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山東省日照市莒縣2016-2017學年八年級（上）期中數(shù)學試卷(解析版) 　 一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請將正確選項代號填入下表．第1-8小題選對每小題得3分，第9-12小題選對每小題得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分．） 1．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．下列運算正確的是（　?。? A．x2+x2=x4 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a2）3=﹣a6 D．3a2?2a3=6a6 3．在中，分式的個數(shù)是（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知等腰三角形的一個內角為70，則另兩個內角的度數(shù)是（　?。? A．55，55 B．70，40 C．55，55或70，40 D．以上都不對 5．若分式的值為零，則x的值是（　?。? A．1 B．1 C．﹣1 D．0 6．如果x2+10x+__=（x+5）2，橫線處填（　?。? A．5 B．10 C．25 D．10 7．把多項式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）則a，b的值分別是（　?。? A．a(chǎn)=2，b=3 B．a(chǎn)=﹣2，b=﹣3 C．a(chǎn)=﹣2，b=3 D．a(chǎn)=2，b=﹣3 8．在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b），再沿虛線剪開，如圖（1），然后拼成一個梯形，如圖（2），根據(jù)這兩個圖形的面積關系，表明下列式子成立的是（　?。? A．a(chǎn)2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2=（a﹣b）2 9．分式中的x，y同時擴大2倍，則分式的值（　?。? A．不變 B．是原來的2倍 C．是原來的4倍 D．是原來的 10．已知10m=2，10n=3，則103m+2n=（　?。? A．17 B．72 C．12 D．36 11．觀察下列各式及其展開式： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 請你猜想（a+b）10的展開式第三項的系數(shù)是（　?。? A．36 B．45 C．55 D．66 12．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，﹣2），在坐標軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的有（　?。﹤€． A．5 B．6 C．7 D．8 　 二、填空題（本大題共4小題；每小題4分，共16分．把答案寫在題中橫線上） 13．把一張紙各按圖中那樣折疊后，若得到∠AOB′=70，則∠BOG=　?。? 14．等腰三角形的周長是25cm，一腰上的中線將周長分為3：2兩部分，則此三角形的底邊長為　　cm或　　cm． 15．已知a2﹣a﹣1=0，則a3﹣a2﹣a+2016=　?。? 16．如圖，已知點B．C．D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H． ①△BCE≌△ACD； ②CF=CH； ③△CFH為等邊三角形； ④FH∥BD； ⑤AD與BE的夾角為60， 以上結論正確的是　?。? 　 三、解答題（本大題共6小題，共64分．解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 17．（8分）計算： （1）（2105）（810﹣5） （2）（x+y）2﹣（x+y）（x﹣y） 18．（10分）（1）已知x+y=15，x2+y2=113，求x2﹣xy+y2的值． （2）先化簡，再求值：+1，在0，1，2，三個數(shù)中選一個合適的，代入求值． 19．（12分）平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（0，4），B（3，4），C（4，﹣1）． （1）試在平面直角坐標系中，畫出△ABC； （2）若△A1B1C1與△ABC關于x軸對稱，寫出A1、B1、C1的坐標； （3）在x軸上找到一點P，使點P到點A、B兩點的距離和最??； （4）求△ABC的面積． 20．（10分）如圖，AB=AC，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE與CD相交于點O． （1）求證：AD=AE； （2）試猜想：OA與BC的位置關系，并加以證明． 21．（10分）下面是某同學對多項式（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+1）+4進行因式分解的過程． 解：設x2﹣4x=y 原式=（y﹣3）（y+1）+4（第一步） =y2﹣2y+1 （第二步） =（y﹣1）2 （第三步） =（x2﹣4x﹣1）2（第四步） 回答下列問題： （1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的　?。? A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進行因式分解． 