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2019-2020年高中數(shù)學 4.2.1實際問題中導數(shù)的意義練習 北師大版選修1-1
一、選擇題
1．已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R，則f′(x0)表示( )
A．自變量x＝x0時對應的函數(shù)值
B．函數(shù)值y在x＝x0時的瞬時變化率
C．函數(shù)值y在x＝x0時的平均變化率
D．無意義
[答案] B
[解析] 根據(jù)導數(shù)的幾何意義知選B.
2．質點運動的速度v(單位：m/s)是時間t(單位：s)的函數(shù)，且v＝v(t)，則v′(1)表示( )
A．t＝1s時的速度 B．t＝1s時的加速度
C．t＝1s時的位移 D．t＝1s時的平均速度
[答案] B
[解析] v(t)的導數(shù)v′(t)表示t時刻的加速度．
3．某汽車啟動階段的路程函數(shù)為s(t)＝2t3－5t2(t表示時間)，則t＝2時，汽車的加速度是( )
A．14 B．4
C．10 D．6
[答案] A
[解析] 速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.
所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，當t＝2時，a(t)＝14，即t＝2時汽車的加速度為14.
4．向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關系如圖所示，那水瓶的形狀是( )
[答案] B
[解析] 在曲線上任取一個橫坐標為h0的點，則注水量V在h0到h0＋Δh的平均變化率為，在h0處的導數(shù)為V′＝ .由圖像可知，隨著h0的增大，曲線的切線的傾斜角越來越小，切線的斜率也就越來越小，即導數(shù)越來越小，那么在Δh不變的前提下，平均變化率＝ΔS，因此，水瓶中水面的面積會越來越小，故選B.
5．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．－1
2 D．a(chǎn)<－1或a>2
[答案] D
[解析] f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，函數(shù)有極大值和極小值，則f′(x)＝0有兩個不等實根，故Δ＝36a2－36(a＋2)>0，即a2－a－2>0.所以a<－1或a>2.
6．如圖，設有定圓C和定點O，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(旋轉角度不超過90)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，它的圖像大致是( )
[答案] D
[解析] 由于是勻速旋轉，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快．
選項A表示面積的增速是常數(shù)，與實際不符；
選項B表示最后時段面積的增速較快，也與實際不符；
選項C表示開始時段和最后時段面積的增速比中間時段快，與實際不符；
選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快．符合實際．
二、填空題
7．一質點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝3t2＋t，則速度v＝10時的時刻t＝________.
[答案]
[解析] s′＝6t＋1，則v(t)＝6t＋1，設6t＋1＝10，
則t＝.
8．火箭豎直向上發(fā)射．熄火時向上速度達到100m/s.則熄火后________秒后火箭速度為零(g取10m/s2)．
[答案] 10
[解析] 由已知，得火箭的運動方程為h(t)＝100t－gt2，∴h′(t)＝100－gt.
令h′(t)＝0，即100－gt＝0，∴t＝＝10(s)．
即火箭熄火后10s速度變?yōu)榱悖?
三、解答題
9．將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh，原油的溫度(單位：℃)為f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義．
[答案] f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5
[解析] 在第2h和6h時，原油溫度的瞬時變化率就是f ′(2)和f ′(6)．
∵f ′(x)＝2x－7.
∴f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5.
在第2h與第6h，原油溫度的瞬時變化率分別為－3和5，它說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速度下降；在第6h附近，原油溫度大約為5℃/h的速度上升．
10．修建面積為xm2的草坪需要成本y元，且y是x的函數(shù)：y＝f(x)＝10x2＋x.
(1)求當x從50變到60時，成本y關于修建面積x的平均變化率，并解釋它的實際意義；
(2)求f′(50)，并解釋它的實際意義．
[答案] (1)平均變化率為1101元/m2 (2)f ′(50)＝1001元/m2
[解析] (1)當x從50變到60時，成本關于草坪面積x的平均變化率為
＝
＝1101(元/m2)．
它表示在草坪面積從50m2增加到60m2的過程中，草坪面積每增加1m2，成本平均增加1101元．
(2)f′(x)＝20x＋1，∴f′(50)＝1001(元/m2)．
f′(50)表示當草坪面積為50m2時，每增加1m2，成本就要增加1001元.
