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2019-2020年高三數(shù)學上學期第一次月考試題 文 含解析（含解析）新人教A版 【試卷綜析】這套試題基本符合高考復習的特點,穩(wěn)中有變,變中求新,適當調(diào)整了試卷難度,體現(xiàn)了穩(wěn)中求進的精神.,重視學科基礎(chǔ)知識和基本技能的考察,同時側(cè)重考察了學生的學習方法和思維能力的考察,有相當一部分的題目靈活新穎,知識點綜合與遷移.以它的知識性、思 辨性、靈活性,基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì),考基礎(chǔ),考方法,考潛能的檢測功能. 一、選擇題：（每小題5分，共計50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．） 【題文】1、已知為虛數(shù)單位，若，則（ ） A． B． C． D． 【知識點】復數(shù)相等的充要條件．L4 【答案解析】B 解析：∵a+bi====i，∴a=0，b=1．∴a+b=1． 故選：D． 【思路點撥】利用復數(shù)的運算法則和復數(shù)相等即可得出． 【題文】2、命題“若函數(shù)在上是減函數(shù)，則”的否命題是（ ） A．若函數(shù)在上不是減函數(shù)，則 B．若函數(shù)在上是減函數(shù)，則 C．若，則函數(shù)在上是減函數(shù) D．若，則函數(shù)在上不是減函數(shù) 【知識點】四種命題．A2 【答案解析】A 解析：否定命題的條件作條件，否定命題的結(jié)論作結(jié)論，即可得到命題的否命題． 命題“若函數(shù)在上是減函數(shù)，則”的否命題是：若函數(shù)在上不是減函數(shù)，則m≤1． 故選：A． 【思路點撥】直接寫出命題的否命題，即可得到選項． 【題文】3、如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的 成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 16.8，則的值分別為（ ） A． 5,2 B． 5,5 C． 8,5 D．8,8 【知識點】莖葉圖．I2 【答案解析】C 解析：∵甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，∴10+y=15，∴y=5；又∵乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，∴9+15+（10+x）+18+24=16.85，∴x=8；∴x，y的值分別為8，5； 故選：C． 【思路點撥】由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)求出y的值，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)求出x的值． 【題文】4、下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ） A． B． C． D． 【知識點】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．B3 B4 【答案解析】D 解析：只有函數(shù)，是偶函數(shù)，而函數(shù)是奇函數(shù)，不具有奇偶性．而函數(shù)，中，只有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的． 綜上可知：只有D正確．故選：D． 【思路點撥】利用函數(shù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷出． 【題文】5、閱讀右邊程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為， 則判斷框中應(yīng)填入的條件為（ ） A． B． C． D． 【知識點】程序框圖．L1 【答案解析】A 解析：程序在運行過程中各變量的值如下表示： S i 是否繼續(xù)循環(huán) 循環(huán)前 1 1 第一圈 3 2 是 第二圈 7 3 是 第三圈 15 4 是 第四圈 31 5 否 所以當i≤4時．輸出的數(shù)據(jù)為31， 故選A． 【思路點撥】析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案． 【題文】6、設(shè)，，,則（　　 ） A． B． C． D． 【知識點】對數(shù)值大小的比較．B7 【答案解析】A 解析：∵x=30.5=＞1，0=log31＜y=log32＜log33=1，z=cos2＜0， ∴z＜y＜x．故選：A． 【思路點撥】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)求解． 【題文】7、若函數(shù)的相鄰兩個零點的距離為，且它的一條對稱軸為，則等于（ ） A． B． C． D． 【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)．C5 【答案解析】D 解析：∵函數(shù)的相鄰兩個零點的距離為π，∴ ?