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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)分類(lèi)匯編 第三期 K單元 概率 目錄 K單元 概率 1 K1　隨事件的概率 1 K2　古典概型 1 K3　幾何概型 1 K4 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率 1 K5 相互對(duì)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 1 K6　離散型隨機(jī)變量及其分布列 1 K7　條件概率與事件的獨(dú)立性 1 K8　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布 1 K9 單元綜合 1 K1　隨事件的概率 K2　古典概型 【數(shù)學(xué)文卷xx屆湖南省師大附中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）】17、（本題滿(mǎn)分12分） 某工廠有25周歲以上（含25周歲）的工人300名，25周歲以下的工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25 周歲以下”分成兩組，并將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5 組：， 加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1) 從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2名，求至少抽到一名25周歲以下的工人的概率. (2) 規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件作出22列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”？ 附表及公式： 0.100 0.050 0.010 0.001 K 2.706 3.841 6.635 10.828 【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體；統(tǒng)計(jì)案例；古典概型. I2 I4 K2 【答案解析】(1) ；（2） 生產(chǎn)能手 非生產(chǎn)能手 合計(jì) 25周歲以上 15 45 60 25周歲以下 15 25 40 合計(jì) 30 70 100 沒(méi)有以上的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”. 解析：（1）由已知得，樣本中25周歲以上的工人有60名，25周歲以下的工人有40名，所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上的工人有（名），記為；25周歲以下的工人有(名)，記為. 從中隨機(jī)任取2名工人，所有可能的結(jié)果為：, ，共10種.------2分 其中，至少抽到一名25周歲以下的工人的可能得結(jié)果為，，共7種.-----4分 故所求概率.-------6分 （2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，25周歲以上的生產(chǎn)能手有 （名），25周歲以上的生產(chǎn)能手有（名），----8分 據(jù)此可得列聯(lián)表如下： 生產(chǎn)能手 非生產(chǎn)能手 合計(jì) 25周歲以上 15 45 60 25周歲以下 15 25 40 合計(jì) 30 70 100 -------------10分 所以=. 因?yàn)?.79<2.706，所以沒(méi)有以上的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人的年齡有關(guān)”.---12分 【思路點(diǎn)撥】(1) 先求樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人有5人，其中25周歲以下的2人，25周歲以上的3人，逐個(gè)寫(xiě)出從中隨機(jī)任取2名工人的所有可能結(jié)果，共10種.其中 至少抽到一名25周歲以下的工人的可能得結(jié)果有7種，故所求概率； （2）根據(jù)頻率分布直方圖求得：25周歲以上“生產(chǎn)能手”人數(shù)及“非生產(chǎn)能手”人數(shù)；25周歲以下“生產(chǎn)能手”人數(shù)及“非生產(chǎn)能手”人數(shù).從而得列聯(lián)表，然后據(jù)所給公式和附表求值并判斷結(jié)論. K3　幾何概型 【數(shù)學(xué)理卷xx屆湖南省師大附中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）word版】12、從區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)x，從區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)y，則使得的概率為 ； 【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型．K3 【答案解析】 解析：從區(qū)間[﹣5，5]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)x，從區(qū)間[﹣3，3]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)y，對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積為60，使得|x|+|y|≤4，落在矩形內(nèi)的部分，如圖所示， 面積為2（2+8）3=30，∴所求概率為=．故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】從區(qū)間[﹣5，5]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)x，從區(qū)間[﹣3，3]內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)y，對(duì)應(yīng)的區(qū)域是長(zhǎng)方形，使得|x|+|y|≤4，落在矩形內(nèi)的部分，分別求出面積，即可得出結(jié)論． 【數(shù)學(xué)文卷xx屆湖南省師大附中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）】12、在區(qū)間 []上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)記為x，則使得的概率為 . 【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型概率公式. K3 【答案解析】 解析：因?yàn)樵赱]上正弦值大于或等于的區(qū)間是，所以所求=. