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2019-2020年高三臨門一腳理科數(shù)學(xué)試題 含答案 B A U 第1題圖 一、選擇題:本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知全集，集合, ，則圖中的陰影部分表示的集合為 A． B． C． D． 2.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是 A． B． C． D． 3. 是等差數(shù)列，“a1＜a3”是“an＜an+1”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 開始 k=0 S=0 S<100 S=S+2s k=k+1 輸出k 結(jié)束 是 否 4.已知平面向量，，，則 A． B. C． D. 5.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是 A． B． C． D． 6.已知為第二象限角，，則 A． B． C． D． 7. 平面直角坐標(biāo)系上有兩個(gè)定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，如果直線和的斜率之積為定值 ，則點(diǎn)的軌跡不可能是(下列軌跡的一部分) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 8. 定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= ，若關(guān)于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0恰有5個(gè)不 同的實(shí)數(shù)解x1, x2, x3, x4, x5，則f(x1+x2+x3+x4+x5)等于 A．lg2 B．2lg2 C．3lg2 D．4lg2 二、填空題（本大題共7小題, 分為必做題和選做題兩部分．每小題5分, 滿分30分） （1） 必做題: 第9至13題為必做題, 每道試題考生都必須作答． 俯視圖 側(cè)視圖 2 正視圖 第11題圖 4 2 4 2 9．的展開式中的系數(shù)等于8，則實(shí)數(shù)_________． 10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾 何體的體積為_____________． 11． _____________． 12.已知的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________． 13．定義max{a,b}=，設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，z=max{4x+y，3x-y}， 則z的取值范圍是　　　　　　　?。? (二)選做題（14、15題，考生只能從中選做一題） 14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，單位長度不變，建立極坐標(biāo)系，則曲線：（為參數(shù)）的極坐標(biāo)方程是_________. 15.(幾何證明選講選做題)如圖,已知:△內(nèi)接于圓，點(diǎn)在的 延長線上，是圓的切線，若,,則的長為 . 三、解答題： 本大題共有6個(gè)小題，共80分，要求寫出推演過程． 16．（本小題滿分12分） 已知： （1）求函數(shù)的值域和最小正周期； （2）寫出的單調(diào)遞增區(qū)間． 17．(本小題滿分12分)小明家訂了一份報(bào)紙， 寒假期間他收集了每天報(bào)紙送達(dá)時(shí)間的數(shù)據(jù)， 并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示． (Ⅰ)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，寫出眾數(shù)； (Ⅱ)小明的父親上班離家的時(shí)間在上午 之間，而送報(bào)人每天在時(shí)刻 前后半小時(shí)內(nèi)把報(bào)紙送達(dá)(每個(gè)時(shí)間點(diǎn)送達(dá) 的可能性相等)． ①求小明的父親在上班離家前能收到報(bào)紙 (稱為事件)的概率； ②求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報(bào)紙 的天數(shù)的數(shù)學(xué)期望． 18. （本小題滿分14分）如圖，是直二面角，四邊形為菱形， 且，，，是的中點(diǎn)，設(shè)與平面所成的角為. （1）求證：平面； （2）試問在線段（不包括端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在， 請求出的長，若不存在，請說明理由. 19．（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且，，成等差數(shù)列． （1）求； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）證明：． 20、（本小題滿分14分）已知是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為k， 為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）若拋物線的焦點(diǎn)在直線的下方，求k的取值范圍； （2）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作W的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值． 21、已知函數(shù) (1)　當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間 上的最大值和最小值； (2)　如果函數(shù),在公共定義域上，滿足， 那么就稱 為的“活動(dòng)函數(shù)”． 已知函數(shù). ①若在區(qū)間 上，函數(shù)是的“活動(dòng)函數(shù)”，求的取值范圍； ②當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的“活動(dòng)函數(shù)”有無窮多個(gè)． 湛江一中xx屆高三5月數(shù)學(xué)(理科)綜合測試 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 1、 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C D A A D C 二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分 9．； 10．； 11．； 12．； 13. 14．； 15. 2、解析:，則 答案：C 3、解析:a1＜a3, 答案：C 4、 解析:， 選D 5、 解析:對于，而對于，則 ，后面是， 不符合條件時(shí)輸出的. 6、解析：，兩邊平方可得 是第二象限角，因此， 所以 7、 解析:以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB的所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) 則，整理可得， 所以點(diǎn)的軌跡不可能是拋物線。 答案：D 8、 解：因方程方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故x=2應(yīng)是其中的一 個(gè)根，又f(2)＝1，故1+b+c=0c=－(b+1),于是有， [ f (x)－1][ f (x)+（1+b）]=0 [lg|x－2|－1][lg|x－2|+（1+b）]=0 四個(gè)根為－8， 12，＝f(10)＝3lg2,選C. 9、 中含的一項(xiàng)為，令，則，即．