桿的投影aabbcc aa即EA,EA與畫(huà)面P的交點(diǎn)的連線(xiàn); bb即為EB，EB與畫(huà)面P的交點(diǎn)的連線(xiàn)。 cc 即為EC，EC與畫(huà)面P的交點(diǎn)的連線(xiàn)。 ∴近大遠(yuǎn)小,2019/12/2,魯東大學(xué),33,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 透視的基本知識(shí),若連a,b,c及a,b,c各點(diǎn)，它們的連線(xiàn)匯聚于一點(diǎn)。 然而，實(shí)際上，A,B,C與A?，B?，C?的連線(xiàn)是兩條互相平行的直線(xiàn)，這說(shuō)明空間不平行于畫(huà)面(投影面）的一切平行線(xiàn)的透視投影，即a,b,c與a,b,c的連線(xiàn)，必交于一點(diǎn)，這點(diǎn)我們稱(chēng)之為滅點(diǎn)。,2019/12/2,魯東大學(xué),34,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 滅點(diǎn),不平行于投影面的平行線(xiàn)的投影會(huì)匯聚到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為滅點(diǎn)(Vanishing Point)。 坐標(biāo)軸方向的平行線(xiàn)在投影面上形成的滅點(diǎn)稱(chēng)作主滅點(diǎn)。 一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行。 兩點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行。 三點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。,2019/12/2,魯東大學(xué),35,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 透視舉例,一、 簡(jiǎn)單的一點(diǎn)透視投影變換,P0 ： 視點(diǎn) S平面： 投影面，屏幕畫(huà)面 點(diǎn)Qw的透視：P0Qw與平面S的交點(diǎn),當(dāng)投影面與某軸垂直時(shí)為一點(diǎn)透視；當(dāng)投影面平行于某坐標(biāo)軸，但與另外兩軸不垂直時(shí)為二點(diǎn)透視；否則為三點(diǎn)透視,Qw (Xw, Yw, Zw) Qs (Xs, Ys),簡(jiǎn)單的一點(diǎn)透視投影變換(續(xù)),討論：,利用幾何關(guān)系可得：,若令用戶(hù)坐標(biāo)系(屏幕坐標(biāo))的原點(diǎn)在O，則 Z1＝ 0，上式可簡(jiǎn)化為：,討論(續(xù))：,(2) 上述變換可寫(xiě)為,回憶前面對(duì)齊次坐標(biāo)變換矩陣的討論，知若 g ＝ -1/ Z2，則主滅點(diǎn)在 Z 軸上 Z＝ 1/g 處,魯東大學(xué),討論(續(xù))：,(3) 類(lèi)似，若主滅點(diǎn)在 Y 軸或 X 軸上，變換矩陣可分別寫(xiě)為：,2019/12/2,魯東大學(xué),40,二點(diǎn)透視投影的變換矩陣,２) 二點(diǎn)透視 在變換矩陣中，第四列的p,q,r起透視變換作用 當(dāng)p、q、r中有兩個(gè)不為0時(shí)的透視變換稱(chēng)為二點(diǎn)透視變換。假定p!=0, r!=0, q=0; 將空間上一點(diǎn)(x,y,z)進(jìn)行變換，可得如下結(jié)果：,2019/12/2,魯東大學(xué),41,二點(diǎn)透視投影的變換矩陣,由上式可看出： 當(dāng)x-∞時(shí)，在X軸上1/p處有一個(gè)滅點(diǎn)； 當(dāng)z-∞時(shí)，在Z軸上1/r處有一個(gè)滅點(diǎn)；,經(jīng)齊次化處理后得：,2019/12/2,魯東大學(xué),42,三點(diǎn)透視投影的變換矩陣,３)三點(diǎn)透視 類(lèi)似，若p,q,r都不為0，則可得到有三個(gè)滅點(diǎn)的三點(diǎn)透視。