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)幾何概型的概率公式求解. K4 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率 K5 相互對(duì)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 【數(shù)學(xué)理卷xx屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（xx11）word版】7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為（ ▲ ）。 A． B． C． 　 　 D． 【知識(shí)點(diǎn)】隨機(jī)變量，獨(dú)立事件及其公式，期望K5,K6,K8 【答案解析】B解析：依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6， 設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為。若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．從而有 【思路點(diǎn)撥】由題意，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止，所以隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件的概率，再由離散型隨機(jī)的期望公式求出期望． K6　離散型隨機(jī)變量及其分布列 【數(shù)學(xué)理卷xx屆湖南省師大附中高三上學(xué)期第二次月考（xx10）word版】17、（本小題滿(mǎn)分12分）壇子中有6個(gè)鬮，其中3個(gè)標(biāo)記為“中獎(jiǎng)”，另外三個(gè)標(biāo)記是“謝謝參與”，甲、乙、丙三人份兩輪按甲、乙、丙、甲、乙、丙的順序依次抽取，當(dāng)有人摸到“中獎(jiǎng)”鬮時(shí)，摸獎(jiǎng)隨即結(jié)束。 （1）若按有放回抽取，甲、乙、丙的中獎(jiǎng)概率分別是多少？ （2）若按不放回抽取，甲、乙、丙的中獎(jiǎng)概率分別是多少？ （3）按不放回抽取，第一輪摸獎(jiǎng)時(shí)有人中獎(jiǎng)則可獲得獎(jiǎng)金10000元，第二輪摸獎(jiǎng)時(shí)才中獎(jiǎng)可獲得獎(jiǎng)金6000元，求甲、乙、丙三人所獲獎(jiǎng)金總額的分布列和數(shù)學(xué)期望。 【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．K6 【答案解析】（1）;（2）;（3）9800 解析：（1）按有放回抽取， 甲中獎(jiǎng)概率是：p1=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）=， 乙中獎(jiǎng)的概率是：p2=（1﹣）+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=， 丙中獎(jiǎng)的概率是：p3=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=． （2）按不放回抽取， 甲中獎(jiǎng)概率是：p4=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）=， 乙中獎(jiǎng)的概率是：p5=（1﹣）=， 丙中獎(jiǎng)的概率是：p4=（1﹣）（1﹣）=． （3）依題設(shè)知ξ的所有可能取值為6000，10000． 且由題設(shè)，得：P（ξ=6000）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=， P（ξ=10000）==． 故ξ的分布列為： ξ 6000 10000 P Eξ=6000+10000=9800． 【思路點(diǎn)撥】（1）按有放回抽取，利用已知條件能求出甲、乙、丙的中獎(jiǎng)概率．（2）按不放回抽取，利用已知條件能求出甲、乙、丙的中獎(jiǎng)概率．（3）依題設(shè)知ξ的所有可能取值為6000，10000，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲、乙、丙三人所獲獎(jiǎng)金總額ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【數(shù)學(xué)理卷xx屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（xx11）word版】7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為（ ▲ ）。 A． B． C． 　 　 D． 【知識(shí)點(diǎn)】隨機(jī)變量，獨(dú)立事件及其公式，期望K5,K6,K8 【答案解析】B解析：依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6， 設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為。若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．從而有 【思路點(diǎn)撥】由題意，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止，所以隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件的概率，再由離散型隨機(jī)的期望公式求出期望． K7　條件概率與事件的獨(dú)立性 K8　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布 【數(shù)學(xué)理卷xx屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第一次適應(yīng)性測(cè)試（xx11）word版】7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為（ ▲ ）。 A． B． C． 　 　 D． 【知識(shí)點(diǎn)】隨機(jī)變量，獨(dú)立事件及其公式，期望K5,K6,K8 【答案解析】B解析：依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6， 設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為。若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．從而有 【思路點(diǎn)撥】由題意，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)6局時(shí)停止，所以隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為2，4，6，利用隨機(jī)變量的定義及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求出每一個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件的概率，再由離散型隨機(jī)的期望公式求出期望． K9 單元綜合