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2016-2017學(xué)年內(nèi)蒙古呼和浩特市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 　 一、填空題（每題3分，共30分） 1．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程有（　?。?①x2=0； ②ax2+bx+c=0； ③x2﹣3=x； ④a2+a﹣x=0； ⑤（m﹣1）x2+4x+=0； ⑥+=；⑦=2； ⑧（x+1）2=x2﹣9． A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 2．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根為0，則a的值為（　?。? A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．0 3．下列方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（　?。? A．x2+x+1=0 B．x2﹣x﹣1=0 C．x2﹣6x+9=0 D．x2﹣2x+3=0 4．已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（　?。? A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1） 5．已知拋物線y=﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)為P，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，那么△ABP的面積等于（　?。? A．16 B．8 C．6 D．4 6．如果拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣2），B（﹣1，1）兩點(diǎn)，那么此拋物線經(jīng)過（　?。? A．第一、二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 7．2008年爆發(fā)的世界金融危機(jī)，是自上世紀(jì)三十年代以來世界最嚴(yán)重的一場金融危機(jī)．受金融危機(jī)的影響，某商品原價(jià)為200元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為148元，下面所列方程正確的是（　?。? A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=148 8．已知拋物線y=x2+2x上三點(diǎn)A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），則y1，y2，y3滿足的關(guān)系式為（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 9．拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=2x2+x﹣3關(guān)于x軸對稱，則此拋物線的解析式為（　　） A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3 C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣3 10．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①abc＜0，②b＜a+c，③4a+2b+c＞0，④2c＜3b，⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）中正確的是（　?。? A．②④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 　 二、填空題（每題3分，共18分） 11．關(guān)于x的方程mx2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)解，則m需滿足　?。? 12．若x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根，則+的值為　　． 13．根據(jù)下列表中的對應(yīng)值： x 2.1 2.2 2.3 2.4 ax2+bx+c ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解的取值范圍為　　． 14．將二次函數(shù)y=x2﹣2的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得拋物線的解析式為　?。? 15．如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)（﹣1，0）和（0，﹣1），則化簡代數(shù)式+=　?。? 16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在（0，2）的下方．下列結(jié)論：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＜0．其中正確結(jié)論有　?。ㄌ钚蛱?hào)） 　 三、解答題（共72分） 17．解下列方程 （1）x2﹣4x﹣3=0； （2）3x（x﹣1）=2（x﹣1）； （3）y4﹣3y2﹣4=0． 18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0； （1）求證：不論m 任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）若方程的兩根為x1、x2且滿足，求m的值． 19．如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？ 20．已知拋物線的解析式為y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）請說明此拋物線與x軸的交點(diǎn)情況； （2）若此拋物線與直線y=x﹣3m+4的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上，求m的值． 21．閱讀理解題：我們知道一元二次方程是轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的，例如：解方程x2﹣2x=0，通過因式分解將方程化為x（x﹣1）=0，從而得到x=0或x﹣2兩個(gè)一元一次方程，通過解這兩個(gè)一元一次方程，求得原方程的解． （1）利用上述方法解一元二次不等式：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0； （2）利用函數(shù)的觀點(diǎn)解一元二次不等式x2+6x+5＞0． 22．某公司投資建了一商場，共有商鋪30間，據(jù)預(yù)測，當(dāng)每間租金定為10萬元，可全部租出，每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間，該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用1萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用5000元． （1）當(dāng)每間商鋪的年租金為l3萬元時(shí)，能租出多少間？ （2）若從減少空鋪的角度來看，當(dāng)每間商鋪的年租金為多少萬元時(shí)，該公司的年收益為275萬元？ 23．如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系． （1）求拋物線的解析式； （2）已知從某時(shí)刻開始的40小時(shí)內(nèi)，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化滿足函數(shù)關(guān)系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，需禁止船只通行，請通過計(jì)算說明：在這一時(shí)段內(nèi)，需多少小時(shí)禁止船只通行？ 24．已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 　  2016-2017學(xué)年內(nèi)蒙古呼和浩特市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、填空題（每題3分，共30分） 1．下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程有（　?。?①x2=0； ②ax2+bx+c=0； ③x2﹣3=x； ④a2+a﹣x=0； ⑤（m﹣1）x2+4x+=0； ⑥+=；⑦=2； ⑧（x+1）2=x2﹣9． A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【考點(diǎn)】一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進(jìn)行分析即可． 【解答】解：①x2=0；③x2﹣3=x是關(guān)于x的一元二次方程，共2個(gè)， 故選：A． 　 2．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個(gè)根為0，則a的值為（　?。? A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．0 【考點(diǎn)】一元二次方程的解；一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)一元二次方程和一元二次方程的解得出a﹣1≠0，a2﹣1=0，求出a的值即可． 【解答】解：把x=0代入方程得：a2﹣1=0， 解得：a=1， ∵（a﹣1）x2+ax+a2﹣1=0是關(guān)于x的一元二次方程， ∴a﹣1≠0， 即a≠1， ∴a的值是﹣1， 故選：B． 　 3．下列方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（　?。? A．x2+x+1=0 B．x2﹣x﹣1=0 C．x2﹣6x+9=0 D．x2﹣2x+3=0 【考點(diǎn)】根的判別式． 【分析】分別計(jì)算出四個(gè)方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的意義判斷根的情況． 【解答】解：A、△=12﹣411=﹣3＜0，則方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、△=（﹣1）2﹣41（﹣1）=5＞0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)正確； C、△=（﹣6）2﹣419=0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、△=（﹣2）2﹣413=﹣8＜0，則方程沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選：B． 　 4．已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（　?。? A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】把二次函數(shù)解析式配方轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)． 【解答】解：y=x2﹣4x+5， =x2﹣4x+4+1， =（x﹣2）2+1， 所以，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）． 故選B． 　 5．已知拋物線y=﹣x2+2x+3的頂點(diǎn)為P，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，那么△ABP的面積等于（　　） A．16 B．8 C．6 D．4 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)． 【分析】用配方法將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，直接頂點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出三角形面積． 【解答】解：∵y=﹣x2+2x+3， ∴y=﹣（x﹣1）2+4， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4） 0=﹣（x﹣1）2+4， ∴x1=﹣1，x2=3， 與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B（3，0），（﹣1，0）， ∴AB=4， P到AB的距離為：4， ∴S△ABP=44=8， 故選：B． 　 6．如果拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣2），B（﹣1，1）兩點(diǎn)，那么此拋物線經(jīng)過（　　） A．第一、二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式，然后根據(jù)解析式求得該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而推知該拋物線所經(jīng)過的象限． 【解答】解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣2），B（﹣1，1）兩點(diǎn)， ∴， 解得，； ∴該拋物線的解析式是：y=﹣x2﹣4x﹣2=﹣（x+2）2﹣2， ∴該拋物線的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，2），與y軸的交點(diǎn)是（0，﹣2）， ∴該拋物線經(jīng)過第二、三、四象限． 故選D． 　 7．2008年爆發(fā)的世界金融危機(jī)，是自上世紀(jì)三十年代以來世界最嚴(yán)重的一場金融危機(jī)．受金融危機(jī)的影響，某商品原價(jià)為200元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為148元，下面所列方程正確的是（　?。? A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=148 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程． 【分析】本題可先用a表示第一次降價(jià)后商品的售價(jià)，再根據(jù)題意表示第二次降價(jià)后的售價(jià)，然后根據(jù)已知條件得到關(guān)于a的方程． 