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第二十四章圓單元測(cè)試 一、單選題（共10題；共30分） 1、如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ABO=50，則∠ACB的大小為（ ） A、40 B、30 C、45 D、50 2、下列說(shuō)法： ①平分弦的直徑垂直于弦；②三點(diǎn)確定一個(gè)圓；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④垂直于半徑的直線是圓的切線；⑤三角形的內(nèi)心到三條邊的距離相等。 其中不正確的有（?。﹤€(gè)。 A、1 B、2 C、3 D、4 3、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠ADC=140，則∠AOC的大小是（　?。? A、80 B、100 C、60 D、40 4、已知Rt△ACB，∠ACB=90，I為內(nèi)心，CI交AB于D，BD=， AD=， 則S△ACB=（　?。? A、12 B、6 C、3 D、7.5 5、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（　?。? A、 B、 C、 D、 6、如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠E=α，∠F=β，則∠A=（　　） A、α+β B、 C、180﹣α﹣β D、 7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為 ，則a的值是（ ） A、2 B、2+ C、2 D、2+ 8、如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠CAB=50，則∠D的度數(shù)為（ ） A、20 B、40 C、50 D、70 9、已知A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，且AB是⊙O內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，AC是⊙O內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則∠BAC的度數(shù)為（ ） A、15或105 B、75或15 C、75 D、105 10、如圖，在⊙O中，∠ABC=52，則∠AOC等于（ ） A、52 B、80 C、90 D、104 二、填空題（共8題；共25分） 11、如圖，⊙O是ABC的外接圓，OCB=40，則A的度數(shù)等于________． 12、如圖，已知半圓O的直徑AB＝4，沿它的一條弦折疊．若折疊后的圓弧與直徑AB相切于點(diǎn)D，且AD:DB＝3:1，則折痕EF的長(zhǎng)________ ． 13、如圖，若∠1=∠2，那么與________相等．（填一定、一定不、不一定） 14、如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C、D是半圓O的三等分點(diǎn)，若弦CD=2，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______． 15、已知扇形的圓心角為150，它所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)20πcm，則此扇形的半徑是________cm，面積是________cm2 ． 16、如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，∠ABC=50，則∠CAD=________． 17、若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是它底面積的2倍，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是________． 18、已知一圓錐的底面半徑為1cm，母線長(zhǎng)為4cm，則它的側(cè)面積為_(kāi)_______cm2（結(jié)果保留π）． 三、解答題（共5題；共35分） 19、已知：△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,點(diǎn)O在邊AB上,⊙O過(guò)點(diǎn)B且分別與邊AB,BC相交于點(diǎn)D,E,EF⊥AC,垂足為F. （1）求證：直線EF是⊙O的切線； （2）當(dāng)直線DF與⊙O相切時(shí),求⊙O的半徑. 20、【閱讀材料】已知，如圖1，在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓O的半徑為r，連接OA，OB，OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形． ∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC?r+AC?r+AB?r=ar+br+cr=（a+b+c）r． ∴r= ． （1）【類比推理】如圖2，若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓），各邊長(zhǎng)分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r的值； （2）【理解應(yīng)用】如圖3，在Rt△ABC中，內(nèi)切圓O的半徑為r，⊙O與△ABC各邊分別相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值． 21、如圖，公路MN與公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否受到噪音影響？說(shuō)明理由；如果受影響，且知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間是多少秒？ 22、如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3cm、BC=4cm，以點(diǎn)A為圓心，4cm為半徑作⊙A，則點(diǎn)B、C、D與⊙A怎樣的位置關(guān)系． 23、已知圓的半徑為R，試求圓內(nèi)接正三角形、正四邊形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比． 四、綜合題（共1題；共10分） 24、（2017?襄陽(yáng)）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩點(diǎn)，∠BAC=∠DAC，過(guò)點(diǎn)C做直線EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC． (1)求證：EF是⊙O的切線； (2)若DE=1，BC=2，求劣弧 的長(zhǎng)l．  