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2019-2020年高中數學 1.1命題練習 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．下列語句中命題的個數為(　　) ①{0}∈N；②他長得很高；③地球上的四大洋； ④5的平方是20. A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]?、佗苁敲}，②③不是命題．地球上的四大洋是不完整的句子． 2．給定下列命題：①若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實數根；②若a>b>0，c>d>0，則ac>bd；③對角線相等的四邊形是矩形；④若xy＝0，則x、y中至少有一個為0.其中是真命題的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ [答案]　B [解析]　①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①為真命題；②由不等式的乘法性質知命題正確，所以②為真命題；③如等腰梯形對角線相等，不是矩形，所以③是假命題；④由等式性質知命題正確，所以④是真命題，故選B. 3．(xx山東文，5)設m∈R，命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是(　　) A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0 [答案]　D [解析]　一個命題的逆否命題，要將原命題的條件、結論都加以否定，并且加以互換位置，故選D. 4．“若x、y∈R且x2＋y2＝0，則x、y全為0”的否命題是(　　) A．若x、y∈R且x2＋y2≠0，則x、y全不為0 B．若x、y∈R且x2＋y2≠0，則x、y不全為0 C．若x、y∈R且x，y全為0，則x2＋y2＝0 D．若x、y∈R且xy≠0，則x2＋y2≠0 [答案]　B [解析]　“全為0”的否定是“不全為0”，故選B. 5．命題“如果a、b都是奇數，則ab必為奇數”的逆否命題是(　　) A．如果ab是奇數，則a、b都是奇數 B．如果ab不是奇數，則a、b不都是奇數 C．如果a、b都是奇數，則ab不是奇數 D．如果a、b不都是奇數，則ab不是奇數 [答案]　B [解析]　命題“如果a、b都是奇數，則ab必為奇數”的逆否命題是“如果ab不是奇數，則a、b不都是奇數”． 6．在平面直角坐標系中，給出命題p：“如果兩直線平行，則它們的斜率相等”，則(　　) A．p的逆命題是真命題 B．p的否命題是真命題 C．p的逆否命題是真命題 D．p的四種命題都不是真命題 [答案]　D [解析]　在平面直角坐標系中，兩直線平行，它們的斜率可能不存在，所以命題p是假命題；兩直線斜率相等，它們可能重合，因此命題p的逆命題也是假命題；而原命題與逆否命題同真假，逆命題與否命題同真假，所以p的四種命題都是假命題． 二、填空題 7．下面是關于四棱柱的四個命題： ①如果有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ②如果兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ③如果四個側面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱； ④如果四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱． 其中，真命題的編號是________(寫出所有真命題的編號)． [答案]?、冖? [解析]?、谥杏蛇^相對側棱截面的交線垂直于底面并與側棱平行，可知命題成立，④中由題意，可知對角面均為長方形，即可證命題成立．①、③錯誤，反例如有一對側面與底面垂直的斜四棱柱． 8．設a、b、c是空間的三條直線，下面給出四個命題： ①若a⊥b，b⊥c，則a∥c； ②若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c也是異面直線； ③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交； ④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面． 其中真命題的個數是________． [答案]　0 [解析]　∵垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，∴命題①不正確； ∵與同一直線均異面的兩條直線的位置關系可以共面，也可以異面，∴命題②不正確； ∵與同一直線均相交的兩條直線在空間中可以相交，也可以平行或異面，∴命題③不正確； ∵當兩平面的相交直線為直線b時，兩平面內分別可以作出直線a與c，即直線a與c不一定共面，∴命題④不正確． 綜上所述，真命題的個數為0. 9．給出下列命題： (1)平行四邊形的對角線互相平分； (2)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； (3)若一個四邊形不是平行四邊形，則這個四邊形的對角線不能互相平分； (4)若一個四邊形的對角線不能互相平分，則這個四邊形不是平行四邊形． ①若(1)為原命題，則(2)為(1)的________命題，(3)為(1)的________命題，(4)為(1)的________命題． ②若(4)為原命題，則(1)為(4)的________命題，(2)為(4)的________命題，(3)為(4)的________命題． [答案]?