量 10、 解析：三視圖為 一個(gè)圓柱體的一部分，并且有正視圖知是一個(gè)1/2的圓柱體，底面 圓的半徑為1，圓柱體的高為6，則知所求幾何體體積為原體積的一半為． 11..解析:．量 12、 設(shè)三邊為， 則可得所對的邊最大， 由余弦定理得。 13． 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)約束條件為， 得，當(dāng)時(shí)，，同理得，即 14、解析：先將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程：，從而有，即. 15、 解析：∵AD是圓O的切線，∠B=30∴∠DAC=30，∴∠OAC=60， ∴△AOC是一個(gè)等邊三角形，∴OA=OC=2，在直角三角形AOD中， OD=2AO=4，故答案為：4． 16、解： ………4分 （1）函數(shù)的值域?yàn)閇，4] ………6分; 函數(shù)f(x)的最小正周期 ………8分； （2）∵ ………10分 ∴； ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為（） ………12分； 17、 解：(1)眾數(shù)是頻率分布直方圖中頻率最高的時(shí)間段的中點(diǎn)， 所以 ……2分 0 6.5 7.5 x y 7.5 7 D C A E B (2)①設(shè)報(bào)紙送達(dá)時(shí)間為，則小明父親上班前能取到報(bào)紙 等價(jià)于，………………4分 如圖可知， 事件A對應(yīng)的區(qū)域?yàn)閳D中陰影梯形AECD，所有基本事件 對應(yīng)區(qū)域?yàn)榫匦蜛BCD，……………….......................5分 ，………………..........................6分 所求事件A的概率為………………..................................…8分 ②服從二項(xiàng)分布......……………...............................................…10分 故(天)…………………...................................................…12分 18、證明：是直二面角，平面PAD平面ABCD=AD又, -………………..........................…2分 ……………….................................…3分 連接AC …………………..........................................................4分 又, ............................................................................................6分 （2） 法一(幾何法)：假設(shè)存在， 由（1）知,過點(diǎn)A作 由三垂線定理知 .......................................................................8分 為二面角的平面角為45................................................9分 等腰中, 等邊， 中，令 ....................10分 由等面積法， 知...................12分 解得 所以不存在這樣點(diǎn)P . ...................14分 法二（向量法）：由（1）知，兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AE，AP所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz ...................7分 知為與平面所成角 ...................8分 設(shè)（ ...................9分 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 平面的一個(gè)法向量...................11分 .................12分 解得 所以不存在這樣點(diǎn)P ....................14分 19、解：（1）由，得， ，………1分 ∵，，成等差數(shù)列，. ∴ ………2分 解得 ………3分 （2）當(dāng) ，，兩式相減得 ，即 ………4分 ………5分 又， ………6分 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 ………7分 即　 ………8分 （3）證明： ………9分 ………10分 …11分 ………13分 ………14分 20、（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為. ……… 1分 由題意，得直線的方程為， ……………… 2分 令 ，得，即直線與y軸相交于點(diǎn). …………… 3分 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線的下方， 所以 ， 解得 . ……………… 5分 （2）解：由題意，設(shè)，，， 聯(lián)立方程 消去，得， 由韋達(dá)定理，得，所以 . ……………… 7分 同理，得的方程為，. ……………… 8分 對函數(shù)求導(dǎo)，得， 所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為， 所以切線的方程為， 即. ………… 9分 同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.…………10分 聯(lián)立兩條切線的方程 解得，， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………11分 因此點(diǎn)在定直線上. …………12分 因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立． ……………13分 由，得，驗(yàn)證知符合題意. 所以當(dāng)時(shí)，有最小值. …………14分 21、解：（1）當(dāng)時(shí)，，； 1 分 對于，有，∴在區(qū)間上為增函數(shù)， ∴. 3 分 （2）①在區(qū)間上，函數(shù)是的“活動(dòng)函數(shù)”， 則 令，對恒成立， 且，對恒成立 5分 ∵ (*) 1）若，令，得極值點(diǎn)，， 當(dāng)，即時(shí)，在（，+∞)上有， 此時(shí)在區(qū)間(，+∞)上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有 ∈(，+∞)，不合題意； 當(dāng)，即時(shí)，同理可知，在區(qū)間(1，+∞)上，有 ∈(，+∞)，也不合題意； 7分 2） 若，則有，此時(shí)在區(qū)間(1，+∞)上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)； 要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足， 所以. 9分 又因?yàn)? 在上為減函數(shù)， ， 所以，綜合可知的范圍是[,]. 12分 另解：(接在(*)號(hào)后) 先考慮,, 在遞減，只要, 得，解得. 8分 而對且有. 只要 , ，解得, 所以. . 12分 ②當(dāng)時(shí)，， 則 . 因?yàn)?，在為增函?shù)， 所以 . 設(shè), 則, 所以在區(qū)間上，函數(shù)的“活動(dòng)函數(shù)”有無窮多個(gè). 其他如等也可以. 14分