答案解析 一、單選題 1、【答案】 A 【考點(diǎn)】圓周角定理 【解析】【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角及圓周角定理求角即可．【解答】∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA=50 ∴∠AOB=80 ∴∠ACB=40． 故選A．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了等邊對(duì)等角、三角形的內(nèi)角和定理以及圓周角定理 2、【答案】 D 【考點(diǎn)】垂徑定理，確定圓的條件，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 【解析】【解答】①中被平分的弦是直徑時(shí)，不一定垂直，故錯(cuò)誤； ②不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)才能確定一個(gè)圓，故錯(cuò)誤； ③應(yīng)強(qiáng)調(diào)在同圓或等圓中，否則錯(cuò)誤； ④中垂直于半徑，還必須經(jīng)過(guò)半徑的外端的直線才是圓的切線，故錯(cuò)誤； ⑤三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，所以到三條邊的距離相等，故正確； 綜上所述，①、②、③、④錯(cuò)誤。 【分析】舉出反例圖形，即可判斷①②③④；根據(jù)角平分線性質(zhì)即可推出⑤． 3、【答案】 A 【考點(diǎn)】圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 【解析】【解答】∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC=180，∴∠ABC=180﹣140=40．∴∠AOC=2∠ABC=80．故選A． 【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠ABC=40，利用圓周角定理，得∠AOC=2∠B=80． 4、【答案】B 【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 【解析】【解答】解：∵I為內(nèi)心， ∴CD平分∠ACB， ∴， 設(shè)AC=4x，BC=3x， ∴AB==5x， ∴5x=+， 解得x=1， ∴AC=4，BC=3， ∴S△ACB=43=6． 故選B． 【分析】根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得CD平分∠ACB，則根據(jù)角平分線定理得到， 于是可設(shè)AC=4x，BC=3x，再利用勾股定理得到AB=5x，則有5x=+， 解得x=1，所以AC=4，BC=3，然后根據(jù)三角形面積公式求解． 5、【答案】A 【考點(diǎn)】垂徑定理 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4， ∴AB=， 過(guò)C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，如圖所示， ∵CM⊥AB， ∴M為AD的中點(diǎn)， ∵S△ABC=AC?BC=AB?CM，且AC=3，BC=4，AB=5， ∴CM=， 在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理得：AC2=AM2+CM2 ， 即9=AM2+（）2 ， 解得：AM=， ∴AD=2AM=． 故選A． 【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，過(guò)C作CM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，由垂徑定理可知M為AD的中點(diǎn)，由三角形的面積可求出CM的長(zhǎng)，在Rt△ACM中，根據(jù)勾股定理可求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論． 6、【答案】D 【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 【解析】【解答】連結(jié)EF，如圖， ∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形， ∴∠ECD=∠A， ∵∠ECD=∠1+∠2， ∴∠A=∠1+∠2， ∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180， ∴2∠A+α+β=180， ∴∠A=． 故選D． 【分析】連結(jié)EF，如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ECD=∠A，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ECD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180，即2∠A+α+β=180，再解方程即可． 7、【答案】 B 【考點(diǎn)】圓的認(rèn)識(shí)，直線與圓的位置關(guān)系 【解析】【解答】解：過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過(guò)P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA． ∵PE⊥AB，AB=2 ，半徑為2， ∴AE= AB= ，PA=2， 根據(jù)勾股定理得：PE= =1， ∵點(diǎn)A在直線y=x上， ∴∠AOC=45， ∵∠DCO=90， ∴∠ODC=45， ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC=CD=2， ∴∠PDE=∠ODC=45， ∴∠DPE=∠PDE=45， ∴DE=PE=1， ∴PD= ． ∵⊙P的圓心是（2，a）， ∴a=PD+DC=2+ ． 故選：B． 【分析】過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過(guò)P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．分別求出PD、DC，相加即可． 8、【答案】B 【考點(diǎn)】圓周角定理 【解析】【解答】解：∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB=90， ∵∠CAB=50， ∴∠CBA=40， ∴∠D=40， 故選B． 【分析】首先利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得到直角三角形，然后求得另一銳角的度數(shù)，從而求得所求的角的度數(shù)． 