22．（14分）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D． （1）當∠BQD=30時，求AP的長； （2）證明：在運動過程中，點D是線段PQ的中點； （3）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由． 　  2016-2017學年山東省日照市莒縣八年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請將正確選項代號填入下表．第1-8小題選對每小題得3分，第9-12小題選對每小題得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個均記零分．） 1．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故本選項正確． 故選D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 2．下列運算正確的是（　?。? A．x2+x2=x4 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．（﹣a2）3=﹣a6 D．3a2?2a3=6a6 【考點】完全平方公式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；單項式乘單項式． 【分析】根據(jù)同類項、完全平方公式、冪的乘方和單項式的乘法計算即可． 【解答】解：A、x2+x2=2x2，錯誤； B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，錯誤； C、（﹣a2）3=﹣a6，正確； D、3a2?2a3=6a5，錯誤； 故選C． 【點評】此題考查同類項、完全平方公式、冪的乘方和單項式的乘法，關鍵是根據(jù)法則進行計算． 　 3．在中，分式的個數(shù)是（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 【考點】分式的定義． 【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式． 【解答】解：在中， 分式有， ∴分式的個數(shù)是3個． 故選：B． 【點評】本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以象不是分式，是整式． 　 4．已知等腰三角形的一個內角為70，則另兩個內角的度數(shù)是（　?。? A．55，55 B．70，40 C．55，55或70，40 D．以上都不對 【考點】等腰三角形的性質． 【分析】分別把70看做等腰三角形的頂角和底角，分兩種情況考慮，利用三角形內角和是180度計算即可． 【解答】解：當70為頂角時，另外兩個角是底角，它們的度數(shù)是相等的，為（180﹣70）2=55， 當70為底角時，另外一個底角也是70，頂角是180﹣140=40． 故選C． 【點評】主要考查了等腰三角形的性質．要注意分兩種情況考慮，不要漏掉一種情況． 　 5．若分式的值為零，則x的值是（　?。? A．1 B．1 C．﹣1 D．0 【考點】分式的值為零的條件． 【分析】先根據(jù)分式的值為0的條件列出關于x的不等式組，求出x的值即可． 【解答】解：∵分式的值為零， ∴，解得x=﹣1． 故選C． 【點評】本題考查的是分式的值為0的條件，即分式的分子為0，分母不為0． 　 6．如果x2+10x+__=（x+5）2，橫線處填（　?。? A．5 B．10 C．25 D．10 【考點】配方法的應用． 【分析】先設需要填的那個數(shù)為A，將等號右邊根據(jù)整式乘法運用完全平方公式展開，再求一個關于A的方程就可以了． 【解答】解：設需要填空的數(shù)為A，則原式為：x2+10x+A=（x+5）2． ∴x2+10x+A=x2+10x+25， ∴A=25． 故選：C． 【點評】本題考查了配方法的運用及運用方程的解法求出等式中的未知數(shù)的方法．解答本題設未知數(shù)列方程解比較簡單． 　 7．把多項式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）則a，b的值分別是（　?。? A．a(chǎn)=2，b=3 B．a(chǎn)=﹣2，b=﹣3 C．a(chǎn)=﹣2，b=3 D．a(chǎn)=2，b=﹣3 【考點】因式分解的應用． 【分析】運用多項式乘以多項式的法則求出（x+1）（x﹣3）的值，對比系數(shù)可以得到a，b的值． 【解答】解：∵（x+1）（x﹣3）=x?x﹣x?3+1?x﹣13=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3 ∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3 ∴a=﹣2，b=﹣3． 故選：B． 【點評】本題考查了多項式的乘法，解題的關鍵是熟練運用運算法則． 　 8．在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b），再沿虛線剪開，如圖（1），然后拼成一個梯形，如圖（2），根據(jù)這兩個圖形的面積關系，表明下列式子成立的是（　?。? A．a(chǎn)2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2=（a﹣b）2 【考點】平方差公式的幾何背景． 【分析】（1）中的面積=a2﹣b2，（2）中梯形的面積=（2a+2b）（a﹣b）2=（a+b）（a﹣b），兩圖形陰影面積相等，據(jù)此即可解答． 