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2015-2016學(xué)年天津市南開區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一．選擇題（共36分） 1．方程x（x+）=0的根是( ) A．x1=0，x2= B．x1=0，x2=﹣ C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 2．下列四個(gè)圖形分別是四屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中屬于中心對稱圖形的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 3．關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( ) A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0 4．設(shè)二次函數(shù)y=（x﹣3）2﹣4圖象的對稱軸為直線l，若點(diǎn)M在直線l上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可能是( ) A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣4） 5．如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的⊙P與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn)，則∠ACB=( ) A．80 B．90 C．100 D．無法確定 6．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，則∠PAB=( ) A．30 B．35 C．45 D．60 7．將拋物線y=x2+1先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，那么所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是( ) A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2 8．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論： ①二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的最大值為4； ②4a+2b+c＜0； ③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣2； ④使y≤3成立的x的取值范圍是﹣3≤x≤1． 其中正確的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，得到△AB′C′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為( ) A．（2，1） B．（2，3） C．（4，1） D．（0，2） 10．如圖，一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c的圖象可能是( ) A． B． C． D． 11．如圖，若正△A1B1C1內(nèi)接于正△ABC的內(nèi)切圓，則△A1B1C1與△ABC的面積的比值為( ) A． B． C． D． 12．如圖，已知邊長為2的正三角形ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），BC的中點(diǎn)D在y軸上，且在點(diǎn)A下方，點(diǎn)E是邊長為2、中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中DE的最小值為( ) A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣2 二.填空題：共18分. 13．坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P（m，2）與點(diǎn)Q（3，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m=__________． 14．若拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）的頂點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍為__________( 15．請寫出一個(gè)二次函數(shù)，使其滿足以下條件：①圖象過點(diǎn)（2，﹣2）；②當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而增大；它的解析式可以是__________( 16．若小唐同學(xué)擲出的鉛球在場地上砸出一個(gè)直徑約為10cm、深約為2cm的小坑，則該鉛球的直徑約為__________cm． 17．某校去年對實(shí)驗(yàn)器材的投資為2萬元，預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬元，若設(shè)該校這兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長率為x，則可列方程：__________． 18．拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨著x的增大而減小．下列結(jié)論：①abc＞0；②a+b＞0；③若點(diǎn)A（﹣3，y1），點(diǎn)B（3，y2）都在拋物線上，則y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，則b2﹣4ac≤4a．其中結(jié)論錯(cuò)誤的是__________．（只填寫序號） 三．解答題：本大題共7小題，共66分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程. 19．（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（適當(dāng)方法） （2）2x2+1=3x（配方法） 20．二次函數(shù)中y=ax2+bx﹣3的x、y滿足表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m … （1）求該二次函數(shù)的解析式； （2）求m的值并直接寫出對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)． 21．如圖，在圓O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60． （1）求∠COB的度數(shù)； （2）求CD的長． 22．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)C在線段AB的延長線上，點(diǎn)D在⊙O上，連接CD，且CD=OA，OC=2．求證：CD是⊙O的切線． 23．某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在如圖所示的兩處各留1m寬的門，已知計(jì)劃中的材料可建墻體（不包括門）總長為28m，求建成的飼養(yǎng)室總面積的最大值（墻體厚度忽略不計(jì)）． 24．