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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 理（含解析）湘教版 【試卷綜析】試卷注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法全面考查的同時(shí),又突出了對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)核心能力的綜合考查, 試卷以考查考生對(duì)“雙基”的掌握情況為原則,重視基礎(chǔ),緊扣教材,回歸課本,整套試卷中有不少題目可以在教材上找到原型.對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)回歸課本,重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握起到好的導(dǎo)向作用. 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將所選答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)位置. 【題文】1.如果復(fù)數(shù)(其中為虛數(shù)單位,為實(shí)數(shù))的實(shí)部和虛部互為相反數(shù),那么= ( ) A. B. C. D. 2 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．L4 【答案解析】C 解析：由,依題有,即.選C. 【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，利用實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，求出b． 【題文】2.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有100個(gè)個(gè)體的總體中依次抽取一個(gè)容量為5的樣本,則個(gè)體被抽到的概率為( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】簡單隨機(jī)抽樣．I1 【答案解析】B 解析：由抽樣的公平性可知,每個(gè)個(gè)體入樣的概率均為.選B. 【思路點(diǎn)撥】依據(jù)簡單隨機(jī)抽樣方式，總體中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是一樣的，再結(jié)合容量為5，可以看成是抽5次，從而可求得概率． 【題文】3.設(shè)偶函數(shù)滿足,則( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.B4 【答案解析】C 解析：當(dāng)時(shí),由,得,由圖象對(duì)稱性可知選C. 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)的奇偶性解不等式可得結(jié)果. 【題文】4.若展開式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為512,則該開式中常數(shù)項(xiàng)為( ) A. B. 84 C. D. 36 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì).J3 【答案解析】B 解析：由二項(xiàng)式系數(shù)之和為,即,又 令,則故常數(shù)項(xiàng)為.選B. 【思路點(diǎn)撥】結(jié)合二項(xiàng)式定理，通過令x=-1，即可求出展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和，然后求出n的值，利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)，求出常數(shù)項(xiàng)即可． 【題文】5.設(shè)條件,條件,其中為正常數(shù).若是的必要不充分條件,則 的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．A2 【答案解析】A 解析：由條件對(duì)應(yīng)的集合為,條件對(duì)應(yīng).且依題意,可知,又,故.選A. 輸出y 否 是 x4? x=x+1 結(jié)束 開始 輸入x 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)不等式的性質(zhì)，以及充分條件和必要條件的定義，即可得到結(jié)論． 【題文】6.按照如圖所示的程序運(yùn)行,已知輸入的的值為, 則輸出的值為( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖．L1 【答案解析】A 解析：由于輸入的初始值為,故 ,即.故選A. 【思路點(diǎn)撥】本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖流程判斷算法的功能是解答此類問題的關(guān)鍵． 【題文】正視圖 1 1 2 2 2 2 側(cè)視圖 俯視圖 7.已知一個(gè)幾何體的三視圖及有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示, 則該幾何體的體積為( ) A. B. 2 B 2 A C D P 1 1 C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2 【答案解析】B 解析：由該幾何體的 三視圖可以借用長方體將其還原 為直觀圖如右所示,(由簡到繁)，由俯視圖側(cè)視圖正視圖直觀圖, 其為四棱錐,所以,選B. 【思路點(diǎn)撥】幾何體是四棱錐，結(jié)合其直觀圖，利用四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面垂直，作四棱錐的高線，求出棱錐的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算． 【題文】8.設(shè),若是的最小值,則的取值范圍為( ) A. [-1,2] B. [-1,0] C. [1,2] D. [0,2] 【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．B10 【答案解析】D 解析：當(dāng)時(shí),顯然不是的最小值,當(dāng)時(shí),可知時(shí), ,而當(dāng)時(shí),,依題意,得, 所以即求. 選D. 【思路點(diǎn)撥】分別由f（0）=a，，綜合得出a的取值范圍． 【題文】9.已知銳角是的一個(gè)內(nèi)角,是三角形中各角的對(duì)應(yīng)邊,若,則下列各式正確的是( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理.C8 【答案解析】C 解析：由得,,又為銳角,故, 于是,即.于是由余弦定理有, 即,解得,選C. 【思路點(diǎn)撥】事實(shí)上在中,如果三邊成等差或等比數(shù)列,即, 那么我們都可以結(jié)合重要不等式知識(shí)得到.本題考查的是其逆向問題. A P M H O x 【題文】10.如圖,圓的半徑為1,是圓上的定點(diǎn),是圓上的動(dòng)點(diǎn), 角的始邊為射線,終邊為射線,過點(diǎn)作直線 的垂線,垂足為,將點(diǎn)到直線的距離表示 x O A 1 p y x O B 1 p y x O C 1 p y x O D 1 p y 為的函數(shù),則在上的圖象大致為( ) 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像與性質(zhì).B10 【答案解析】C 解析：由,于是,由三角函數(shù)線有, ,于是的最大值為,故選C. 