=π，求得ω=1． 再根據(jù)函數(shù)的一條對稱軸為，可得asin﹣cos=，平方可得=0，求得a=． 則f（x）=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）， =2sin（﹣﹣）=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2， 故選：D． 【思路點撥】 根據(jù)函數(shù)的相鄰兩個零點的距離為π，求得ω=1．再根據(jù)函數(shù)的一條對稱軸為x=π，可得asin﹣cos=，平方求得a=，可得函數(shù)f（x）的解析式，從而求得的值 【題文】8、某幾何體的三視圖如下圖所示,則該幾何體的體積為（ ） 4 3 2 3 3 正視圖 左視圖 俯視圖 A．30 B．24 C．18 D．12 【知識點】由三視圖求面積、體積．G2 【答案解析】B 解析：由三視圖知該幾何體是高為5的三棱柱截去同底且高為3的三棱錐所得幾何體，棱柱的體積等于=30，所截棱錐的體積為：=6， 故組合體的體積V=30﹣6=24，故選：B． 【思路點撥】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱柱載去一個同底不等高的三棱錐所得，求出棱柱及棱錐的底面面積和高，代入棱柱和錐體體積公式，相減可得答案． 【題文】9、已知函數(shù)， ，則（ ） A． B． C． D． 【知識點】函數(shù)的值．B1 【答案解析】B 解析：∵，， ∴asin（lg（lg3））+b（lg（lg3））3+c（lg（lg3））+1=3， ∴asin（lg（lg3））+b（lg（lg3））3+c（lg（lg3））=2， ∴f（lg（log310））=f[﹣（（lg（lg3））]=﹣[asin（lg（lg3））+b（lg（lg3））3+c（lg（lg3））]+1 =﹣2+1=﹣1．故選：B． 【思路點撥】利用對數(shù)性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)求解． 【題文】10、已知函數(shù),且方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實根, 則實數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D.[2,4] 【知識點】分段函數(shù)的應(yīng)用．B9 【答案解析】C 解析：直線y=mx+1過定點（0，1）， 作出函數(shù)f（x）的圖象如圖： 由圖象可知，當直線y=mx+1y與f（x）=x2+2在第一象限相切時，滿足方程f（x）=mx+1在區(qū)間[﹣2π，π]內(nèi)有三個不等的實根， 此時x2+2=mx+1，即x2﹣mx+1=0，則判別式△=m2﹣4=0，解得m=2或m=﹣2（舍去）． 當直線y=mx+1在x=0時與f（x）=4xcosx+1相切時，有兩個不等的實根， 此時f′（x）=4cosx﹣4sinx，m=f′（0）=4，此時滿足條件． 當m＜0，由4xcosx+1=mx+1， 即m=4cosx，當此時方程m=4cosx在[﹣2π，0）只有一個解時，即m=﹣4，此時方程f（x）=mx+1在區(qū)間[﹣2π，π]內(nèi)有1個實根， 此時不滿足條件． 綜上滿足條件的m的取值范圍為﹣4＜m＜2或m=4，故選：C 【思路點撥】作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論． 二、填空題：（每小題5分，共計25分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．） 【題文】11、已知集合，，則 【知識點】交集及其運算．A1 【答案解析】 解析：∵集合A={x|y=}={x|x≠0}，B={y|y=x2}={y|y≥0}， ∴A∩B={x|x＞0}=（0，+∞）．故答案為：（0，+∞）． 【思路點撥】利用交集定義求解． 【題文】12、若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角為 【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．F3 【答案解析】 解析：∵，為非零向量，且|+|=|﹣|，∴|+|2=|﹣|2， ∴=，即，∴與夾角為 ．故答案為：． 【思路點撥】由，為非零向量，且|+|=|﹣|，知|+|2=|﹣|2，由此得到，從而得到與夾角為． 【題文】13、在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，則點恰好落在第二象限的概率為 【知識點】幾何概型；簡單線性規(guī)劃．E5 K3 【答案解析】 解析：不等式組所表示的平面區(qū)域為一直角三角形，其面積為=，點P恰好落在第二象限平面區(qū)域為一直角三角形，其面積為=， ∴點P恰好落在第二象限的概率為=．故答案為：． 【思路點撥】先根據(jù)不等式組畫出平面區(qū)域，然后求出區(qū)域的面積，以及點P恰好落在第二象限區(qū)域內(nèi)的面積，最后利用幾何概型的概率公式解之即可． 【題文】14、已知直線和直線，若拋物線上的點到直線和直線的距離之和的最小值為2，則拋物線的方程為 【知識點】拋物線的簡單性質(zhì)．