【解答】解：當(dāng)商品第一次降價(jià)a%時(shí)，其售價(jià)為200﹣200a%=200（1﹣a%）． 當(dāng)商品第二次降價(jià)a%后，其售價(jià)為200（1﹣a%）﹣200（1﹣a%）a%=200（1﹣a%）2． ∴200（1﹣a%）2=148． 故選B． 　 8．已知拋物線y=x2+2x上三點(diǎn)A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），則y1，y2，y3滿足的關(guān)系式為（　?。? A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】首先求出拋物線y=x2+2x的對稱軸，然后根據(jù)A、B、C的橫坐標(biāo)與對稱軸的位置，接著利用拋物線的增減性質(zhì)即可求解． 【解答】解：∵拋物線y=x2+2x， ∴x=﹣1， 而A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3）， ∴B離對稱軸最近，A次之，C最遠(yuǎn)， ∴y2＜y1＜y3． 故選C． 　 9．拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=2x2+x﹣3關(guān)于x軸對稱，則此拋物線的解析式為（　?。? A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3 C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣3 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】拋物線y=2x2+x﹣3=2（x+）2﹣的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），則它關(guān)于x軸對稱的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），由此求得拋物線y=ax2+bx+c的解析式． 【解答】解：∵拋物線y=2x2+x﹣3=2（x+）2﹣的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，）， ∴它關(guān)于x軸對稱的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）， ∴此拋物線的解析式為y=2（x﹣）2﹣=﹣2x2﹣x+3． 故選：A． 　 10．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①abc＜0，②b＜a+c，③4a+2b+c＞0，④2c＜3b，⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）中正確的是（　　） A．②④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷． 【解答】解：①由圖象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此選項(xiàng)正確； ②當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，錯(cuò)誤； ③由對稱知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此選項(xiàng)正確； ④當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1， 即a=﹣b，代入得9（﹣b）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此選項(xiàng)正確； ⑤當(dāng)x=1時(shí)，y的值最大．此時(shí)，y=a+b+c， 而當(dāng)x=m時(shí)，y=am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故①③④正確． 故選C． 　 二、填空題（每題3分，共18分） 11．關(guān)于x的方程mx2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)解，則m需滿足　m≤1　． 【考點(diǎn)】根的判別式． 【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵方程mx2﹣2x+1=0有實(shí)數(shù)解， ∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m≥0， 解得：m≤1． 故答案為：m≤1． 　 12．若x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根，則+的值為　6?。? 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=4、x1?x2=2，將+變形為，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根， ∴x1+x2=4，x1?x2=2， ∴+====6． 故答案為：6． 　 13．根據(jù)下列表中的對應(yīng)值： x 2.1 2.2 2.3 2.4 ax2+bx+c ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解的取值范圍為　2.3＜x＜2.4?。? 【考點(diǎn)】圖象法求一元二次方程的近似根． 【分析】根據(jù)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)就是方程ax2+bx+c=0的根，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可判斷方程ax2+bx+c=0一個(gè)解的范圍． 【解答】解：函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax2+bx+c=0的根， 函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0； 由表中數(shù)據(jù)可知：y=0在y=﹣0.11與y=0.56之間， 對應(yīng)的x的值在2.3與2.4之間，即2.3＜x＜2.4． 故答案為2.3＜x＜2.4． 　 14．將二次函數(shù)y=x2﹣2的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得拋物線的解析式為　y=x2+4x+3?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】直接根據(jù)“上加下減、左加右減”的原則進(jìn)行解答即可． 【解答】解：由“左加右減”的原則可知，二次函數(shù)y=x2﹣2的圖象向左平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=（x+2）2﹣2， 由“上加下減”的原則可知，將二次函數(shù)y=（x+2）2﹣2的圖象向上平移1個(gè)單位可得到函數(shù)y=（x+2）2﹣2+1， 即y=x2+4x+3． 故答案為：y=x2+4x+3． 　 15．如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)（﹣1，0）和（0，﹣1），則化簡代數(shù)式+=　?