,經(jīng)齊次化處理后得：,2019/12/2,魯東大學(xué),43,三點(diǎn)透視投影的變換矩陣,由上式可看出： 當(dāng)x-∞時(shí)，在X軸上1/p處有一個(gè)滅點(diǎn)； 當(dāng)y-∞時(shí)，在Y軸上1/q處有一個(gè)滅點(diǎn); 當(dāng)z-∞時(shí)，在Z軸上1/r處有一個(gè)滅點(diǎn)；,2019/12/2,魯東大學(xué),44,7.5 三維裁剪,三維窗口經(jīng)投影變換后，在平行投影時(shí)為立方體，在透視投影時(shí)為四棱臺(tái)。 三維線(xiàn)段裁剪就是要顯示一條三維線(xiàn)段落在三維窗口內(nèi)的部分線(xiàn)段。 本課以平行投影為例討論三維線(xiàn)段的裁剪算法 對(duì)于立方體裁剪窗口六個(gè)面的方程分別是： x = -1; x = 1 y = -1; y = 1 z = -1; z = 1,2019/12/2,魯東大學(xué),45,空間任一條直線(xiàn)段P1(x1, y1, z1)、P2(x2, y2, z2)。P1P2端點(diǎn)和六個(gè)面的關(guān)系可轉(zhuǎn)換為一個(gè)6位二進(jìn)制代碼表示，其定義如下,2019/12/2,魯東大學(xué),46,,第1位為1： 點(diǎn)在裁剪窗口的上面，即y1; 否則第1位為0 第2位為1： 點(diǎn)在裁剪窗口的下面，即y1; 否則第3位為0 上,第4位為1： 點(diǎn)在裁剪窗口的左面，即x1; 否則第5位為0 第6位為1： 點(diǎn)在裁剪窗口的前面，即z-1; 否則第6位為0 即： 前后左右下,2019/12/2,魯東大學(xué),47,計(jì)算原理,如同二維線(xiàn)段對(duì)矩形窗口的編碼裁剪算法一樣， (1) 若一條線(xiàn)段的兩端點(diǎn)的編碼都是0，則線(xiàn)段落在窗口的空間內(nèi)； (2) 若兩端點(diǎn)編碼的邏輯與（逐位進(jìn)行）為非0，則此線(xiàn)段在窗口的空間以外 否則，需對(duì)此線(xiàn)段作分段處理，即要計(jì)算此線(xiàn)段和窗口空間相應(yīng)平面的交點(diǎn)，并取有效交點(diǎn),2019/12/2,魯東大學(xué),48,計(jì)算方法,l 對(duì)任意一條三維線(xiàn)段的參數(shù)方程可寫(xiě)成： x = x1 + ( x2 – x1) t = x1 + p . t （1） y = y1 + ( y2 – y1) t = y1 + q . t （2） z = z1 + ( z2 – z1) t = z1 + r . t （3） 0 = t = 1 l 而裁剪空間六個(gè)平面方程的一般表達(dá)式為： a x + b y + c z + d = 0 （4） l 把直線(xiàn)方程代入平面方程求得： t = - ( a x1 + b y1 + c z1+d ) / ( a * p + b * q + c * r) （5）,2019/12/2,魯東大學(xué),49,假如要求一條直線(xiàn)與裁剪空間上平面的交點(diǎn) 將 y = 1 代入 方程（2）得 t = ( 1 – y1 ) / q (1)若t 不在 [0 1] 的區(qū)間內(nèi)，則交點(diǎn)在裁剪空間以外 (2)若t 在 [0 1] 的區(qū)間內(nèi)，則將t 代入式（1）和（3）分別得： x = x1 + ( 1 – y1) * p / q z = z1 + ( 1 – y1) * r / q,2019/12/2,魯東大學(xué),50,,故三維線(xiàn)段與裁剪窗口的有效交點(diǎn)為 (x1+(1–y1)*p /q, 1,z1 +(1–y1)*r /q） 類(lèi)似地可求得其他5個(gè)面與直線(xiàn)段的有效交點(diǎn)，連接有效交點(diǎn)可得到落在裁剪窗口內(nèi)的有效線(xiàn)段。 按照上述編碼方法，可以很方便地將二維的Cohen – Sutherland 算法與中點(diǎn)分割算法推廣到三維，只要把二維算法中計(jì)算線(xiàn)段與窗口邊界線(xiàn)交點(diǎn)的部分換成計(jì)算線(xiàn)段與三維裁剪空間側(cè)面的交點(diǎn)即可,