H7 【答案解析】 解析：設(shè)拋物線上的一點P的坐標為（a2，2a），則P到直線l2：x=﹣的距離d2=a2+； P到直線的距離d1=， 則d1+d2=+a2+=a2﹣a++， 當a=時，P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2， ∴p=2， ∴拋物線C的方程為y2=4x 故答案為：y2=4x． 【思路點撥】設(shè)出拋物線上一點P的坐標，然后利用點到直線的距離公式分別求出P到直線l1和直線l2的距離d1和d2，求出d1+d2，利用二次函數(shù)求最值的方法，求出距離之和的最小值，即可得出結(jié)論． 【題文】15、給出定義：設(shè)是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)的“拐點”.重慶武中高xx級某學霸經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個一元三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也為該函數(shù)的對稱中心.若，則 【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B12 【答案解析】 解析：由，∴f′（x）=3x2﹣3x﹣， ∴f′′（x）=6x﹣3，由f′′（x）=6x﹣3=0，得x=，∴f（）=1， ∴f（x）的對稱中心為（，1），∴f（1﹣x）+f（x）=2， ∴f（）+f（）=f（）+f（）=…=f（）+f（）=2 ∴=xx 故答案為：xx 【思路點撥】求出原函數(shù)的導函數(shù)，再求出導函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)的導函數(shù)等于0求出x的值，可得f（1﹣x）+f（x）=2，從而得到則的值． 三、解答題：（本大題共6小題，共計75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．） 【題文】16、（本小題滿分13分，第（Ⅰ）問6分，第（Ⅱ）問7分） 城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客的需求，為此，重慶市公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間作為樣本分成5組，如圖所示（單位：min），回答下列問題． 組別 候車時間 人數(shù) 一 2 二 6 三 4 四 2 五 1 (Ⅰ)估計這60名乘客中候車時間少于10min的人數(shù)； (Ⅱ)若從表中的第三、四組中任選兩人作進一步的問卷調(diào)查，求抽到的兩人恰好來自不同組的概率． 【知識點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；古典概型及其概率計算公式．K2 【答案解析】(Ⅰ) 32(Ⅱ) 解析：(Ⅰ)候車時間少于10min的概率為， 故候車時間少于10min的人數(shù)為. (Ⅱ)將第三組乘客分別用字母表示，第四組乘客分別用字母表示，則隨機選取的人所有可能如，共有15種不同的情況，其中兩人恰好來自不同組包含8種情況，故所求概率為. 【思路點撥】（Ⅰ）候車時間少于10分鐘的人數(shù)所占的比例為，用60乘以此比例，即得所求．（Ⅱ）從這6人中選2人作進一步的問卷調(diào)查，①用列舉法列出上述所有可能情況共有15種，②用列舉法求得抽到的兩人恰好來自不同組的情況共計8種，由此求得抽到的兩人恰好來自不同組的概率． 【題文】17、（本小題滿分13分，第（Ⅰ）問6分，第（Ⅱ）問7分） 在中，角的對邊分別為，若向量， ，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的面積的最大值. 【知識點】正弦定理；余弦定理．菁優(yōu)C8 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）因為，所以，即 故 又，所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）及，得 又（當且僅當時取等號），故，即 故 【思路點撥】（Ⅰ）由兩向量的坐標及兩向量數(shù)量積為0，列出關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosA，將得出關(guān)系式代入求出cosA的值，即可確定出角A的大小； （Ⅱ）利用余弦定理列出關(guān)系式，把cosA與a的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值． 【題文】18、（本小題滿分13分，第（Ⅰ）問6分，第（Ⅱ）問7分） 已知函數(shù)為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的一個最高點和最低點間的距離為. (Ⅰ)求的解析式； (Ⅱ)若，求的值. 【知識點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．C2 C4 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：(Ⅰ)因為為偶函數(shù)，故， 從而.