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得a=b+1，再由對稱軸在y軸的右側(cè)可求得b＜0，則可求得0＜a＜1，則可比較a和的大小關(guān)系，化簡可求得答案． 【解答】解： ∵y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)（﹣1，0）和（0，﹣1）， ∴，整理可得a=b+1， ∵對稱軸在y軸的右側(cè)，拋物線開口向上， ∴﹣＞0，且a＞0， ∴b＜0， ∴0＜a＜1， ∴a＜， ∴+=+=﹣a+a+=， 故答案為：． 　 16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，與y軸的正半軸的交點(diǎn)在（0，2）的下方．下列結(jié)論：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＜0．其中正確結(jié)論有　①②③?。ㄌ钚蛱?hào)） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】采用形數(shù)結(jié)合的方法解題，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸的位置判斷a、b、c的符號(hào)，把兩根關(guān)系與拋物線與x的交點(diǎn)情況結(jié)合起來分析問題． 【解答】解：①由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣2，0）， 4a﹣2b+c=0，故①正確； ②因?yàn)閳D象與x軸兩交點(diǎn)為（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2， 對稱軸x==﹣， 則對稱軸﹣＜﹣＜0，且a＜0， ∴a＜b＜0， 由拋物線與y軸的正半軸的交點(diǎn)在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，故②正確； ③設(shè)x2=﹣2，則x1x2=，而1＜x1＜2， ∴﹣4＜x1x2＜﹣2，∴﹣4＜＜﹣2， ∴2a+c＞0，4a+c＜0，故③正確； ④c＜2，4a﹣2b+c=0， 4a﹣2b+2＞0，2a﹣b+1＞0，故④錯(cuò)誤； 故答案為：①②③． 　 三、解答題（共72分） 17．解下列方程 （1）x2﹣4x﹣3=0； （2）3x（x﹣1）=2（x﹣1）； （3）y4﹣3y2﹣4=0． 【考點(diǎn)】換元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可； （2）先移項(xiàng)，再提公因式即可； （3）把y2看作整體，再用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x=3， x2﹣4x+4=7， （x﹣2）2=7， x﹣2=， x=+2， x1=+2，x2=﹣+2； （2）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0， （x﹣1）（3x﹣2）=0； x﹣1=0或3x﹣2=0， x1=1，x2=； （3）（y2﹣4）（y2+1）=0， y2﹣4=0，y2+1=0， y2=4或y2=﹣1（舍去）， ∴y1=2，y2=﹣2． 　 18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0； （1）求證：不論m 任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）若方程的兩根為x1、x2且滿足，求m的值． 【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】（1）要證明方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么只要證明△＞0即可． （2）因?yàn)?=﹣，所以由根與系數(shù)的關(guān)系可得=﹣，解方程可得m的值． 【解答】解：（1）證明：△=（4m+1）2﹣4（2m﹣1） =16m2+8m+1﹣8m+4=16m2+5＞0， ∴不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． （2）∵，即=﹣， ∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得=﹣， 解得 m=﹣， 經(jīng)檢驗(yàn)得出m=﹣是原方程的根， 即m的值為﹣． 　 19．如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？ 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)AB的長度為x米，則BC的長度為米；然后根據(jù)矩形的面積公式列出方程． 【解答】解：設(shè)AB的長度為x米，則BC的長度為米． 根據(jù)題意得 x=400， 解得 x1=20，x2=5． 則100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米． 　 20．已知拋物線的解析式為y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）請說明此拋物線與x軸的交點(diǎn)情況； （2）若此拋物線與直線y=x﹣3m+4的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上，求m的值． 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式判斷即可； （2）根據(jù)題意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）=4m2﹣4m+1﹣4m2+4m=1＞0， 所以拋物線與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)； （2）當(dāng)x=0時(shí)，可得m2﹣m=﹣3m+4， 整理得，m2+2m﹣4=0， 解得，m1=﹣1，m2=﹣1﹣． 　 21．閱讀理解題：我們知道一元二次方程是轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的，例如：解方程x2﹣2x=0，通過因式分解將方程化為x（x﹣1）=0，從而得到x=0或x﹣2兩個(gè)一元一次方程，通過解這兩個(gè)一元一次方程，求得原方程的解． （1）利用上述方法解一元二次不等式：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0； （2）利用函數(shù)的觀點(diǎn)解一元二次不等式x2+6x+5＞0． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）；解一元一次方程；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）利用因式分解的方程可把該不等式化成兩個(gè)一元一次不等式組，分別求其解集即可求得答案； （2）設(shè)y=x2+6x+5，可求得y=0時(shí)對應(yīng)的x的值，再結(jié)合拋物線的開口方向，可求得不等式的解集． 