9、【答案】B 【考點(diǎn)】圓周角定理 【解析】【解答】解：①如圖1所示： ∵AB是⊙O內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，AC是⊙O內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)， ∴∠AOB=120，∠AOC=90， ∴∠BCO=360﹣120﹣90=150， ∴∠BAC= ∠BOC=75； ②如圖2所示，同①得出∠BAC=15， 故選：B． 【分析】先求出∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理求解，注意分類討論． 10、【答案】D 【考點(diǎn)】圓周角定理 【解析】【解答】解：∵∠ABC=52， ∴∠AOC=252=104， 故選：D． 【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOC=2∠ABC，進(jìn)而可得答案． 二、填空題 11、【答案】 50 【考點(diǎn)】圓周角定理 【解析】【解答】在△OCB中，OB=OC（⊙O的半徑）， ∴∠OBC=∠0CB（等邊對(duì)等角）； ∵∠OCB=40，∠C0B=180-∠OBC-∠0CB， ∴∠COB=100； 又∵∠A=∠C0B（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半）， ∴∠A=50 【分析】在等腰三角形OCB中，求得兩個(gè)底角∠OBC、∠0CB的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠COB=100；最后由圓周角定理求得∠A的度數(shù)并作出選擇． 12、【答案】 【考點(diǎn)】垂徑定理，切線的性質(zhì) 【解析】【解答】如圖，過(guò)O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點(diǎn)為A、G，過(guò)切點(diǎn)F作PF⊥半徑OC交OP于P點(diǎn)， ∵OP⊥BC，∴BD=DC，即OP為BC的中垂線. ∴OP必過(guò)弧BGC所在圓的圓心. 又∵OE為弧BGC所在圓的切線，PF⊥OE，∴PF必過(guò)弧BGC所在圓的圓心. ∴點(diǎn)P為弧BGC所在圓的圓心. ∵弧BAC沿BC折疊得到弧BGC，∴⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD. ∴OG=AP. 而F點(diǎn)分⊙O的直徑為3：1兩部分，∴OF=1. 在Rt△OPF中，設(shè)OG=x，則OP=x+2， ∴OP2=OF2+PF2 ， 即（x+2）2=12+22 ， 解得x=. ∴AG=2-（）=.∴DG=.∴OD=OG+DG=. 在Rt△OBD中，BD2=OB2+OD2 ， 即BD2=22-（）2 ， ∴BD=. ∴BC=2BD= ． 【分析】運(yùn)用垂徑定理和切線的性質(zhì)作答。 13、【答案】一定 【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系 【解析】【解答】解：∵∠1=∠2， ∴=． 故答案為：一定． 【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行解答即可． 14、【答案】 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算 【解析】【解答】解：如圖連接OC、OD、BD． ∵點(diǎn)C、D是半圓O的三等分點(diǎn)， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60， ∵OC=OD=OB， ∴△COD、△OBD是等邊三角形， ∴∠COD=∠ODB=60，OD=CD=2， ∴OC∥BD， ∴S△BDC=S△BDO ， ∴S陰=S扇形OBD= 【分析】首先證明OC∥BD，得到S△BDC=S△BDO ， 所以S陰=S扇形OBD ， 由此即可計(jì)算．本題考查圓的有關(guān)知識(shí)、扇形的面積，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)把求不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積，屬于中考常考題型． 15、【答案】 24；240π 【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算，扇形面積的計(jì)算 【解析】【解答】解：設(shè)扇形的半徑是r，則 =20π 解得：r=24． 扇形的面積是： 20π24=240π． 故答案是：24和240π． 【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到關(guān)于扇形半徑的方程，然后根據(jù)扇形的面積公式即可求解． 16、【答案】40 【考點(diǎn)】圓周角定理 【解析】【解答】解：連接CD， ∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ACD=90， ∵∠D=∠ABC=50， ∴∠CAD=90﹣∠D=40． 故答案為：40． 【分析】首先連接CD，由AD是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求得∠ACD=90，又由圓周角定理，可得∠D=∠ABC=50，繼而求得答案． 17、【答案】180 【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算 【解析】【解答】解：設(shè)底面圓的半徑為r，側(cè)面展開(kāi)扇形的半徑為R，扇形的圓心角為n度． 由題意得S底面面積=πr2 ， l底面周長(zhǎng)=2πr， S扇形=2S底面面積=2πr2 ， l扇形弧長(zhǎng)=l底面周長(zhǎng)=2πr． 由S扇形= l扇形弧長(zhǎng)R得2πr2= 2πrR， 故R=2r． 由l扇形弧長(zhǎng)= 得： 2πr= 解得n=180． 故答案為180． 【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍得到圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)的關(guān)系，根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)即可求得圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)． 18、【答案】4π 【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算 【解析】【解答】解：圓錐的側(cè)面積= ?2π?1?4=4π（cm2）． 故答案為4π． 