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2015-2016學(xué)年福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每小題2分，共20分） 1．如果一個(gè)三角形有兩邊長(zhǎng)分別是3和5，那么第三邊長(zhǎng)可能是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 2．在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形，下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是( ) A． B． C． D． 3．等腰三角形的一個(gè)底角是50，則它的頂角是( ) A．50 B．50或65 C．65 D．80 4．如圖，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還需要添加一個(gè)條件是( ) A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC 5．能將三角形面積平分的是三角形的( ) A．角平分線 B．高 C．中線 D．外角平分線 6．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，則∠C等于( ) A．45 B．60 C．75 D．90 7．如圖，甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是( ) A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 8．如圖，一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中∠α+∠β的度數(shù)是( ) A．180 B．220 C．240 D．300 9．已知∠AOB=30，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對(duì)稱，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱，則P1，O，P2三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是( ) A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 10．AD是△ABC的角平分線且交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則下列結(jié)論不一定正確的是( ) A．DE=DF B．BD=CD C．AE=AF D．∠ADE=∠ADF 二、填空題（每小題3分，共18分） 11．一個(gè)等邊三角形的對(duì)稱軸有__________條． 12．如圖是一個(gè)活動(dòng)的衣帽架，它應(yīng)用了四邊形的__________性． 13．如圖，若△ABC≌△ADE，且∠B=60，∠C=30，則∠DAE=__________． 14．若點(diǎn)M（﹣3，b）與點(diǎn)N（a，2）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b=__________． 15．如圖，分別以五邊形的各個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________cm2． 16．如圖，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，則∠α與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________． 三、解答題(62分) 17．完成下列證明過(guò)程： 如圖，∠CAE是△ABC的一個(gè)外角，∠1=∠2，AD∥BC，求證：AB=AC． 證明：∵AD∥BC（已知） ∴∠1=∠__________（兩直線平行，同位角相等） ∠2=∠__________（__________） 又∵∠1=∠2（已知） ∴__________=__________（等量代換） ∴AB=AC （__________）． 18．如圖，在33的正方形網(wǎng)格中，有格點(diǎn)△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谙旅娼o出的圖中，畫(huà)出3個(gè)不同位置的△DEF及其對(duì)稱軸MN． 19．如圖，AC=AE，AB=AD，∠1=∠2，求證：∠B=∠D． 20．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠B=40，∠E=30，求∠BAC的度數(shù)． 21．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比四邊形的外角和多540，并且這個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等．這個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于多少度？它是正幾邊形？ 22．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE、DF分別是∠ADB、∠ADC的平分線，若DE=2，求DF的長(zhǎng)． 23．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60，連接CE． （1）求證：△ABD≌△ACE； （2）求證：CE平分∠ACF； （3）若AB=2，當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求BD的長(zhǎng)． 24．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣3，0），B（2，0），C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且BC=4． （1）求∠OBC的度數(shù)； （2）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在邊BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中： ①若點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值； ②若點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)路程分別是a，b，已知△PQB是等腰三角形時(shí)，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系． 2015-2016學(xué)年福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（每小題2分，共20分） 1．如果一個(gè)三角形有兩邊長(zhǎng)分別是3和5，那么第三邊長(zhǎng)可能是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系． 【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得5﹣3＜x＜5+3，解不等式，確定x的取值范圍，然后可得答案． 【解答】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，由題意得：5﹣3＜x＜5+3， 即2＜x＜8， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊． 2．在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形，下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是( ) A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形； B、不是軸對(duì)稱圖形； C、不是軸對(duì)稱圖形； D、不是軸對(duì)稱圖形； 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合． 