一、解答題
1．自由落體運動的方程為s＝gt2.
(1)求t從3s變到3.1s時，s關于時間t的平均變化率，并解釋它的實際意義；
(2)求s′(3)．
[答案] (1)3.05g m/s (2)3g m/s
[解析] (1)Δs＝s(3.1)－s(3)
＝g3.12－g32＝0.305g，
Δt＝0.1，∴＝3.05g(m/s)．
它表示從t＝3s到t＝3.1s這段時間內，自由落體運動的物體的平均速度為3.05g(m/s)．
(2)s′＝gt，∴s′(3)＝3g(m/s)，它表示自由落體運動的物體在t＝3s時的瞬時速度為3g(m/s)．
2．氡氣是一種由地表自然散發(fā)的無味的放射性氣體．如果最初有500g氡氣，那么t天后，氡氣的剩余量為A(t)＝5000.834t.
(1)氡氣的散發(fā)速度是多少？
(2)A′(7)的值是什么(精確到0.1)？它表示什么意義？
[解析] (1)A′(t)＝5000.834tln0.834.
(2)A′(7)＝5000.8347ln0.834≈－25.5，它表示7天后氡氣散發(fā)的瞬時速度．
3．一底面半徑為rcm，高為hcm的倒立圓錐容器，若以ncm3/s的速度向容器里注水，求注水ts時水面上升的速率．
[答案] cm/s
[解析] 設注水ts時，水面半徑為xcm，水面高度為ycm，則有，
從而得到y(tǒng)關于t的函數(shù)關系式為：y＝，
從而y′＝，
故注水t秒時水面上升的速率為：
(cm/s)．
4．一個電路中，流過的電荷量Q(單位：C)關于時間t(單位：s)的函數(shù)為Q(t)＝3t2－lnt.
(1)求當t從1變到2時，電荷量Q關于t的平均變化率，并解釋它的實際意義；
(2)求Q′(2)，并解釋它的實際意義．
[答案] (1)從t＝1s到t＝2s這段時間內，平均每秒經(jīng)過該電路的電量為8.31C，也就是這段時間內電路的平均電流為8.31A (2)Q′(2)＝11.5 在t＝2s這一時刻，每秒經(jīng)過該電路的電量為11.5C，也就是這一時刻電路的電流為11.5A
[解析] (1)當t從1變到2時，電荷量從Q(1)變到Q(2)，此時電荷量關于時間t的平均變化率為＝≈8.31，它表示從t＝1s到t＝2s這段時間內，平均每秒經(jīng)過該電路的電量為8.31C，也就是這段時間內電路的平均電流為8.31A.
(2)Q′(t)＝6t－，Q′(2)＝11.5，它的實際意義是，在t＝2s這一時刻，每秒經(jīng)過該電路的電量為11.5C，也就是這一時刻電路的電流為11.5A.
5．將1kg鐵從0℃加熱到t℃需要的熱量Q(單位：J)：Q(t)＝0.000297t2＋0.4409t.
(1)當t從10變到20時函數(shù)值Q關于t的平均變化率是多少？它的實際意義是什么？
(2)求Q′(100)，并解釋它的實際意義．
[答案] (1)0.4498 表示在鐵塊的溫度從10℃增加到20℃的過程中，平均每增加1℃，需要吸收熱量0.449 8J (2)Q′(100)＝0.5003 表示在鐵塊的溫度為100℃這一時刻每增加1℃，需要吸收熱量0.5003J
[解析] (1)當t從10變到20時，函數(shù)值Q關于t的平均變化率為＝0.4498，它表示在鐵塊的溫度從10℃增加到20℃的過程中，平均每增加1℃，需要吸收熱量0.449 8J.
(2)Q′(t)＝0.000594t＋0.4409，則Q′(100)＝0.5003，它表示在鐵塊的溫度為100℃這一時刻每增加1℃，需要吸收熱量0.5003J.
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