在Rt△ABC中，∠A=90，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P． （1）如圖1，當(dāng)α=90時(shí)，線段BD1的長等于__________，線段CE1的長等于__________；（直接填寫結(jié)果） （2）如圖2，當(dāng)α=135時(shí)，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1； （3）求點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值．（直接寫出結(jié)果） 25．如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．若拋物線y=﹣x2+bx+c過A，B兩點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐標(biāo)，不存在說明理由； （3）若點(diǎn)M是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點(diǎn)，△MAB面積為S，求S的最大（?。┲担?  2015-2016學(xué)年天津市南開區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一．選擇題（共36分） 1．方程x（x+）=0的根是( ) A．x1=0，x2= B．x1=0，x2=﹣ C．x1=0，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計(jì)算題；一次方程（組）及應(yīng)用． 【分析】方程利用兩數(shù)之積等于0，兩數(shù)至少有一個(gè)為0求出解即可． 【解答】解：方程x（x+）=0， 可得x=0或x+=0， 解得：x1=0，x2=﹣． 故選B 【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵． 2．下列四個(gè)圖形分別是四屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中屬于中心對稱圖形的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】中心對稱圖形． 【分析】根據(jù)中心對稱的概念對各圖形分析判斷即可得解． 【解答】解：第一個(gè)圖形是中心對稱圖形， 第二個(gè)圖形不是中心對稱圖形， 第三個(gè)圖形是中心對稱圖形， 第四個(gè)圖形不是中心對稱圖形， 所以，中心對稱圖有2個(gè)． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 3．關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( ) A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0 【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】在判斷一元二次方程根的情況的問題中，必須滿足下列條件：（1）二次項(xiàng)系數(shù)不為零；（2）在有不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，必須滿足△=b2﹣4ac＞0 【解答】解：依題意列方程組 ， 解得k＜1且k≠0． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件． 4．設(shè)二次函數(shù)y=（x﹣3）2﹣4圖象的對稱軸為直線l，若點(diǎn)M在直線l上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可能是( ) A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣4） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得出直線l的方程為x=3，點(diǎn)M在直線l上則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)一定為3，從而選出答案． 【解答】解：∵二次函數(shù)y=（x﹣3）2﹣4圖象的對稱軸為直線x=3， ∴直線l上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是3， ∵點(diǎn)M在直線l上， ∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3， 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸是x=h． 5．如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的⊙P與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧OB上一點(diǎn)，則∠ACB=( ) A．80 B．90 C．100 D．無法確定 【考點(diǎn)】圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】由∠AOB與∠ACB是優(yōu)弧AB所對的圓周角，根據(jù)圓周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90． 【解答】解：∵∠AOB與∠ACB是優(yōu)弧AB所對的圓周角， ∴∠AOB=∠ACB， ∵∠AOB=90， ∴∠ACB=90． 故選B． 【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是觀察圖形，得到∠AOB與∠ACB是優(yōu)弧AB所對的圓周角． 6．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，則∠PAB=( ) A．30 B．35 C．45 D．60 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；正多邊形和圓． 【分析】連接OB，AD，BD，由多邊形是正六邊形可求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可求出∠ADB的度數(shù)，利用弦切角定理∠PAB． 【解答】解：連接OB，AD，BD， ∵多邊形ABCDEF是正多邊形， ∴AD為外接圓的直徑， ∠AOB==60， ∴∠ADB=∠AOB=60=30． ∵直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A， ∴∠PAB=∠ADB=30， 故選A． 【點(diǎn)評】本題主要考查了正多邊形和圓，切線的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用弦切角定理是解答此題的關(guān)鍵． 7．將拋物線y=x2+1先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，那么所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是( ) A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【專題】幾何變換． 【分析】先利用頂點(diǎn)式得到拋物線y=x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），再利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)（0，1）平移后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式． 【解答】解：拋物線y=x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），把點(diǎn)（0，1）先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），所以所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=（x+2）2﹣2． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式． 8．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論： ①二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的最大值為4； ②4a+2b+c＜0； ③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣2； ④使y≤3成立的x的取值范圍是﹣3≤x≤1． 其中正確的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的最值；拋物線與x軸的交點(diǎn)． 【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)及頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論． 【解答】解：①∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）， ∴二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的最大值為4，故①正確； ②∵當(dāng)x=2時(shí)，y＜0， ∴4a+2b+c＜0，故②正確； ③∵拋物線與x軸的交點(diǎn)分別是（﹣3，0），（1，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根之和=﹣3+1=﹣2，故③正確； ④由函數(shù)圖象可知，當(dāng)y≤3時(shí)，x≥0或x≤2，故④錯(cuò)誤． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式組，能利用函數(shù)圖象求出不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵． 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，得到△AB′C′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為( ) A．（2，1） B．（2，3） C．（4，1） D．（0，2） 【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)． 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)角，找到B，結(jié)合直角坐標(biāo)系可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)． 【解答】解：如圖所示： 結(jié)合圖形可得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（2，1）． 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化，解答本題的關(guān)鍵是找到旋轉(zhuǎn)的三要素，找到點(diǎn)B的位置． 10．如圖，一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c的圖象可能是( ) A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；正比例函數(shù)的圖象． 【分析】由一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點(diǎn)，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有兩個(gè)不相等的根，進(jìn)而得出函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系得出函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c的對稱軸x=﹣＞0，即可進(jìn)行判斷． 【解答】解：∵一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點(diǎn)， ∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有兩個(gè)不相等的根， ∴函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)， ∵﹣＞0，a＞0 ∴﹣=﹣+＞0 ∴函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c的對稱軸x=﹣＞0， ∵a＞0，開口向上， ∴A符合條件， 故選A． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，直線和拋物線的交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)和方程的關(guān)系以及方程和二次函數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 11．如圖，若正△A1B1C1內(nèi)接于正△ABC的內(nèi)切圓，則△A1B1C1與△ABC的面積的比值為( ) A． B． C． D． 【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心． 【分析】由于△ABC、△A1B1C1都是正三角形，因此它們的外心與內(nèi)心重合；可過O分別作AB、A1B1的垂線，連接OA、OA1；在構(gòu)建的含特殊角的直角三角形中，用⊙O的半徑分別表示出AB、A1B1的長，進(jìn)而可求出它們的比例關(guān)系，進(jìn)而得出△A1B1C1與△ABC的面積的比值． 【解答】解：設(shè)圓心為O，AB與圓相切于點(diǎn)D，連接AO，DO， ∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形， ∴它們的內(nèi)心與外心重合； 如圖：設(shè)圓的半徑為R； Rt△OAD中，∠OAD=30，OD=R； AO=OD?=R， 即AB=2R； 同理可求得：A1B1=R， ∴==， 則△A1B1C1與△ABC的面積的比值為：（） 2=． 故選：C． 【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及正多邊形的內(nèi)外心重合等知識(shí)，得出=是解題關(guān)鍵． 12．如圖，已知邊長為2的正三角形ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），BC的中點(diǎn)D在y軸上，且在點(diǎn)A下方，點(diǎn)E是邊長為2、中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中DE的最小值為( ) A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣2 【考點(diǎn)】正多邊形和圓；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】首先得到當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至y軸上時(shí)DE最小，然后分別求得AD、OE′的長，最后求得DE′的長即可． 