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題型五 幾何圖形探究題,專題二 解答重難點題型突破,類型一 幾何圖形靜態(tài)探究(2017.22，2015.22) 【例1】(2016河南)(1)發(fā)現：如圖①，點A為線段BC外一動點，且BC＝a，AB＝b. 填空：當點A位于________時，線段AC的長取得最大值，且最大值為________？(用含a，b的式子表示)； (2)應用：點A為線段BC外一動點，且BC＝3，AB＝1，如圖②所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE. ①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由； ②直接寫出線段BE長的最大值．,(3)拓展：如圖③，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(5，0)，點P為線段AB外一動點，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．,【分析】(1)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值；(2)①根據已知等邊△ABD，BE、CD所在△CAD和△EAB中含等邊三角形的兩邊，進而考慮證△CAD≌△EAB進行求解；②根據①中CD＝BE，由點A為動點BC外動點，轉化為(1)中情形求解；(3)要求AM的最大值，由點P為AB外一動點，將△APM繞著點P順時針旋轉90得到△PBN，連接AN，得到與AM相等的線段BN，進而將問題轉化為“線段外一動點N，求NB的最大值”，結合(1)中結論即可求解．確定AM最大時點P位置，通過等腰直角三角形的性質即可求點P的坐標．,②∵BE＝CD， 由(1)知，當線段CD的長取得最大值時，點D在線段CB的延長線上， ∴最大值為BD＋BC＝AB＋BC＝4； ∴BE長最大為4,【對應訓練】 1．(2016鄭州模擬)(1)【問題發(fā)現】小明遇到這樣一個問題： 如圖①，△ABC是等邊三角形，點D為BC的中點，且滿足∠ADE＝60，DE交等邊三角形外角平分線CE所在直線于點E，試探究AD與DE的數量關系．小明發(fā)現，過點D作DF∥AC，交AB于點F，通過構造全等三角形，經過推理論證，能夠使問題得到解決，請直接寫出AD與DE的數量關系：________；,(2)【類比探究】如圖②，當點D是線段BC上(除B，C外)任意一點時(其他條件不變)，試猜想AD與DE之間的數量關系，并證明你的結論． (3)【拓展應用】當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD＝BC(其他條件不變)時，請直接寫出△ABC與△ADE的面積之比．,(2)AD＝DE； 證明：如解圖①，過點D作DF∥AC，交AB于點F， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60， 又∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BFD＝60， ∴△BDF是等邊三角形，BF＝BD＝DF，∠BFD＝60， ∴AF＝CD，∠AFD＝120， ∵EC是外角的平分線，∠DCE＝120＝∠AFD， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC＝∠B＋∠FAD＝60＋∠FAD，,類型二 幾何圖形動態(tài)探究(2016.22，2014、2013、2012.22) 【例2】(2017河南)如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點． (1)觀察猜想 圖①中，線段PM與PN的數量關系是______________________________________________， 位置關系是________；,(2)探究證明 把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖②的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由； (3)拓展延伸 把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．,【對應訓練】 1．(2017濮陽模擬)(1)【問題發(fā)現】 如圖①，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數量關系為________； (2)【拓展研究】 在(1)的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數量關系有無變化？請僅就圖②的情形給出證明； (3)【問題發(fā)現】 當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，直接寫出線段AF的長.,2．(2017郴州)如圖①，△ABC是邊長為4 cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6 cm，點D從O點出發(fā)，沿OM的方向以1 cm/s的速度運動，當D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60得到△BCE，連接DE.,(1)求證：△CDE是等邊三角形； (2)如圖②，當6＜t＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周長；若不存在，請說明理由； (3)如圖③，當點D在射線OM上運動時，是否存在以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．,(3)存在．①∵當點D與點B重合時，D，B，E不能構成三角形， ∴當點D與點B重合時，不符合題意， ②當0≤t＜6時，由旋轉可知，∠ABE＝60，∠BDE＜60，∴∠BED＝90， 由(1)可知，△CDE是等邊三角形，∴∠DEC＝60， ∴∠CEB＝30， ∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30， ∵∠CAB＝60，∴∠ACD＝∠ADC＝30， ∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA－DA＝6－4＝2， ∴t＝21＝2 s；,③當6＜t＜10 s時，由∠DBE＝120＞90， ∴此時不存在； ④當t＞10 s時，由旋轉的性質可知，∠DBE＝60， 又由(1)知∠CDE＝60， ∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60＋∠BDC， 而∠BDC＞0，∴∠BDE＞60， ∴只能∠BDE＝90， 從而∠BCD＝30，∴BD＝BC＝4， ∴OD＝14 cm，∴t＝141＝14 s， 綜上所述：當t＝2或14 s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.,