【思路點(diǎn)撥】先由三角函數(shù)線得，再求最大值. 二、填空題:本大題共5小題,共25分,把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上. 【題文】11.已知直線的極坐標(biāo)方程為,則極點(diǎn)到直線的距離為 . 【知識(shí)點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；與圓有關(guān)的比例線段．N3 H2 【答案解析】 解析：由化為直角坐標(biāo)方程為,于是極點(diǎn) 到該直線的距離為,故答案為 【思路點(diǎn)撥】先將原極坐標(biāo)方程中的三角函數(shù)式展開后兩邊同乘以ρ后化成直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)方程進(jìn)行求解即得． 【題文】12.設(shè)均為正數(shù),滿足,則的最小值是 . 【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式．E6 【答案解析】3 解析：∵，∴， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”．故答案為3． 【思路點(diǎn)撥】由x-2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可． 【題文】13.數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則 . 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式.D1 【答案解析】 解析：由……①, 可推出,……② ①-②式得,,于是,,故. 【思路點(diǎn)撥】借助于，可得，進(jìn)而得到結(jié)果. 【題文】14.若滿足約束條件,且取得最小值的點(diǎn)有無數(shù)個(gè),則 . 【知識(shí)點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．E5 C A B 1 O y=1-x x y y=2x-2 2 【答案解析】或 解析：先作出可行域如右圖: 又目標(biāo)函數(shù),依題意,所以 ①當(dāng),即時(shí),依題意有目標(biāo)直線時(shí),當(dāng)其運(yùn)動(dòng) 至與重合時(shí),最優(yōu)解有無數(shù)個(gè),符合題意,即,即; ②同理當(dāng),即時(shí),必有,即,即, 綜上①②可知,或 為所求. 【思路點(diǎn)撥】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，要使z=kx+y取最小值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則目標(biāo)函數(shù)和其中一條直線平行，然后根據(jù)條件即可求出a的值． A M B D O y x 【題文】15.已知橢圓的離心率為,過橢圓上一點(diǎn)作直線分別交橢圓于兩點(diǎn),且斜率為,若點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則的值為 . 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題．H5 H8 【答案解析】解析：由,得,如右圖所示, 取中點(diǎn),連結(jié),則由幾何意義知, ,又,故,即 【思路點(diǎn)撥】本題有一般性結(jié)論,即過橢圓的中心的任一條直線 交橢圓于兩點(diǎn),是橢圓上異于的任意一點(diǎn),且當(dāng)都存在時(shí),則有. 三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 16.(本小題滿分12分) xx年巴西世界杯的志愿者中有這樣一組志愿者:有幾個(gè)人只通曉英語,還有幾個(gè)人只通曉俄語,剩下的人只通曉法語,已知從中任抽一人恰是通曉英語的概率為,恰是通曉俄語的人的概率為,且通曉法語的人數(shù)不超過3人. (Ⅰ)求這組志愿者的人數(shù); (Ⅱ)現(xiàn)從這組志愿者中選出通曉英語、俄語和法語的志愿者各1人,若甲通曉俄語,乙通曉法語,求甲和乙不全被選中的概率; (Ⅲ)現(xiàn)從這組志愿者中抽取3人,求3人所會(huì)的語種數(shù)的分布列. 【知識(shí)點(diǎn)】概率的應(yīng)用．K6 【答案解析】(Ⅰ)10 (Ⅱ) (Ⅲ)見解析 解析：(Ⅰ)設(shè)通曉英語、俄語、法語人分別有人,且; 則依題意有,即…………………………………………2分 消去得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),符合正整數(shù)條件, 所以,也即這組志愿者有10人;………………………………………………………3分 (Ⅱ)記事件為“甲、乙不全被選中”,則的對(duì)立事件表示“甲、乙全被選中”, 于是;…………………………………………………7分 (Ⅲ)隨機(jī)變量的可能取值為1,2,3,且由古典概型知 .………………………………………………………………11分 所以隨機(jī)變量的分布列如下: 1 2 3 . ……………………………………………………………12分 【思路點(diǎn)撥】（I）設(shè)通曉英語的，通曉俄語的，通曉法語的人數(shù)，根據(jù)通曉英語的人的概率為，是通曉俄語的人數(shù)的概率為，列出關(guān)于所設(shè)的人數(shù)的表示式，解出結(jié)果． （II）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件有C51C31C21種結(jié)果，甲通曉俄語，乙通曉法語，則甲和乙不全被選中的對(duì)立事件是全被選中，先做出兩個(gè)人全被選中的概率，用對(duì)立事件的概率公式得到甲和乙不全被選中的概率． （III）隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而可求3人所會(huì)的語種數(shù)X的分布列． A O P Q B x y 【題文】17.(本小題滿分12分) 如圖,點(diǎn)是單位圓與軸的正半軸的交點(diǎn),點(diǎn). (Ⅰ)若,求; (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為單位圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足 ,求的取值范圍. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；任意角的三角函數(shù)的定義．C1 C7 【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ) 解析：(Ⅰ)由三角函數(shù)定義可知, 所以,即求…………………………………5分 (Ⅱ)由三角函數(shù)定義知,所以 所以, 又因,故,即, 于是,所以的取值范圍是.……………………………………12分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ) 直接結(jié)合三角函數(shù)的定義求解sinα，cosα的值，然后，根據(jù)二倍角公式進(jìn)行求值；(Ⅱ) 首先求解f（θ），然后根據(jù)，確定f（θ）的取值范圍． 