再由圖象上相鄰的一個最高點和最低點間的距離為，知，從而，故. 所以. (Ⅱ) 原式. 由條件知，平方得，從而. 【思路點撥】（1）函數(shù)f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的一個最高點和最低點之間的距離，確定函數(shù)的周期，求出ω，確定?的值，求出f（x）的解析式；（2）把上一問求出的結(jié)果代入函數(shù)的解析式，得到角的正弦與余弦的和，用誘導公式和二倍角公式把所給的式子進行整理，根據(jù)同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系得到結(jié)果． 【題文】19、（本小題滿分12分，第（Ⅰ）問5分，第（Ⅱ）問7分） 已知函數(shù)． （I）若時，求曲線在點處的切線方程； （II）若，函數(shù)沒有零點，求的取值范圍． 【知識點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；函數(shù)零點的判定定理；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.有B12 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析：（I） ，切點為，，故切線方程為. （II）當時，在定義域上沒有零點，滿足題意； 當時，函數(shù)與在定義域上的情況如下表： 0 + ↘ 極小值 ↗ 是函數(shù)的極小值，也是函數(shù)的最小值， 所以，當，即時，函數(shù)沒有零點. 綜上所述，當時，沒有零點. 【思路點撥】（I）求出a=﹣1時，函數(shù)f（x）和導數(shù)，求得切點和切線的斜率，即可得到切線方程；（II）討論當a=0時，當a＜0時，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，判斷也是最值，且與0的關(guān)系，即可判斷零點的情況． 【題文】20、（本小題滿分12分，第（Ⅰ）問5分，第（Ⅱ）問7分） 如圖，正方形所在平面與直角三角形所在的平面互相垂直，，設(shè)分別是的中點，已知， （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求點到平面的距離． 【知識點】直線與平面平行的判定；點、線、面間的距離計算．G4 G11 【答案解析】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 解析：(Ⅰ)證明：取中點，連接.由于為的中位線，所以 ；又因為,所以 所以四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面， 所以平面； (Ⅱ)因為平面，所以： 因為,所以平面，故,從而： 因為,所以平面,故,從而： 在中，, 所以的面積 所以（其中表示點到平面的距離）， 即，解出， 所以點到平面的距離為. 【思路點撥】（Ⅰ）取EC中點F，連接MF，BF．由線線平行證明線面平行，（Ⅱ）將體積等價轉(zhuǎn)化，求出體積，再求出底面面積，從而求高，得距離． 【題文】21、（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分） 中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．若分別過橢圓的左、右焦點的動直線相交于點，且與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率滿足． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）是否存在定點M、N，使得為定值？若存在，求出點M、N的坐標；若不存在，說明理由． 【知識點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程.所有H5 H8 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定點Ｍ、Ｎ為，使得點Ｐ滿足為定值。 解析：(Ⅰ) 設(shè)橢圓的方程為，則 故橢圓的方程為。 (Ⅱ)當斜率不存在時，易知P點為； 當斜率存在時，設(shè)斜率分別為，設(shè)，聯(lián)立 ，則，故 。 同理 。因為，所以，即 。又，故。 設(shè)點，則，即。 由當斜率不存在時，P點為也滿足在橢圓上。 故存在定點Ｍ、Ｎ為，使得點Ｐ滿足為定值。 【思路點撥】（1）設(shè)橢圓方程為，則由題意解得即可； （2）當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0）．當直線l1、l2斜率存在時，設(shè)斜率分別為m1，m2．可得l1的方程為y=m1（x+1），l2的方程為y=m2（x﹣1）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），與橢圓方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系，再利用斜率計算公式和已知即可得出m1與m2的關(guān)系，進而得出答案．