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2019-2020年高三數(shù)學專題復習 專題5 數(shù)列檢測題 一、重點知識梳理： 1．判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法： (1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。 (2)通項公式法： ①若 =+（n-1）d=+（n-k）d ，則為等差數(shù)列； ②若 ，則為等比數(shù)列。 (3)中項公式法：驗證中項公式成立。 2. 在等差數(shù)列中,有關的最值問題——常用鄰項變號法求解： (1)當>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值. (2)當<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。 在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應用。 3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。 二：典型例題 例1．已知數(shù)列{an}是公差d≠0的等差數(shù)列，其前n項和為Sn． (2)過點Q1 (1，a1)，Q2 (2，a2)作直線12，設l1與l2的夾角為θ， 例2．已知數(shù)列中，是其前項和，并且， ⑴設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列； ⑵設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； ⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。 例3數(shù)列中，且滿足 ⑴求數(shù)列的通項公式； ⑵設，求； ⑶設=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。 ． 三、鞏固練習 1．(xx大綱全國改編)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項和為________． 2．(原創(chuàng)題)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13, S3＝S11，當Sn最大時，n的值是________． 3．(xx連云港模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－n2＋3n，若an＋1an＋2＝80，則n的值等于________． 4．已知an＝n，bn＝，則數(shù)列的前n項和Sn＝______________. 5．(2011天津改編)已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為________． 6．(xx南通模擬)數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是公比為的等比數(shù)列，那么an＝________. 7．(xx鎮(zhèn)江模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝2，當n是奇數(shù)時，an＋1＝an＋2；當n是偶數(shù)時，an＋1＝2an，則a9＝________. 8．(xx青島模擬)各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若S10＝10，S30＝70，則S40＝________. 9．(xx湖南十二校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝1，＝2，＝3 (k∈N*)，則(1)a3＋a4＝________；(2)其前n項和Sn＝____________________. 10．(xx四川)記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.設a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿足x1＝a，xn＋1＝(x∈N*)，現(xiàn)有下列命題： ①當a＝5時，數(shù)列{xn}的前3項依次為5,3,2； ②對數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當n≥k時總有xn＝xk； ③當n≥1時，xn>－1； ④對某個正整數(shù)k，若xk＋1≥xk，則xk＝[]． 其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號) 二、解答題 11． 已知等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為b，且不等式ax2－3x＋2>0的解集為(－∞，1)∪(b，＋∞)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝an2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 12. (xx長沙模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)在拋物線y＝x2上，數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，點(bn，bn＋1)在直線y＝3x上． (1)分別求{an}，{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn. 13．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為f′(x)＝6x－2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn) (n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn<對所有n (n∈N*)都成立的最小正整數(shù)m.  參考答案 例1．已知數(shù)列{a}是公差d≠0的等差數(shù)列，其前n項和為S． (2)過點Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設l與l的夾角為θ， 證明：(1)因為等差數(shù)列{a}的公差d≠0，所以 Kpp是常數(shù)(k=2，3，…，n)． (2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d． 例2．已知數(shù)列中，是其前項和，并且， ⑴設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列； ⑵設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； ⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。 分析：由于和{c}中的項都和{a}中的項有關，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑． 解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練) a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ① 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ② 由①和②得，數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=32． 當n≥2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式． 綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2． 說明：1．本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。 2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用． 例3．數(shù)列中，且滿足 ⑴求數(shù)列的通項公式； ⑵設，求； ⑶設=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。 解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設公差為， 由題意得，. （2）若， 時， 故 （3） 若對任意成立，即對任意成立， 的最小值是，的最大整數(shù)值是7。 即存在最大整數(shù)使對任意，均有 說明：本例復習數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關數(shù)列與不等式的綜合問題。. 鞏固練習 1. ; 2．7 ; 3．5 ; 4.; 5．110; 6.; 7．92 ; 8．150 ; 9．(1)18;　(2) (k∈N*) 10．①③④ 11．解　(1)因為ax2－3x＋2>0的解集為 (－∞，1)∪(b，＋∞)， 所以方程ax2－3x＋2＝0的兩根為x1＝1，x2＝b， 可得故a＝1，b＝2. 所以an＝2n－1，Sn＝n2. (2)由(1)得bn＝(2n－1)2n， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝12＋322＋…＋(2n－1)2n， ① 2Tn＝122＋323＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1， ② ②－①得 Tn＝－2(2＋22＋…＋2n)＋(2n－1)2n＋1＋2 ＝(2n－3)2n＋1＋6. 12．解　(1)由題意對于數(shù)列{an}有Sn＝n2， 當n＝1時，有a1＝S1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，n＝1也符合上式， 故對任意的n∈N*都有an＝2n－1. 對于數(shù)列{bn}有bn＋1＝3bn， 故{bn}是以b1＝a1＝1為首項，以3為公比的等比數(shù)列， 所以對任意的n∈N*都有bn＝3n－1. (2)由(1)知anbn＝(2n－1)3n－1， 從而Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn ＝130＋331＋532＋…＋(2n－1)3n－1， 于是3Tn＝131＋332＋…＋(2n－3)3n－1＋(2n－1)3n， 錯位相減并整理得Tn＝(n－1)3n＋1. 13．解　(1)設函數(shù)f(x)＝ax2＋bx (a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝6x－2， 得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x. 又因為點(n，Sn) (n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，所以Sn＝3n2－2n. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5. 當n＝1時，a1＝S1＝312－2＝61－5， 所以，an＝6n－5 (n∈N*)． (2)由(1)，知bn＝ ＝ ＝， 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝[＋＋…＋] ＝. 因此，要使< (n∈N*)成立， 則m需滿足≤即可，則m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.