【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至y軸上時(shí)DE最?。? ∵△ABC是等邊三角形，D為BC的中點(diǎn)， ∴AD⊥BC ∵AB=BC=2 ∴AD=AB?sin∠B=， ∵正六邊形的邊長等于其半徑，正六邊形的邊長為2， ∴OE=OE′=2 ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6） ∴OA=6 ∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣ 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形的計(jì)算及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是從圖形中整理出直角三角形． 二.填空題：共18分. 13．坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P（m，2）與點(diǎn)Q（3，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m=﹣3． 【考點(diǎn)】關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是（﹣x，﹣y），記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶． 【解答】解：平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是（﹣x，﹣y），所以m=﹣3． 【點(diǎn)評】關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，是需要識(shí)記的基本問題． 14．若拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）的頂點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍為m＞0( 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】直接利用頂點(diǎn)形式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合第一象限點(diǎn)的特點(diǎn)列出不等式組解答即可． 【解答】解：∵拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+1）， ∵頂點(diǎn)在第一象限， ∴m＞0，m+1＞0， ∴m的取值范圍為m＞0． 故答案為：m＞0． 【點(diǎn)評】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），以及各個(gè)象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 15．請寫出一個(gè)二次函數(shù)，使其滿足以下條件：①圖象過點(diǎn)（2，﹣2）；②當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x增大而增大；它的解析式可以是y=﹣2x2+6( 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】開放型． 【分析】根據(jù)該函數(shù)的增減性確定其比例系數(shù)的取值，然后代入已知點(diǎn)后即可求得其解析式． 【解答】解：∵當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大， ∴設(shè)解析式為：y=﹣2x2+b， ∵圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣2）， ∴﹣2=﹣222+b， 解得：b=6． ∴解析式為：y=﹣2x2+6（答案不唯一）． 故答案為：y=﹣2x2+6（答案不唯一）． 【點(diǎn)評】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握性質(zhì)，設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解決問題的關(guān)鍵． 16．若小唐同學(xué)擲出的鉛球在場地上砸出一個(gè)直徑約為10cm、深約為2cm的小坑，則該鉛球的直徑約為14.5cm． 【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】根據(jù)題意，把實(shí)際問題抽象成幾何問題，即圓中與弦有關(guān)的問題，根據(jù)垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，小坑的直徑就是圓中的弦長，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，即可求出鉛球的直徑． 【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形如圖所示， 由題意知，AB=10，CD=2，OD是半徑，且OC⊥AB， ∴AC=CB=5， 設(shè)鉛球的半徑為r，則OC=r﹣2， 在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理，OC2+AC2=OA2， 即（r﹣2）2+52=r2， 解得：r=7.25， 所以鉛球的直徑為：27.25=14.5 cm． 【點(diǎn)評】解決與弦有關(guān)的問題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2=d2+（）2成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè)． 17．某校去年對實(shí)驗(yàn)器材的投資為2萬元，預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬元，若設(shè)該校這兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長率為x，則可列方程：2（1+x）+2（1+x）2=8． 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程． 【專題】增長率問題． 【分析】關(guān)鍵描述語是：“預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬元”，等量關(guān)系為：今年的投資的總額+明年的投資總額=8，把相關(guān)數(shù)值代入即可． 【解答】解：∵去年對實(shí)驗(yàn)器材的投資為2萬元，該校這兩年在實(shí)驗(yàn)器材投資上的平均增長率為x， ∴今年的投資總額為2（1+x）；明年的投資總額為2（1+x）2； ∵預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為8萬元， ∴2（1+x）+2（1+x）2=8． 【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是找到相關(guān)量的等量關(guān)系，注意預(yù)計(jì)明年的投資總額是在今年的投資總額的基礎(chǔ)上增加的． 18．拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨著x的增大而減小．下列結(jié)論：①abc＞0；②a+b＞0；③若點(diǎn)A（﹣3，y1），點(diǎn)B（3，y2）都在拋物線上，則y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，則b2﹣4ac≤4a．其中結(jié)論錯(cuò)誤的是③⑤．