【解答】解：由題可得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 故選A． 【點評】本題主要考查了平方差公式的幾何表示，表示出圖形陰影部分面積是解題的關鍵． 　 9．分式中的x，y同時擴大2倍，則分式的值（　?。? A．不變 B．是原來的2倍 C．是原來的4倍 D．是原來的 【考點】分式的基本性質． 【分析】根據(jù)分式的基本性質得到x，y同時擴大2倍時，分子擴大4倍，分母擴大2倍，則分式的值是原來的2倍． 【解答】解：∵分式中的x，y同時擴大2倍， ∴分子擴大4倍，分母擴大2倍， ∴分式的值是原來的2倍． 故選B． 【點評】本題考查了分式的基本性質：分式的分子分母都乘以（或除以）一個不為0數(shù)（或式），分式的值不變． 　 10．已知10m=2，10n=3，則103m+2n=（　?。? A．17 B．72 C．12 D．36 【考點】冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的乘法． 【分析】利用冪的乘法和乘方公式即可求出答案． 【解答】解：由題意可知： 103m+2n =103m102n =（10m）3（10n）2 =2332 =89 =72 故選（B） 【點評】本題考查冪的運算公式，涉及整體的思想． 　 11．觀察下列各式及其展開式： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 請你猜想（a+b）10的展開式第三項的系數(shù)是（　?。? A．36 B．45 C．55 D．66 【考點】完全平方公式． 【分析】歸納總結得到展開式中第三項系數(shù)即可． 【解答】解：解：（a+b）2=a2+2ab+b2； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7； 第8個式子系數(shù)分別為：1，8，28，56，70，56，28，8，1； 第9個式子系數(shù)分別為：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 第10個式子系數(shù)分別為：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1， 則（a+b）10的展開式第三項的系數(shù)為45． 故選B． 【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵． 　 12．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，﹣2），在坐標軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的有（　?。﹤€． A．5 B．6 C．7 D．8 【考點】等腰三角形的判定；坐標與圖形性質． 【分析】等腰三角形要判斷腰長的情況，本題可先設P點的坐標，根據(jù)OA是底邊、腰幾種情況下手進行討論即可得出答案． 【解答】解：已知△AOP的邊OA，這條邊可能是底邊也可能是腰 當OA是底邊時，點P是OA的垂直平分線與x軸，y軸的交點，這兩個點的坐標是（2，0）和（0，﹣2）滿足條件的有兩點； 當OA是腰時，當O是頂角頂點時，以O為圓心，以OA為半徑作圓，與兩坐標軸的交點坐標是（0，2），（0，﹣2），（2，0），（﹣2，0）； 當A是頂角頂點時，以A為圓心，以AO為半徑作圓，與兩坐標軸的交點坐標有除原點以外有兩個交點，因而使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有8個． 故選D 【點評】本題考查了等腰三角形的判定；分情況進行討論，能夠把各種情況能夠討論全是解決本題的關鍵． 　 二、填空題（本大題共4小題；每小題4分，共16分．把答案寫在題中橫線上） 13．把一張紙各按圖中那樣折疊后，若得到∠AOB′=70，則∠BOG=　55?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)折疊得：：∠BOG=∠B′OG，再由平角的定義可和結論． 【解答】解：由折疊得：∠BOG=∠B′OG， ∵∠AOB′=70， ∴∠BOB′=180﹣70=110， ∴∠BOG=1102=55， 故答案為：55度 【點評】本題考查了折疊的性質，折疊前后的邊相等，角相等，利用平角進行計算即可． 　 14．等腰三角形的周長是25cm，一腰上的中線將周長分為3：2兩部分，則此三角形的底邊長為　　cm或　5　cm． 【考點】等腰三角形的性質． 【分析】本題可分別設出等腰三角形的腰和底的長，然后根據(jù)一腰上的中線所分三角形兩部分的周長來聯(lián)立方程組，進而可求得等腰三角形的底邊長．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結果是否滿足三角形的三邊關系． 【解答】解：設該三角形的腰長是xcm，底邊長是ycm．根據(jù)題意，得： 或，解得或． 經(jīng)檢驗，都符合三角形的三邊關系． 因此三角形的底邊長為cm或5cm． 故填為或5． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確3：2兩部分是哪一部分含有底邊，所以一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵． 　 15．已知a2﹣a﹣1=0，則a3﹣a2﹣a+2016=　2016?。? 【考點】因式分解的應用；代數(shù)式求值． 