【題文】A C D B C1 A1 B1 18.(本小題滿分12分) 直三棱柱中, ,點(diǎn)在上. (Ⅰ)若是中點(diǎn),求證:平面; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值. 【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．G4 G11 【答案解析】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) 解析：A C D B C1 A1 B1 E (Ⅰ)連接交于點(diǎn),連接, 因?yàn)橹比庵袀?cè)面為矩形,所以 為的中點(diǎn),又是中點(diǎn), 于是,且面 , AC1?平面B1CD 所以平面;…………………………6分 (Ⅱ)由知,即, 又直三棱柱中面,于是以為原點(diǎn)建立空間 y x z A C D B C1 A1 B1 直角坐標(biāo)系如右圖所示,于是, 又,由平面幾何易知, 顯然平面的一個(gè)法向量為, 又設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則由 ,得, 解得,取,則,設(shè)二面角的平面角為, 則,又由圖知 為銳角, 所以其余弦值為.…………………………………………………………………12分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ) 通過作平行線，由線線平行證明線面平行；(Ⅱ) 建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值． 【題文】19.(本小題滿分13分) 在數(shù)列中,已知. (Ⅰ)求證:是等比數(shù)列; (Ⅱ)令為數(shù)列的前項(xiàng)和,求的表達(dá)式. 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定．D3 D4 【答案解析(Ⅰ) 見解析(Ⅱ) 解析：(Ⅰ)證明:由可得 所以數(shù)列以是-2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列………………………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得:,所以, 所以 令,則, 兩式相減得, 所以,即…………………………………………………13分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)此證明題應(yīng)從結(jié)論中找方法，要證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列，將題設(shè)中的條件an+1=2an-n+1變形為an+1-（n+1）=2（an-n）即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)結(jié)論可求出bn，由通項(xiàng)公式的形式可以看出，本題宜先用分組求和的技巧，然后對(duì)其一部分用錯(cuò)位減法求和．最后將結(jié)果綜合起來． 【題文】20.(本小題滿分13分) 已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,焦點(diǎn)在軸上.若右焦點(diǎn)到直線的距離為3. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),求的取值范圍. 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．H5 H8 【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ) 解析：(Ⅰ)依題意可設(shè)橢圓方程為,右焦點(diǎn), 由題設(shè),得,故;故橢圓的方程為………5分 (Ⅱ)如右圖所示,設(shè),的中點(diǎn)為, 則由可知, 即, 可化為,且……① …………………………8分 又由得 則得……② A x N M y P O 且,得……③………………………………………………10分 ③式代入①式得,, 化簡得,得,又代入②式得,,解得, 綜上可得,即為所求...…………………………………………………………13分 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)依題意可設(shè)橢圓方程為，由題設(shè)解得a2=3，故所求橢圓的方程為．(Ⅱ)設(shè)P為弦MN的中點(diǎn)，由,,得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，由于直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推導(dǎo)出m的取值范圍． 【題文】21.(本小題滿分13分) 已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為,對(duì)于任意的,函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍; (Ⅲ)求證:. 【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．B12 【答案解析】(Ⅰ) 見解析(Ⅱ) (Ⅲ)見解析 解析：(Ⅰ)由,.………………………………………………………1分 ①當(dāng)時(shí),顯然時(shí),,當(dāng)時(shí),, 所以此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為, ②同理當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為, ③當(dāng)時(shí),不是單調(diào)函數(shù);.……………………………………………………4分 (Ⅱ)由題知,,得,所以. 所以,且,……………6分 令時(shí),可知恒成立,即一定有兩個(gè)不等實(shí)根, 且注意到,所以不妨設(shè),又,于是可知 時(shí),,又時(shí), 即在上遞減,在上遞增,依題意可知, 于是只須,…………………………………………7分 又以上事實(shí)對(duì)恒成立.故,得;……………9分 (Ⅲ)分析:要證成立, 即證, 也即證,成立,而這是我們眾所周知的超越不等式,下面用綜合法證明. 證明過程: 由(Ⅰ)知當(dāng)時(shí),在上遞增, 所以………………………………11分 也所以在上式中分別令得, , 以上同向正數(shù)不等式相乘得 兩邊同除以得, ,即證.…………………13分 【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），對(duì)于本題的(Ⅰ)在求單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意函數(shù)的定義域以及對(duì)參數(shù)a的討論情況；(Ⅱ)點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45，即切線斜率為1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)可知：，于是可求m的范圍．(Ⅲ)是近年來高考考查的熱點(diǎn)問題，即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結(jié)論成立，進(jìn)而解答出這類不等式問題的解．