3．等腰三角形的一個(gè)底角是50，則它的頂角是( ) A．50 B．50或65 C．65 D．80 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可知兩底角相等，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180，即可求出頂角的度數(shù)． 【解答】解：∵等腰三角形的一個(gè)底角是50， ∴它的頂角=180﹣50﹣50=80， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟記等腰三角形的各種性質(zhì)并且能夠靈活運(yùn)用． 4．如圖，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還需要添加一個(gè)條件是( ) A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC 【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定． 【分析】根據(jù)垂直定義求出∠CFD=∠AEB=90，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】解：條件是AB=CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD=∠AEB=90， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 5．能將三角形面積平分的是三角形的( ) A．角平分線 B．高 C．中線 D．外角平分線 【考點(diǎn)】三角形的面積． 【分析】根據(jù)三角形的面積公式，只要兩個(gè)三角形具有等底等高，則兩個(gè)三角形的面積相等．根據(jù)三角形的中線的概念，故能將三角形面積平分的是三角形的中線． 【解答】解：根據(jù)等底等高可得，能將三角形面積平分的是三角形的中線．故選C． 【點(diǎn)評(píng)】注意：三角形的中線能將三角形的面積分成相等的兩部分． 6．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，則∠C等于( ) A．45 B．60 C．75 D．90 【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理． 【分析】首先根據(jù)∠A：∠B：∠C=3：4：5，求出∠C的度數(shù)占三角形的內(nèi)角和的幾分之幾；然后根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用180乘以∠C的度數(shù)占三角形的內(nèi)角和的分率，求出∠C等于多少度即可． 【解答】解：180 = =75 即∠C等于75． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180． 7．如圖，甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是( ) A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理作出判斷與選擇． 【解答】解：在△ABC中，∠B=50． 甲：只有一個(gè)對(duì)應(yīng)邊與一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，故甲不符合條件； 乙：由兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊與這兩個(gè)邊的夾角相等，符合兩個(gè)三角形全等的定理SAS； 丙：由兩個(gè)對(duì)應(yīng)角與一條邊對(duì)應(yīng)相等，符合兩個(gè)三角形全等的定理AAS． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目． 8．如圖，一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中∠α+∠β的度數(shù)是( ) A．180 B．220 C．240 D．300 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角． 【專題】探究型． 【分析】本題可先根據(jù)等邊三角形頂角的度數(shù)求出兩底角的度數(shù)和，然后在四邊形中根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360，求出∠α+∠β的度數(shù)． 【解答】解：∵等邊三角形的頂角為60， ∴兩底角和=180﹣60=120； ∴∠α+∠β=360﹣120=240； 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180，四邊形的內(nèi)角和是360等知識(shí)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題 9．已知∠AOB=30，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對(duì)稱，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱，則P1，O，P2三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是( ) A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定；軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60，即可判斷△P1OP2是等邊三角形． 【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知， OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60， ∴△P1OP2是等邊三角形． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查了等邊三角形的判定和軸對(duì)稱的性質(zhì)．軸對(duì)稱的性質(zhì)： （1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分； （2）對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等． 10．AD是△ABC的角平分線且交BC于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則下列結(jié)論不一定正確的是( ) A．DE=DF B．BD=CD C．AE=AF D．∠ADE=∠ADF 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可證△AFD≌△AED，找到圖中相等的關(guān)系即可． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線， ∴DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△AFD≌△AED（HL）， ∴DE=DF，AE=AF，∠ADE=∠ADF． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到△AFD≌△AED，是解決的關(guān)鍵． 二、填空題（每小題3分，共18分） 11．一個(gè)等邊三角形的對(duì)稱軸有3條． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)對(duì)稱軸：如果沿某條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分是完全重合的，那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸．對(duì)稱軸絕對(duì)是一條點(diǎn)化線，可得答案． 