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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 三角函數(shù)與解三角形 第七講 正弦定理和余弦定理 基礎(chǔ)自測 1．若△ABC的三個內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則a∶b∶c＝________. 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A＝________. 3．在△ABC中，A＝60，b＝1，△ABC的面積為，則邊a的值為________． 4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，則角A的大小為________． 5．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________. 題型分類 深度剖析 探究點一　正弦定理的應用 例1　(1)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45，求角A、C和邊c； (2)在△ABC中，a＝8，B＝60，C＝75，求邊b和c. 探究點二　余弦定理的應用 例2　已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對邊，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大??； (2)若c＝3a，求tanA的值． 探究點三　正余弦定理的綜合應用 例3　1.在△ABC中，a、b、c分別表示三個內(nèi)角A、B、C的對邊，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，試判斷該三角形的形狀． 2.在△ABC中，＝. (1)證明：B＝C； (2)若cos A＝－，求sin的值． 課時規(guī)范訓練七 班級 姓名 1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60，則cosB＝________. 2．在△ABC中，若A＝60，BC＝4，AC＝4，則角B的大小為________． 3．在銳角△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，則∠BAC的大小為________． 4．在△ABC中，B＝60，b2＝ac，則△ABC的形狀為______________． 5．在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，B＝，b＝，a＋c＝4，求a. 6．在△ABC中，已知B＝45，D是BC邊上的一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長． 7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos＝，＝3. (1)求△ABC的面積； (2)若b＋c＝6，求a的值． 8．設△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc. (1)求sinA的值； (2)求的值． 第七講　正弦定理和余弦定理 基礎(chǔ)自測 1．5∶11∶13　 2.30　 3.　 4. 5．1 題型分類 深度剖析 例1　解　(1)由正弦定理＝得，sinA＝.∵a>b，∴A>B，∴A＝60或A＝120. 當A＝60時，C＝180－45－60＝75，c＝＝； 當A＝120時，C＝180－45－120＝15，c＝＝. 綜上，A＝60，C＝75，c＝，或A＝120，C＝15，c＝. (2)∵B＝60，C＝75，∴A＝45.由正弦定理＝＝，得b＝＝4，c＝＝4＋4.∴b＝4，c＝4＋4. 例2　解　(1)∵a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝＝.∵0a，∴B>A， ∴cos A＝＝.∴tan A＝＝. 方法三　∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A.∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，∴sin(－A)＝3sinA，∴sincosA－cossinA＝3sinA，∴cosA＋sinA＝3sinA， ∴5sinA＝cosA，∴tanA＝＝. 例3　1.解　方法一　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B) ?a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA， 由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0， ∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π， 得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形． 方法二　同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA， 由正、余弦定理，即得a2b＝b2a， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2， ∴三角形為等腰三角形或直角三角形． 2.證明　在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0， 即sin(B－C)＝0.因為－π

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