【解答】解： （1）2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0可化為（x﹣1）（2x﹣3）＜0， ∴①或②， 解①得1＜x＜，解②得＜1且x＞（此不等式組無解）， ∴原不等式的解集為1＜x＜； （2）設(shè)y=x2+6x+5， 當(dāng)y=0即x2+6x+5=0時(shí)，可求得x=﹣5或x=﹣1， 即y=x2+6x+5與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0）和（﹣1，0），且開口向上， ∴原不等式的解集為x＜﹣5或x＞﹣1． 　 22．某公司投資建了一商場，共有商鋪30間，據(jù)預(yù)測，當(dāng)每間租金定為10萬元，可全部租出，每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間，該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用1萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費(fèi)用5000元． （1）當(dāng)每間商鋪的年租金為l3萬元時(shí)，能租出多少間？ （2）若從減少空鋪的角度來看，當(dāng)每間商鋪的年租金為多少萬元時(shí)，該公司的年收益為275萬元？ 【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】（1）直接根據(jù)題意先求出增加的租金是4個(gè)5000，從而計(jì)算出租出多少間； （2）設(shè)每間商鋪的年租金增加x萬元，直接根據(jù)收益=租金﹣各種費(fèi)用=275萬元作為等量關(guān)系列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵5000=6， ∴能租出30﹣6=24（間）． （2）設(shè)每間商鋪年租金增加x萬元 所以（30﹣）（10+x）﹣（30﹣）1﹣0.5=275， 解得x1=5，x2=0.5， ∴每間商鋪的年租金為10.5萬元或15萬元 ∴若從減少空鋪的角度來看，當(dāng)每間商鋪的年租金為10.5萬元時(shí)，該公司的年收益為275萬元． 　 23．如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系． （1）求拋物線的解析式； （2）已知從某時(shí)刻開始的40小時(shí)內(nèi)，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化滿足函數(shù)關(guān)系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，需禁止船只通行，請通過計(jì)算說明：在這一時(shí)段內(nèi)，需多少小時(shí)禁止船只通行？ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)拋物線特點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)解析式，把B坐標(biāo)代入即可求解； （2）水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，即水面與河底ED的距離h至多為6，把6代入所給二次函數(shù)關(guān)系式，求得t的值，相減即可得到禁止船只通行的時(shí)間． 【解答】解：（1）∵點(diǎn)C到ED的距離是11米， ∴OC=11， 設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+11，由題意得B（8，8）， ∴64a+11=8， 解得a=﹣， ∴y=﹣x2+11； （2）水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，即水面與河底ED的距離h至多為11﹣5=6（米）， ∴6=﹣（t﹣19）2+8， ∴（t﹣19）2=256， ∴t﹣19=16， 解得t1=35，t2=3， ∴35﹣3=32（小時(shí)）． 答：需32小時(shí)禁止船只通行． 　 24．已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)OC=3OB，B（1，0），求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3），把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=ax2+2ax+c，求出a點(diǎn)坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式； （2）過點(diǎn)D作DE∥y軸分別交線段AC于點(diǎn)E．設(shè)D（m，m2+2m﹣3），然后求出DE的表達(dá)式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值； （3）①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形．②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2，P3，由題意可知點(diǎn)P2、P3的縱坐標(biāo)為3，從而可求得其橫坐標(biāo)． 【解答】解：（1）∵B的坐標(biāo)為（1，0）， ∴OB=1． ∵OC=3OB=3，點(diǎn)C在x軸下方， ∴C（0，﹣3）． ∵將B（1，0），C（0，﹣3）代入拋物線的解析式得：，解得：a=，C=﹣3， ∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣3． （2）如圖1所示：過點(diǎn)D作DE∥y，交AC于點(diǎn)E． ∵x=﹣==﹣，B（1，0）， ∴A（﹣4，0）． ∴AB=5． ∴S△ABC=AB?OC=53=7.5． 設(shè)AC的解析式為y=kx+b． ∵將A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得：，解得：k=﹣，b=﹣3， ∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3． 設(shè)D（a， a2+a﹣3），則E（a，﹣a﹣3）． ∵DE=﹣a﹣3﹣（a2+a﹣3）=﹣（a+2）2+3， ∴當(dāng)a=﹣2時(shí)，DE有最大值，最大值為3． ∴△ADC的最大面積=DE?AO=34=6． ∴四邊形ABCD的面積的最大值為12． （3）存在． ①如圖2，過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形． ∵C（0，﹣3），令x2+x﹣3=﹣3， ∴x1=0，x2=﹣3． ∴P1（﹣3，﹣3）． ②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E2，E3，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2，P3，當(dāng)AC=P2E2時(shí)，四邊形ACE2P2為平行四邊形，當(dāng)AC=P3E3時(shí)，四邊形ACE3P3為平行四邊形． ∵C（0，﹣3）， ∴P2，P3的縱坐標(biāo)均為3． 令y=3得： x2+x﹣3=3，解得；x1=，x2=． ∴P2（，3），P3（，3）． 綜上所述，存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是：P1（﹣3，﹣3），P2（，3），P3（，3）． 　  2017年1月7日 第20頁（共20頁）