【解答】解：如圖： 一個(gè)等邊三角形的對(duì)稱軸有 3條， 故答案為：3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，如果沿某條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分是完全重合的，那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸．對(duì)稱軸絕對(duì)是一條點(diǎn)化線． 12．如圖是一個(gè)活動(dòng)的衣帽架，它應(yīng)用了四邊形的不穩(wěn)定性． 【考點(diǎn)】多邊形；三角形的穩(wěn)定性． 【分析】根據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性解答． 【解答】解：一個(gè)活動(dòng)的衣帽架，它應(yīng)用了四邊形的不穩(wěn)定性， 故答案為：不穩(wěn)定． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是熟記四邊形的不穩(wěn)定性． 13．如圖，若△ABC≌△ADE，且∠B=60，∠C=30，則∠DAE=90． 【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠DAE=∠BAC，求出即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B=60，∠C=30， ∴∠BAC=180﹣∠B﹣∠C=90， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE=∠BAC=90， 故答案為：90． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等． 14．若點(diǎn)M（﹣3，b）與點(diǎn)N（a，2）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b=﹣5． 【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，得出a，b的值即可． 【解答】解：∵點(diǎn)M（﹣3，b）與點(diǎn)N（a，2）關(guān)于x軸對(duì)稱， ∴a=﹣3，b=﹣2， 則a+b=﹣3﹣2=﹣5． 故答案為：﹣5． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵． 15．如圖，分別以五邊形的各個(gè)頂點(diǎn)為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為πcm2． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360可得陰影部分的面積為半徑為1的圓的面積，再利用圓的面積計(jì)算公式可得答案． 【解答】解：圖中陰影部分的面積為π12=π． 故答案為：π． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的外角，關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和為360． 16．如圖，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，則∠α與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為2∠α+∠A=180． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)SAS證明△BED與△CDF全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠C=∠B， 在△BED與△CDF中， ， ∴△BED≌△CDF（SAS）， ∴∠BED=∠FDC， ∵∠α+∠FDC=∠B+∠BED， ∴∠α=∠B， ∵∠A+∠B+∠C=180， ∴2∠α+∠A=180． 故答案為：2∠α+∠A=180． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 三、解答題(62分) 17．完成下列證明過(guò)程： 如圖，∠CAE是△ABC的一個(gè)外角，∠1=∠2，AD∥BC，求證：AB=AC． 證明：∵AD∥BC（已知） ∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等） ∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又∵∠1=∠2（已知） ∴∠B=∠C（等量代換） ∴AB=AC （等角對(duì)等邊）． 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)． 【專題】推理填空題． 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊的性質(zhì)填空． 【解答】證明：∵AD∥BC（已知） ∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等） ∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又∵∠1=∠2（已知） ∴∠B=∠C（等量代換） ∴AB=AC（等角對(duì)等邊）． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用平行線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊的性質(zhì)，書(shū)寫證明過(guò)程是本題練習(xí)的重點(diǎn)． 18．如圖，在33的正方形網(wǎng)格中，有格點(diǎn)△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)谙旅娼o出的圖中，畫(huà)出3個(gè)不同位置的△DEF及其對(duì)稱軸MN． 【考點(diǎn)】利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案． 【分析】本題要求思維嚴(yán)密，根據(jù)對(duì)稱圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，找出不同的對(duì)稱軸，畫(huà)出不同的圖形，對(duì)稱軸可以隨意確定，因?yàn)橹灰鶕?jù)你確定的對(duì)稱軸去畫(huà)另一半對(duì)稱圖形，那這兩個(gè)圖形一定是軸對(duì)稱圖形． 【解答】解：如圖所示； 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的解題的關(guān)鍵． 19．如圖，AC=AE，AB=AD，∠1=∠2，求證：∠B=∠D． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】由SAS證明△BAC≌△DAE，得出對(duì)應(yīng)角相等即可． 【解答】證明：∵∠1=∠2， ∴∠CAB=∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（SAS）， ∴∠B=∠D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 20．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠B=40，∠E=30，求∠BAC的度數(shù)． 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ECD，根據(jù)角平分線定義求出∠ACD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可． 【解答】解：∵∠B=40，∠E=30， ∴∠ECD=∠B+∠E=70， ∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線， ∴∠ACD=2∠ECD=140， ∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=140﹣40=100． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角性質(zhì)，角平分線定義的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和． 