、倌妗》瘛∧娣瘛、谀娣瘛》瘛∧? 三、解答題 10．把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并判斷其真假． (1)對頂角相等； (2)能被6整除的數既能被3整除也能被2整除； (3)弦的垂直平分線經過圓心，并平分弦所對的?。? [答案]　“若p則q”形式略，全為真 [解析]　(1)若兩個角是對頂角，則這兩個角相等．是真命題． (2)若一個數能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除．是真命題． (3)若一條直線是弦的垂直平分線，則這條直線經過圓心且平分弦所對的?。钦婷}. 一、選擇題 1．已知a、b、c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(　　) A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3 [答案]　A [解析]　確定原命題的條件和結論后，同時進行否定，即可寫出否命題．原命題的條件是：a＋b＋c＝3，結論是：a2＋b2＋c2≥3，所以否命題是：若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3. 2．設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解，有如下四個命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實數λ和μ，使a＝λb＋μc； ③給定向量b和正數μ，總存在單位向量c，使a＝λb＋μc. ④給定正數λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc. 上述命題中的向量b、c和a在同一平面內，且兩兩不共線，則真命題的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　C [解析]　對于①，由向量的三角形加法法則可知其正確；由平面向量基本定理知②正確；對③，可設e與b是不共線單位向量，則存在實數λ，y使a＝λb＋ye，若y>0，則取μ＝y(tǒng)，c＝e，若y<0，則取μ＝－y，c＝－e，故③正確；④顯然錯誤，給定正數λ和μ，不一定滿足“以|a|，|λb|，|μc|為三邊長可以構成一個三角形”，這里單位向量b和c就不存在．可舉反例：λ＝μ＝1，b與c垂直，此時必須a的模為才成立． 3．若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s，p的逆命題為t，則s是t的(　　) A．逆否命題 B．逆命題 C．否命題 D．原命題 [答案]　C [解析]　特例：△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c. p：若∠A＝∠B，則a＝b， r：若∠A≠∠B，則a≠b， s：若a≠b，則∠A≠∠B， t：若a＝b，則∠A＝∠B.故s是t的否命題． 4．已知命題p：“若a>b>0，則ab>0時，有a>0，此時不一定有a>b>0，因此逆命題不正確，則命 題p的否命題也不正確．因此一共有2個正確命題，故選C. 二、填空題 5．原命題：在空間中，若四點不共面，則這四個點中任何三點都不共線，其逆命題為________命題(填真、假)． [答案]　假 [解析]　逆命題為：在空間中，若四個點中任何三點不共線，則這四點不共面，假命題．如：正方形ABCD的四個頂點，任意三點不共線，但這四點共面． 6．命題“若實數a滿足a≤2，則a2<4”的否命題是________命題．(填“真”或“假”) [答案]　真 [解析]　原命題的否命題為：若實數a滿足a>2，則a2≥4，這是一個真命題． 三、解答題 7．寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并分別判斷其真假． (1)如果兩圓外切，那么兩圓心距等于兩圓半徑之和； (2)平面內，兩條平行直線不相交． [解析]　(1)逆命題：如果兩圓心距等于兩圓半徑之和，那么兩圓外切，真； 否命題：如果兩圓不外切，那么兩圓心距不等于兩圓半徑之和，真； 逆否命題：如果兩圓心距不等于兩圓半徑之和，那么兩圓不外切，真． (2)原命題：在同一平面內，若兩條直線是平行直線，則它們不相交，真； 逆命題：在同一平面內，若兩條直線不相交，則它們平行，假； 否命題：在同一平面內，若兩條直線不是平行直線，則它們相交，假； 逆否命題：在同一平面內，若兩條直線相交，則它們不平行，真． 8．證明：“若a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，則a＋b≠1”為真命題． [證明]　原命題等價為：若a＋b＝1，則a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0，a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝(a＋b)2＋(a＋b)－2＝(a＋b＋2)(a＋b－1)，∵a＋b＝1， ∴(a＋b＋2)(a＋b－1)＝0，∴a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0. ∴命題“若a＋b＝1，則a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”為真命題，即證明原命題為真命題．