【分析】在代數(shù)式a3﹣a2﹣a+2016中提取出a，再將a2﹣a﹣1=0代入其中即可得出結論． 【解答】解：∵a2﹣a﹣1=0， ∴a3﹣a2﹣a+2016=a（a2﹣a﹣1）+2016=0+2016=2016． 故答案為：2016． 【點評】本題考查了代數(shù)式求值，提出公因數(shù)a再代入數(shù)值即可得出結論． 　 16．如圖，已知點B．C．D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H． ①△BCE≌△ACD； ②CF=CH； ③△CFH為等邊三角形； ④FH∥BD； ⑤AD與BE的夾角為60， 以上結論正確的是?、佗冖邰堍荨。? 【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質． 【分析】①利用等邊三角形的性質得出條件，可證明：△BCE≌△ACD； ②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再運用平角定義得出∠BCF=∠ACH進而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH； ③由CF=CH和∠ACH=60根據(jù)“有一個角是60的三角形是等邊三角形可得△CFH是等邊三角形； ④∠DCH=∠CHF=60，可得FH∥BD； ⑤設AD，BE相較于點O，根據(jù)三角形內角和定理可得∠CAD+∠CDA=60，而∠CAD=∠CBE，則∠CBE+∠CDA=60，然后再利用三角形內角和定理即可得到∠BOD=120，進而可得AD與BE的夾角為60． 【解答】證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形， ∴∠BCA=∠DCE=60，BC=AC=AB，EC=CD=ED， ∴∠BCE=∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）； （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠CBF=∠CAH． ∵∠ACB=∠DCE=60， ∴∠ACH=60． ∴∠BCF=∠ACH， 在△BCF和△ACH中， ， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF=CH； （3）∵CF=CH，∠ACH=60， ∴△CFH是等邊三角形； （4）∵△CHF為等邊三角形 ∴∠FHC=60， ∵∠HCD=60， ∴FH∥BD． ∴AD=BE； （5）∵∠CAD+∠CDA=60， 而∠CAD=∠CBE， ∴∠CBE+∠CDA=60， ∴∠BOD=120， ∴∠AOB=60， 即AD與BE的夾角為60， 故答案為：①②③④⑤． 【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質及等邊三角形的性質；普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同時還要結合等邊三角形的性質，創(chuàng)造條件證明三角形全等是正確解答本題的關鍵． 　 三、解答題（本大題共6小題，共64分．解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） 17．計算： （1）（2105）（810﹣5） （2）（x+y）2﹣（x+y）（x﹣y） 【考點】平方差公式；單項式乘多項式；完全平方公式；負整數(shù)指數(shù)冪． 【分析】（1）原式利用多項式除以多項式法則計算即可得到結果； （2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式，去括號合并即可得到結果． 【解答】解：（1）原式=2.5109； （2）原式=x2+2xy+y2﹣x2+y2=2xy+2y2． 【點評】此題考查了平方差公式，完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵． 　 18．（10分）（2016秋?莒縣期中）（1）已知x+y=15，x2+y2=113，求x2﹣xy+y2的值． （2）先化簡，再求值：+1，在0，1，2，三個數(shù)中選一個合適的，代入求值． 【考點】分式的化簡求值；完全平方公式． 【分析】（1）先根據(jù)題意得出xy的值，再代入代數(shù)式進行計算即可； （2）根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再選出合適的x的值代入進行計算即可． 【解答】解：（1）∵x+y=15，x2+y2=113， ∴（x+y）2=225，即x2+y2+2xy=225， ∴2xy=225﹣113=112， ∴xy=56， ∴x2﹣xy+y2=113﹣56=57； （2）原式=?+1 =+1 =， 當x=1時，原式=． 【點評】本題考查的是分式的化簡求值，分式中的一些特殊求值題并非是一味的化簡，代入，求值．許多問題還需運用到常見的數(shù)學思想，如化歸思想（即轉化）、整體思想等，了解這些數(shù)學解題思想對于解題技巧的豐富與提高有一定幫助． 　 19．（12分）（2016秋?莒縣期中）平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（0，4），B（3，4），C（4，﹣1）． （1）試在平面直角坐標系中，畫出△ABC； （2）若△A1B1C1與△ABC關于x軸對稱，寫出A1、B1、C1的坐標； （3）在x軸上找到一點P，使點P到點A、B兩點的距離和最?。? （4）求△ABC的面積． 【考點】軸對稱-最短路線問題；作圖-軸對稱變換． 