21．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比四邊形的外角和多540，并且這個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等．這個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于多少度？它是正幾邊形？ 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想．關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征，還需要懂得挖掘此題隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個(gè)條件．本題可用整式方程求解． 【解答】解：設(shè)邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得 （n﹣2）180=360+540 （n﹣2）180=900 n﹣2=5 ∴n=7． 9007=． 答：這個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于度、它是正七邊形． 【點(diǎn)評(píng)】此題較難，考查比較新穎，涉及到整式方程． 22．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE、DF分別是∠ADB、∠ADC的平分線，若DE=2，求DF的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】證明△ADE≌△ADF即可，然后可得DF=DE=2． 【解答】解：如圖， ∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)， ∴∠ADB=∠ADC=90，∠1=∠2， ∵DE、DF分別是∠ADB，∠ADC的平分線， ∴∠ADE=∠ADB=45，∠ADF=∠ADC=45， ∴∠ADE=∠ADF， 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（ASA）， ∴DF=DE=2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．對(duì)于全等三角形的證明，差什么條件就去尋找什么條件，如果條件不是明顯的，則先通過(guò)推導(dǎo)得出所需要的條件． 23．如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60，連接CE． （1）求證：△ABD≌△ACE； （2）求證：CE平分∠ACF； （3）若AB=2，當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求BD的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）由于AB=AC，AD=AE，所以只需證∠BAD=∠CAE即可得結(jié)論； （2）證明∠ACE和∠ECF都等于60即可； （3）將四邊形ADCE的周長(zhǎng)用AD表示，AD最小時(shí)就是四邊形ADCE的周長(zhǎng)最小，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)BD就是BC的一半． 【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60， ∵∠DAE=60， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE． （2）證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠BCA=60， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE=∠B=60， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ACE=∠B=60， ∴∠ECF=180﹣∠ACE﹣∠BCA=60， ∴∠ACE=∠ECF， ∴CE平分∠ACF． （3）解：∵△ABD≌△ACE， ∴CE=BD， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC=2， ∴四邊形ADCE的周長(zhǎng)=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=2+AD， 根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD值最小，四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值， ∵AB=AC， ∴BD===1． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及垂線段最短原理，關(guān)鍵是找出能使三角形全等的條件，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等． 24．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣3，0），B（2，0），C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且BC=4． （1）求∠OBC的度數(shù)； （2）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在邊BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中： ①若點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值； ②若點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)路程分別是a，b，已知△PQB是等腰三角形時(shí)，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系． 【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）在OA上取一點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可； （2）①分∠PQB=90時(shí)和∠QPB=90時(shí)兩種情況進(jìn)行解答即可； ②分a＜5和a＞5兩種情況，利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可． 【解答】解：（1）如圖1： 在OA上取一點(diǎn)D，使得OD=OB，連接CD，則BD=2OB=4， ∵CO⊥BD， ∴CD=CB=4， ∴CD=CB=BD， ∴△DBC是等邊三角形， ∴∠OBC=60； （2）①由題意，得AP=2t，BQ=t， ∵A（﹣3，0），B（2，0）， ∴AB=5， ∴PB=5﹣2t， ∵∠OBC=60≠90， ∴下面分兩種情況進(jìn)行討論， Ⅰ）如圖2： 當(dāng)∠PQB=90時(shí)， ∵∠OBC=60， ∴∠BPQ=30， ∴BQ=， ∴， 解得：t=； Ⅱ）當(dāng)∠QPB=90時(shí)，如圖3： ∵∠OBC=60， ∴∠BQP=30， ∴PB=， ∴， 解得：t=2； ②如圖4： 當(dāng)a＜5時(shí)， ∵AP=a，BQ=b， ∴BP=5﹣a， ∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60， ∴△PQB是等邊三角形， ∴b=5﹣a， 即a+b=5， 如圖5：當(dāng)a＞5時(shí)， ∵AP=a，BQ=b， ∴BP=a﹣5， ∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120， ∴BP=BQ， ∴a﹣5=b， 即a﹣b=5． 【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的應(yīng)用等，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．