【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形的面積公式計(jì)算． 三、解答題 19、【答案】 （1）連接OE ∵△ABC是等邊三角形, ∴∠ABC=∠C=60. ∵OB="OE," ∴∠OEB=∠C =60, ∴OE∥AC. ∵EF⊥AC, ∴∠EFC=90. ∴∠OEF=∠EFC=90. ∴OE⊥EF, ∵⊙O與BC邊相交于點(diǎn)E, ∴E點(diǎn)在圓上. ∴EF是⊙O的切線； (2)連接DF,DE. ∵DF是⊙O的切線, ∴∠ADF=∠BDF=90 設(shè)⊙O的半徑為r,則BD=2r, ∵AB=4, ∴AD=4-2r, ∵BD=2r,∠B=60, ∴DE=r, ∵∠BDE=30,∠BDF="90." ∴∠EDF=60, ∵DF、EF分別是⊙O的切線, ∴DF=EF=DE=r, 在Rt△ADF中, ∵∠A=60, ∴tan∠DFA= 解得. ∴⊙O的半徑是 【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì) 【解析】【分析】（1）連接OE，得到∠OEB =60,從而OE∥AC.，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到直線EF是⊙O的切線； （2）連接DF,DE.構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可。 20、【答案】解：（1）如圖2，連接OA、OB、OC、OD． ∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=arbrcrdr=（a+b+c+d）r， ∴r=； （2）如圖3連接OE、OF，則四邊形OECF是正方形， OE=EC=CF=FO=r， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， （3+r）2+（2+r）2=52 ， r2+5r﹣6=0， 解得：r=1． 【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心 【解析】【分析】（1）已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過(guò)程，r易得． （2）如圖3，連接OE、OF，則四邊形OECF是正方形，OE=EC=CF=FO=r，解直角三角形求得結(jié)果． 21、【答案】解：學(xué)校受到噪音影響．理由如下： 作AH⊥MN于H，如圖， ∵PA=160m，∠QPN=30， ∴AH=PA=80m， 而80m＜100m， ∴拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校受到噪音影響， 以點(diǎn)A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于B、C，如圖， ∵AH⊥BC， ∴BH=CH， 在Rt△ABH中，AB=100m，AH=80m， BH==60m， ∴BC=2BH=120m， ∵拖拉機(jī)的速度=18km/h=5m/s， ∴拖拉機(jī)在線段BC上行駛所需要的時(shí)間==24（秒）， ∴學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒． 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系 【解析】【分析】作AH⊥MN于H，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH=PA=80m，由于這個(gè)距離小于100m，所以可判斷拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校受到噪音影響；然后以點(diǎn)A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于B、C，根據(jù)垂徑定理得到BH=CH，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出BH=60m，則BC=2BH=120m，然后根據(jù)速度公式計(jì)算出拖拉機(jī)在線段BC上行駛所需要的時(shí)間． 22、【答案】解：連接AC， ∵AB=3cm，BC=AD=4cm， ∴AC=5cm， ∴點(diǎn)B在⊙A內(nèi)，點(diǎn)D在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外． 【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 【解析】【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)B，C，D與⊙A的位置關(guān)系 23、【答案】解：如圖①所示， 連接O1 A，作O1 E⊥AD于E， ∵O1 A=R，∠O1 AE=45， ∴AE=O1 A?cos45=R， ∴AD=2AE=R； 如圖②所示： 連接O2 A，O2 B， 則O2 B⊥AC， ∵O2 A=R，∠O2 AF=30，∠AO2 B=60， ∴△AO2 B是等邊三角形，AF=O2A?cos30=R， ∴AB=R，AC=2AF=R； ∴圓內(nèi)接正三角形、正四邊形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比R：R：R=：：1． 【考點(diǎn)】正多邊形和圓 【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，通過(guò)解直角三角形用R分別表示出它們的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論． 四、綜合題 24、【答案】（1）證明：連接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA， ∴AD∥OC， ∵∠AEC=90，∴∠OCF=∠AEC=90， ∴EF是⊙O的切線； （2）解：連接OD，DC， ∵∠DAC= DOC，∠OAC= BOC， ∴∠DAC=∠OAC， ∵ED=1，DC=2， ∴sin∠ECD= ， ∴∠ECD=30， ∴∠OCD=60， ∵OC=OD， ∴△DOC是等邊三角形， ∴∠BOC=∠COD=60，OC=2， ∴l(xiāng)= = π． 【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算 【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90，于是得到結(jié)論；（2）連接OD，DC，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAC=∠OAC，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠ECD=30，得到∠OCD=60，得到∠BOC=∠COD=60，OC=2，于是得到結(jié)論．