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2019-2020年高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)理 含答案 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至2頁(yè)，第Ⅱ卷第3至第4頁(yè).滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘. 考生注意： 1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致. 2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).第II卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答，答題無(wú)效. 3.考試結(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交. 參考公式： 錐體體積公式，其中為底面積，為高. 第Ⅰ卷 一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.若,則復(fù)數(shù)z的虛部為 ( B ) A. B. C. D. 2.已知，且，則=（A ） A．1 B.-1 C. D. 3.已知向量，的夾角為，且，，則向量與的夾角為（ D ） A． B． C． D． 4. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 （ C ） A.2 B. 1 C. D. 5．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線(xiàn)性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各 自獨(dú)立地做10次和15次試驗(yàn)，并且利用線(xiàn)性回歸方法，求得回歸直 線(xiàn)分別為l1和l2，已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的平均 值都是s，對(duì)變量y的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說(shuō)法正確的（ B ） A．l1和l2必定平行 B．l1和l2有交點(diǎn)（） C．l1與l2必定重合 D．l1與l2相交，但交點(diǎn)不一定是（） 6．某會(huì)議室第一排有9個(gè)座位，現(xiàn)安排4人就座，若要求每人左右均有空位，則不同的坐法種數(shù)為( C ) A.8 B. 16 C. 24 D. 60 7．已知雙曲線(xiàn)－＝1的右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2＝12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F作其漸近線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足為M，則點(diǎn)M縱坐標(biāo)為 ( C ) A. B． C． D． 8. 定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),且f(x)圖像連續(xù),當(dāng)x0時(shí), ,則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ C?。? A．1 B．2 C．0 D．0或2 9.數(shù)列滿(mǎn)足，，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為( D ) A. B. C. D. 10.如圖，液體從圓錐形漏斗漏入一圓柱形桶中，開(kāi)始時(shí)，漏斗盛滿(mǎn)液體，經(jīng)3分鐘漏完．已 知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落 時(shí)間t(分)的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是（ B ） 第Ⅱ卷 注：第Ⅱ卷共2頁(yè)，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答.若在試題卷上作答，答案無(wú)效. 二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 11.下列四個(gè)命題: ①集合的真子集的個(gè)數(shù)為； ②6的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為160 ③ ④已知，條件：，條件：，則是的充分必要條件 其中真命題的個(gè)數(shù)是________2 12．右圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖， 其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是i>________ i>10 13.已知與()． 直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)MN 的距離是 ．1 14.函數(shù)，其中，若動(dòng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，則是否存在最大值？若存在，在橫線(xiàn)處填寫(xiě)其最大值；若不存在，直接填寫(xiě)“不存在”________.1 三.選做題：請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答.若兩題都做，則按第一題評(píng)閱計(jì)分.本題共5分. 15．（1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)和從參數(shù)方程分別為（為參數(shù)）和（為參數(shù)）.則曲線(xiàn)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為 . （2）對(duì)于實(shí)數(shù),若的最大值為 5 四．解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 16.已知向量，，其中ω0. 函數(shù)最小正周期為，xR. （1）求f(x)單調(diào)遞增區(qū)間； (2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知，求f(A)值. 解：（1）= 由得 ，解得f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為； （2）聯(lián)立得： ，即 17.師大附中紅五月舉行投籃比賽，比賽規(guī)則如下：每次投籃投中一次得2分，未中扣1分，每位同學(xué)原始積分均為0分，當(dāng)累積得分少于或等于2分則停止投籃，否則繼續(xù)，每位同學(xué)最多投籃5次.且規(guī)定總共投中5、4、3次的同學(xué)分別為一、二、三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金分別為30元、20元、10元.某班甲、乙、丙同學(xué)相約參加此活動(dòng)，他們每次投籃命中的概率均為，且互不影響. （1）求甲同學(xué)能獲獎(jiǎng)的概率； （2）記甲、乙、丙三位同學(xué)獲得獎(jiǎng)金總數(shù)為X，求X的期望EX. 解：（1）； （2）記甲同學(xué)獲得獎(jiǎng)金為Y，則Y的分布列如下： Y 0 10 20 30 P ， 18.如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAB平面ABC，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，AC=6，D、E分別為PB、BC中點(diǎn)，點(diǎn)F為線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AD//平面PEF. P A B C E D （1）求值； （2）求二面角A-PF-E的余弦值. 解：連結(jié)CD交PE于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作交 AC于點(diǎn)F，則AD//平面PEF. G為重心， 又，所以 （2）如圖以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)建系，則 ，，， 分別設(shè)平面PAF、面PEF的法向量為、 則，取 P A B C E D G O y x z ，取 19.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，(其中λ0且λ–1，nN*)，為數(shù)列{an}的前項(xiàng)和． (1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，若存在，請(qǐng)求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解:(1) 由題意，可得： ，所以有 ，又. 得到：，故數(shù)列從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列 又因?yàn)?，所以n≥2時(shí)，……………………………4分 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)…………………………………6分 (2) 因?yàn)? 所以……………………………………8分 假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)am、ak、ap成等差數(shù)列， ①不防設(shè)m>k>p≥2，因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以2ak=am+ap 即：2()4k–2 = 4m–2 + 4p–2，化簡(jiǎn)得：24k - p = 4m–p+1 即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1， 故有：m=p=k，和題設(shè)矛盾………………………………………………………………10分 ②假設(shè)存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)中包含a1時(shí)， 不妨設(shè)m=1，k>p≥2且ak>ap，所以2ap = a1+ak ， 2()4p–2 = – + ()4k–2，所以24p–2= –2+4k–2，即22p–4 = 22k–5 – 1 因?yàn)閗 > p ≥ 2，所以當(dāng)且僅當(dāng)k=3且p=2時(shí)成立因此，數(shù)列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差數(shù)列……………………………12分 20．（本題滿(mǎn)分13分 ）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)、分別與橢圓交于、兩點(diǎn)．試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)是否恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？證明你的結(jié)論． 解答： 解：（I）一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，﹣），故c=，可設(shè)橢圓方程為 …（2分） ∵點(diǎn)（，）在橢圓上，∴ ∴b2=1，（舍去） ∴橢圓方程為 …（4分） （II）直線(xiàn)MN恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（0，1），證明如下： 當(dāng)MN斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)MN即y軸，通過(guò)點(diǎn)Q（0，1），…（6分） 當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，設(shè)P（t，4），A1（0，2）、A2（0，﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）， 直線(xiàn)PA1方程y=，PA2方程y=， y=代入得（1+t2）x2+2tx=0， 得x1=﹣，y1=，∴，…（8分） y=代入得（9+t2）x2﹣6tx=0 得x2=，y2=，∴，…（10分） ∴kQM=kQN，∴直線(xiàn)MN恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（0，1）． …（12分） 21.設(shè)函數(shù)（其中）的圖像在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直． （1）求函數(shù)的極值與零點(diǎn)； （2）設(shè)，若對(duì)任意，存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）若，，，且，證明：． 解：（1）因?yàn)椋裕? 解得：或，又，所以， 由，解得，， 所以，， 因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)是． （2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，， “對(duì)任意，存在，使”等價(jià)于“在上的最小值大于在上的最小值，即當(dāng)時(shí)，”,， ① 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，符合題意； ② 當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，單調(diào)遞減， 所以，符合題意； ③ 當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，， 令（），則，所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即， 所以，符合題意， 綜上所述，若對(duì)任意，存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是． （3）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即， 當(dāng)，，，且時(shí)，，，， 所以 又因?yàn)椋? 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．