（只填寫序號） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 【分析】根據(jù)題意畫出拋物線的大致圖象，利用函數(shù)圖象，由拋物線開口方向得a＞0，由拋物線的對稱軸位置得b＜0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得c＜0，于是可對①進(jìn)行判斷；由于拋物線過點(diǎn)（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根據(jù)拋物線的對稱性和對稱軸方程得到0＜﹣＜，變形可得a+b＞0，則可對②進(jìn)行判斷；利用點(diǎn)A（﹣3，y1）和點(diǎn)B（3，y2）到對稱軸的距離的大小可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，兩式相減得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左邊分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，則可對④進(jìn)行判斷；根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)公式和拋物線對稱軸的位置得到＜c≤﹣1，變形得到b2﹣4ac＞4a，則可對⑤進(jìn)行判斷． 【解答】解：如圖， ∵拋物線開口向上， ∴a＞0， ∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)， ∴b＜0， ∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①的結(jié)論正確； ∵拋物線過點(diǎn)（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2， ∴0＜﹣＜， ∴+=＞0，∴a+b＞0，所以②的結(jié)論正確； ∵點(diǎn)A（﹣3，y1）到對稱軸的距離比點(diǎn)B（3，y2）到對稱軸的距離遠(yuǎn)， ∴y1＞y2，所以③的結(jié)論錯(cuò)誤； ∵拋物線過點(diǎn)（﹣1，0），（m，0）， ∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0， ∴am2﹣a+bm+b=0， a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0， ∴a（m﹣1）+b=0，所以④的結(jié)論正確； ∵＜c， 而c≤﹣1， ∴＜﹣1， ∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的結(jié)論錯(cuò)誤． 故答案為③⑤． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)． 三．解答題：本大題共7小題，共66分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程. 19．（1）x（x﹣2）+x﹣2=0（適當(dāng)方法） （2）2x2+1=3x（配方法） 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【專題】計(jì)算題；一次方程（組）及應(yīng)用． 【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可． 【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0， 可得x﹣2=0或x+1=0， 解得：x1=2，x2=﹣1； （2）方程整理得：x2﹣x=﹣， 配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=， 開方得：x﹣=， 解得：x1=1，x2=． 【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵． 20．二次函數(shù)中y=ax2+bx﹣3的x、y滿足表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m … （1）求該二次函數(shù)的解析式； （2）求m的值并直接寫出對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，再取三組對應(yīng)值代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組即可； （2）先把一般式化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解． 【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c， 把（﹣1，0），（0，﹣3），（1，﹣4）代入得，解得a=1，b=﹣2，c=﹣3， 所以拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3； （2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， 所以拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）． 【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)． 21．如圖，在圓O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，AB=12cm，∠CFD=60． （1）求∠COB的度數(shù)； （2）求CD的長． 【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形． 【分析】（1）連接OD，由垂徑定理可得∠COB=∠DOB=∠COD，進(jìn)而可求出∠COB的度數(shù)； （2）若∠CFD=60，則∠COB=60，通過解直角三角形即可求得CD的長． 【解答】解：（1）連接OD， ∵AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD， ∴， ∴∠COB=∠DOB=∠COD， ∴∠CFD=∠COB=60； （2）Rt△COE中，OC=6cm，∠COE=∠CFD=60； ∴CE=OC?sin60=3cm； ∴CD=2CE=6cm． 【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理、垂徑定理以及特殊角的銳角三角函數(shù)值得運(yùn)用，連接OD，得到△COD是解直角三角形是解題的關(guān)鍵． 22．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)C在線段AB的延長線上，點(diǎn)D在⊙O上，連接CD，且CD=OA，OC=2．求證：CD是⊙O的切線． 【考點(diǎn)】切線的判定． 【專題】證明題． 【分析】連接OD，先通過計(jì)算得到OD2+CD2=OC2，則根據(jù)勾股定理的逆定理得∠ODC=90，然后根據(jù)切線的判定定理得CD是⊙O的切線． 【解答】證明：連接OD，如圖， CD=OD=OA=AB=2，OC=2， ∵22+22=（2）2， ∴OD2+CD2=OC2， ∴△OCD為直角三角形，∠ODC=90， ∴OD⊥CD， 又∵點(diǎn)D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切線． 【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理的逆定理． 23．某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在如圖所示的兩處各留1m寬的門，已知計(jì)劃中的材料可建墻體（不包括門）總長為28m，求建成的飼養(yǎng)室總面積的最大值（墻體厚度忽略不計(jì)）． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】設(shè)中間隔開的墻EF的長為x米，建成的飼養(yǎng)室總面積為S平方米，根據(jù)題意可知AD的長度等于BC的長度，列出式子AD﹣2+3x=28，得出用x的代數(shù)式表示AD的長，再根據(jù)矩形的面積=AD?AB得出S關(guān)于x的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解． 【解答】解：設(shè)中間隔開的墻EF的長為x米，建成的飼養(yǎng)室總面積為S平方米，根據(jù)題意得 AD﹣2+3x=28，解得AD=30﹣3x， 則S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75， 故當(dāng)中間隔開的墻長為5米時(shí)，飼養(yǎng)室有最大面積75平方米． 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，配方法，矩形的面積，有一定難度，解答本題的關(guān)鍵是得到建成的飼養(yǎng)室總面積的解析式． 24．在Rt△ABC中，∠A=90，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P． （1）如圖1，當(dāng)α=90時(shí)，線段BD1的長等于2，線段CE1的長等于2；（直接填寫結(jié)果） （2）如圖2，當(dāng)α=135時(shí)，求證：BD1=CE1，且BD1⊥CE1； （3）求點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值．（直接寫出結(jié)果） 【考點(diǎn)】幾何變換綜合題． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD1的長和CE1的長； （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，∠D1AB=∠E1AC=135，進(jìn)而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案； （3）首先作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，則D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大， 此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，進(jìn)而求出PG的長． 【解答】（1）解：∵∠A=90，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)， ∴AE=AD=2， ∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180）， ∴當(dāng)α=90時(shí)，AE1=2，∠E1AE=90， ∴BD1==2，E1C==2； 故答案為：2，2； （2）證明：當(dāng)α=135時(shí)，如圖2， ∵Rt△AD1E是由Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135得到， ∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135， 在△D1AB和△E1AC中 ∵， ∴△D1AB≌△E1AC（SAS）， ∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA， 記直線BD1與AC交于點(diǎn)F， ∴∠BFA=∠CFP， ∴∠CPF=∠FAB=90， ∴BD1⊥CE1； （3）解：如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G， ∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上， 當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大， 此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則BD1==2， 故∠ABP=30， 則PB=2+2， 故點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+． 【點(diǎn)評】此題主要考查了幾何變換以及等腰腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理以及切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得出PG的最長時(shí)P點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵． 25．如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．若拋物線y=﹣x2+bx+c過A，B兩點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐標(biāo)，不存在說明理由； （3）若點(diǎn)M是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點(diǎn)，△MAB面積為S，求S的最大（小）值． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【專題】綜合題． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．因?yàn)橐阎狝（3，0），所以需要求得B點(diǎn)坐標(biāo)．如答圖1，連接OB，利用勾股定理求解； （2）由∠PBO=∠POB，可知符合條件的點(diǎn)在線段OB的垂直平分線上．如答圖2，OB的垂直平分線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，因此所求的P點(diǎn)有兩個(gè)，注意不要漏解； （3）如答圖3，作MH⊥x軸于點(diǎn)H，構(gòu)造梯形MBOH與三角形MHA，求得△MAB面積的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于M點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求得△MAB面積的最大值． 【解答】解：（1）如答圖1，連接CB． ∵BC=2，OC=1 ∴OB=== ∴B（0，） 將A（3，0），B（0，）代入二次函數(shù)的表達(dá)式得：， 解得：， ∴y=﹣x2+x+； （2）存在． 如答圖2，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P1，P2． ∵B（0，），O（0，0）， ∴直線l的表達(dá)式為y=， 代入拋物線的表達(dá)式，得﹣x2+x+=， 解得x1=1+或x2=1﹣， ∴P1（1﹣，）或P2（1+，）； （3）如答圖3，作MH⊥x軸于點(diǎn)H， 設(shè)M（xm，ym）， 則S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB =（MH+OB）?OH+HA?MH﹣OA?OB =（ym+）xm+（3﹣xm）ym﹣3 =xm+ym﹣， ∵ym=﹣xm2+xm+， ∴S△MAB=xm+（﹣xm2+xm+）﹣ =﹣xm2+xm =﹣（xm﹣）2+， ∴當(dāng)xm=時(shí)，S△MAB取得最大值，最大值為． 【點(diǎn)評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)、圓的性質(zhì)、垂直平分線、勾股定理、面積求法等知識(shí)點(diǎn)．其中第（2）問中注意垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)有兩個(gè)，不要漏解；第（3）問中，重點(diǎn)關(guān)注圖形面積的求法以及求極值的方法．