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2019-2020年高中數(shù)學 2.1.2橢圓的簡單幾何性質練習 北師大版選修1-1
一、選擇題
1．橢圓25x2＋9y2＝225的長軸長，短軸長，離心率依次為( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
[答案] B
[解析] 橢圓25x2＋9y2＝225化為標準方程為＋＝1，∴a2＝25，b2＝9，
∴長軸長2a＝10，短軸長2b＝6，
離心率e＝＝，故選B.
2．橢圓的一個頂點與兩個焦點構成等邊三角形，則此橢圓的離心率為( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 由題意得a＝2c，∴離心率e＝＝.
3．橢圓2x2＋3y2＝6的焦距是( )
A．2 B．2(－)
C．2 D．2(＋)
[答案] A
[解析] 橢圓方程可化為＋＝1，
∴c2＝a2－b2＝1.∴c＝1.
∴焦距2c＝2.
4．若橢圓＋＝1的離心率e＝，則m的值是( )
A．3 B．3或
C. D．或
[答案] B
[解析] 若5>m，e＝＝，m＝3.
若m>5，e＝＝，m＝.
5．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] A
[解析] 由2a＝18得a＝9，
又a－c＝2c，
∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝81－9＝72.
故橢圓的方程為＋＝1.
6．橢圓＋＝1與＋＝1(0
b>0)的離心率是，點P(0,1)在短軸CD上，且＝－1，則橢圓E的方程為________．
[答案]?。?
[解析] 由已知，點C、D的坐標分別為(0，－b)，(0，b)．
又P點的坐標為(0,1)，且＝－1，
于是解得a＝2，b＝，
所以橢圓E方程為＋＝1.
8．若橢圓兩焦點F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，P在橢圓上，且△PF1F2的最大面積是12，則橢圓方程為________．
[答案] ＋＝1
[解析] ∵焦點為(－4,0)，∴c＝4，且焦點在x軸上又最大面積為bc＝12，∴b＝3，∴a2＝16＋9＝25，
∴橢圓方程為＋＝1.
三、解答題
9．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)短軸長為6，兩個焦點間的距離為8；
(2)兩個頂點分別是(－7,0)，(7,0)，橢圓過點A(1,1)；
(3)兩焦點間的距離為8，兩個頂點分別是(－6,0)，(6,0)．
[答案] (1)＋＝1或＋＝1 (2)＋＝1 (3)＋＝1或＋＝1
[解析] (1)由題意得b＝3，c＝4，
∴a2＝b2＋c2＝9＋16＝25
∵焦點位置不定，所以存在兩種情況．
∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1.
(2)當焦點在x軸上時，
∵兩個頂點為(－7,0)，(7,0)，∴a＝7.
∴方程可設為＋＝1，又過點(1,1)，
代入可得b2＝，∴橢圓方程為＋＝1.
當焦點在y軸上時，∵兩個頂點為(－7,0)，(7,0)，
∴b＝7.
∴橢圓方程可設為＋＝1，又過點(1,1)，代入可得
a2＝，這與a2>b2矛盾，∴不符合題意．
綜上可知，橢圓方程為＋＝1.
(3)∵2c＝8，∴c＝4，當焦點在x軸上時，因為橢圓頂點為(6,0)，∴a＝6，∴b2＝36－16＝20，
∴橢圓方程為＋＝1.
當焦點在y軸上時，因為頂點為(6,0)，∴b＝6.
∴a2＝36＋16＝52，∴橢圓方程為＋＝1.
∴橢圓方程為＋＝1或＋＝1.
10．當m取何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144.(1)無公共點；(2)有且僅有一個公共點；(3)有兩個公共點．
[答案] (1)5 (2)－55
[解析] 由消去y得，
9x2＋16(x＋m)2＝144，
化簡整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－425(16m2－144)＝－576m2＋14400.
(1)當Δ＝0時，得m＝5，直線l與橢圓有且僅有一個公共點．
(2)當Δ>0時，得－55，直線l與橢圓無公共點.
一、選擇題
1．橢圓的焦點在x軸上，長、短半軸之和為10，焦距為4，則橢圓的標準方程為( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] A
[解析] 由題意得c＝2，a＋b＝10，
∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，
解得a2＝36，b2＝16，故橢圓方程為＋＝1.
2．過橢圓＋＝1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為( )
A．8,6 B．4,3
C．2， D．4,2
[答案] B
[解析] 橢圓過焦點的弦中最長的是長軸，最短的為垂直于長軸的弦(通徑)是.
∴最長的弦為2a＝4，最短的弦為＝＝3，
故選B.
3．(xx大綱全國理，6)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為( )
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
[答案] A
[解析] 根據(jù)條件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b2＝2，橢圓的方程為＋＝1.
4．(xx撫順二中期中)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B為焦點的橢圓經(jīng)過點C，則該橢圓的離心率e＝( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 設|AB|＝x>0，則|BC|＝x，
AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB
＝x2＋x2－2x2(－)＝x2，∴|AC|＝x，
由條件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，
∴x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝＝＝＝.
二、填空題
5．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是________．
[答案] (0，)
[解析] 依題意得，c0，得2k2－3>0，k2>.
∴k＝，k＝均滿足．
故直線l的方程為y＝x＋2或y＝x＋2.
8．設F1、F2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點，設過定點M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點)，求直線l的斜率k的取值范圍．
[答案] －20，
得k>或k<－. ①
又0<∠AOB<90?cos∠AOB>0?>0.
∴＝x1x2＋y1y2>0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝＋＋4＝.
∴＋>0.
即k2<4.∴－2
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