【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可； （2）根據(jù)關于x軸對稱的點的特點即可得到結果； （3）連接A1B交x軸于P即可得到結論； （4）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論． 【解答】解：（1）如圖所示△ABC即為所求； （2）A1（0，﹣4），B1（3，﹣4），C1（4，1）； （3）連接A1B交x軸于P，點P即為所求； （4）S△ABC=35=． 【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，作圖﹣軸對稱變換，正確的作出圖形是解題的關鍵． 　 20．（10分）（2013秋?中江縣期末）如圖，AB=AC，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE與CD相交于點O． （1）求證：AD=AE； （2）試猜想：OA與BC的位置關系，并加以證明． 【考點】全等三角形的判定與性質． 【分析】（1）根據(jù)AAS推出△ACD≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質得出即可； （2）證Rt△ADO≌Rt△AEO，推出∠DAO=∠EAO，根據(jù)等腰三角形的性質推出即可． 【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠AEB=90， △ACD和△ABE中， ∵ ∴△ACD≌△ABE（AAS）， ∴AD=AE． （2）猜想：OA⊥BC． 證明：連接OA、BC， ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠AEB=90． 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ∵ ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）． ∴∠DAO=∠EAO， 又∵AB=AC， ∴OA⊥BC． 【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生的推理能力． 　 21．（10分）（2016秋?莒縣期中）下面是某同學對多項式（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+1）+4進行因式分解的過程． 解：設x2﹣4x=y 原式=（y﹣3）（y+1）+4（第一步） =y2﹣2y+1 （第二步） =（y﹣1）2 （第三步） =（x2﹣4x﹣1）2（第四步） 回答下列問題： （1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的　C?。? A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進行因式分解． 【考點】因式分解的應用． 【分析】利用換元法、完全平方公式進行因式分解即可． 【解答】解：（1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的完全平方公式法， 故選：C． （2）設x2+2x=y， 原式=y2+2y+1， =（y+1）2， 則（x2+2x）（x2+2x+2）+1=（x2+2x+1）2=[（x+1）2]2=（x+1）4． 【點評】本題考查的是因式分解的應用，掌握換元思想、靈活運用完全平方公式是解題的關鍵． 　 22．（14分）（2016秋?莒縣期中）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D． （1）當∠BQD=30時，求AP的長； （2）證明：在運動過程中，點D是線段PQ的中點； （3）當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由． 【考點】三角形綜合題． 【分析】（1）先判斷出∠QPC是直角，再利用含30的直角三角形的性質得出QC=2PC，建立方程求解決即可； （2）先作出PF∥BC得出∠PFA=∠FPA=∠A=60，進而判斷出△DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出結論； （3）利用等邊三角形的性質得出EF=AF，借助DF=DB，即可得出DF=BF，最后用等量代換即可． 【解答】（1）解：設AP=x，則BQ=x， ∵∠BQD=30，∠C=60， ∴∠QPC=90， ∴QC=2PC，即x+6=2（6﹣x）， 解得x=2， 即AP=2． （2）證明：如圖， 過P點作PF∥BC，交AB于F， ∵PF∥BC， ∴∠PFA=∠FPA=∠A=60， ∴PF=AP=AF， ∴PF=BQ， 又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP， ∴△DQB≌△DPF， ∴DQ=DP即D為PQ中點， （3）運動過程中線段ED的長不發(fā)生變化，是定值為3， 理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF， ∴， 又∵△DQB≌△DPF， ∴， ∴． 【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了含30的直角三角形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，判斷出△DQB≌△DPF是解本題的關鍵，作出輔助線是解本題的難點，是一道比較簡單的中考常考題．